数学卷·2018届河北省邯郸市曲周一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届河北省邯郸市曲周一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．a﹣c＞b﹣d B．＞ C．ac＞bd D．c+a＞d+b ‎2．在数列{an}中，已知前n项和Sn=7n2﹣8n，则a100的值为（　　）‎ A．1920 B．1400 C．1415 D．1385‎ ‎3．已知x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值是（　　）‎ A．0 B．10 C．15 D．20‎ ‎4．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎5．等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得an＞0的最小正整数n为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎6．下列函数中，最小值为4的函数是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3=+1，则a32+2a2a6+a3a7=（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．‎ ‎8．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（　　）‎ A．24 B．8 C． D．‎ ‎9．在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜‎ ‎0的实数x的取值范围为（　　）‎ A．（0，2） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣1，2）‎ ‎10．设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题：若x=y，则sinx=siny的逆否命题为真命题 B．x＞2是x2﹣3x+2＞0的必要不充分条件 C．命题：若x2=1，则x=1的否命题为“若x2=1，则x≠1”‎ D．命题：∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1＜0‎ ‎12．已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜a＜1的解集是（　　）‎ A．（1，2） B．（﹣，2） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB﹣cosB=，则角A的大小为　　．‎ ‎14．设命题p：“若ex＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则＜”，则命题“p∧q”为　　命题．　（填“真”或“假”）‎ ‎15．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当Sn最大时，n=　　．‎ ‎16．在△ABC中， =是角A，B，C成等差数列的　　．（充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件）‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，△ABC的面积．求b，c．‎ ‎19．等差数列{an} 中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=．‎ ‎（1）求an与bn；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎20．已知函数f（x）=x2+3x+a ‎（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集 ‎（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ‎（1）求角A； ‎ ‎（2）若，求bc的取值范围．‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣3Sn（n∈N*）．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．a﹣c＞b﹣d B．＞ C．ac＞bd D．c+a＞d+b ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案中不等式的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：若a＞b，c＞d，‎ 则a﹣c＞b﹣d不一定成立，故A错误；‎ ‎＞不一定成立，故B错误；‎ ac＞bd不一定成立，故C错误；‎ 由不等式同号可加性可得：c+a＞d+b，‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．在数列{an}中，已知前n项和Sn=7n2﹣8n，则a100的值为（　　）‎ A．1920 B．1400 C．1415 D．1385‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】直接利用an=Sn﹣Sn﹣1的关系进行求值即可．‎ ‎【解答】解：由Sn=7n2﹣8n，得a100=S100﹣S99=7×1002﹣8×100﹣[7×992﹣8×99]=1385．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．已知x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值是（　　）‎ A．0 B．10 C．15 D．20‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先满足约束条件，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数z=4x+2y的最大值；‎ ‎【解答】解：∵x，y满足约束条件，目标函数z=4x+2y，‎ ‎∴画出可行域可得：‎ A点坐标，解得A（，）；‎ 由图可得：目标函数z=4x+2y在点A（，）取得最大值，‎ zmax=4x+2y=4×+2×=15；‎ 故选C；‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由正弦定理和分式的性质求出式子的值．‎ ‎【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，‎ 由A+B+C=π得B=，‎ ‎∵b=，∴由正弦定理得， ==2，‎ ‎∴==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得an＞0的最小正整数n为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据已知条件求得 a13=12，再利用等差数列的性质可得a7=0，再由等差数列为递增的等差数列，可得使得an＞0的最小正整数n为8．‎ ‎【解答】解：∵等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，∴=0，∴a13=12．‎ 由等差数列的性质可得 2a7=a1+a13=0，故a7=0．‎ 再由题意可得，此等差数列为递增的等差数列，故使得an＞0的最小正整数n为8，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．下列函数中，最小值为4的函数是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；‎ B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．‎ C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．‎ D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3=+1，则a32+2a2a6+a3a7=（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得==，把已知条件代入即可求解 ‎【解答】解：‎ 由等比数列的性质可得 ‎=　‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=8‎ 故选C ‎　‎ ‎8．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（　　）‎ A．24 B．8 C． D．‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；基本不等式．‎ ‎【分析】根据向量共线定理列出方程，得出2x+3y=3，再求 的最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵∥，‎ ‎∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，‎ 化简得2x+3y=3，‎ ‎∴=（+）×（2x+3y）‎ ‎=（6+++6）≥（12+2）=8，‎ 当且仅当2x=3y=时，等号成立；‎ ‎∴的最小值是8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）‎ A．（0，2） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣1，2）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，‎ ‎∴化简得x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，‎ 得到x﹣1＜0且x+2＞0①或x﹣1＞0且x+2＜0②，解出①得﹣2＜x＜1；解出②得x＞1且x＜﹣2无解．‎ ‎∴﹣2＜x＜1．‎ 故选B ‎　‎ ‎10．设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3‎ 的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．‎ ‎【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，‎ a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，‎ 所以q3=，‎ 则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题：若x=y，则sinx=siny的逆否命题为真命题 B．x＞2是x2﹣3x+2＞0的必要不充分条件 C．命题：若x2=1，则x=1的否命题为“若x2=1，则x≠1”‎ D．命题：∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1＜0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，原命题与逆否命题同假同真命题；‎ B，x＞2是x2﹣3x+2＞0的充分条件；‎ C，若x2=1，则x=1的否命题为“若x2≠1，则x≠1；‎ D，∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1≥0．‎ ‎【解答】解：对于A，原命题为真，故逆否命题为真命题，故正确；‎ 对于B，x＞2是x2﹣3x+2＞0的充分条件，故错；‎ 对于C，若x2=1，则x=1的否命题为“若x2≠1，则x≠1，故错；‎ 对于D，∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1≥0，故错．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜a＜1的解集是（　　）‎ A．（1，2） B．（﹣，2） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据不等式x2﹣2ax+a＞0恒成立△＜0，求出0＜a＜1；把不等式a2x+1＜‎ a＜1化为2x+1＞x2+2x﹣3＞0，求出它的解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则△＜0，‎ ‎∴4a2﹣4a＜0，‎ 解得0＜a＜1；‎ ‎∴不等式a2x+1＜a＜1可化为：‎ ‎2x+1＞x2+2x﹣3＞0，‎ 即，‎ 解得 解得1＜x＜2，‎ 所以不等式的解集是（1，2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB﹣cosB=，则角A的大小为　　．‎ ‎【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ ‎【分析】直接利用sinB﹣cosB=，通过两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦定理求出A的大小．‎ ‎【解答】解：因为sinB﹣cosB=，所以，所以B﹣=，‎ ‎∴B=，‎ 由正弦定理，sinA==，所以A=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设命题p：“若ex＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则＜”，则命题“p∧q”为　假　命题．　（填“真”或“假”）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别判断命题p，q的真假，解得由复合命题的真假判断的原则进行判断，即可得知答案．‎ ‎【解答】解：∵命题p：“若ex＞1，则x＞0”，∴可以得知命题p是真命题；‎ ‎∵命题q：“若a＞b，则＜”，取反例，当a=﹣1，b=﹣2时，可以得知＞，矛盾．∴命题q为假命题；‎ ‎∴命题“p∧q”为 假命题．‎ 故答案为：假．‎ ‎　‎ ‎15．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当Sn最大时，n=　7　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意可得a7+a8=0，判断数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵a1＞0，若S5=S9，‎ ‎∴S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，‎ ‎∴2（a7+a8）=0，‎ ‎∴a7+a8=0，‎ 又a1＞0，‎ ‎∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，‎ 即前7项和最大，‎ ‎∴当Sn最大时，n=7‎ 故答案为：7‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中， =是角A，B，C成等差数列的　充分不必要条件　．（充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，我们可以 ‎=对进行恒等变形，进而得到角A、B、C成等差数列与=的等价关系，再由充要条件的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】解：在△ABC中， =⇒2sinA•sinC﹣sin2A=2cosA•cosC+cos2A ‎⇒2sinA•sinC﹣2cosA•cosC=cos2A+sin2A=1‎ ‎⇒﹣2cos（A+C）=1‎ ‎⇒cos（A+C）=﹣⇒A+C==2B ‎⇒角A、B、C成等差数列 当角A、B、C成等差数列⇒A+C==2B，角A有可能取90°，‎ 故 =不成立 故 =是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．‎ 故答案为：充分不必要条件．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）分别求出关于p，q的x的范围，根据且p∨q为真，即可求出x的范围，‎ ‎（2）根据¬p是¬q的必要不充分要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）化简p：x∈（a，3a），‎ 化简q：x∈[﹣2，9]∩（（﹣∞﹣4）∪（2，+∞））=（2，9]…，‎ ‎∵a=1，∴p：x∈（1，3）依题意有p∨q为真，‎ ‎∴x∈（1，3）∪（2，9]…‎ ‎（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，则¬q⇒¬p且逆命题不成立，即p⊂q．‎ ‎∴（a，3a）⊂（2，9]，即2≤a＜3a≤9…‎ ‎∴a∈[2，3]…‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，△ABC的面积．求b，c．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，结合sinC≠0，化简可得sin（A﹣）=，结合范围0＜A＜π，即可求A的值．‎ ‎（2）由三角形面积公式可得： =，解得bc=4，由余弦定理可得b+c=4，即可求得b，c的值．‎ ‎【解答】解：（1）由条件，可得sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴=sinA﹣cosA，即sinAcos﹣cosAsin=，sin（A﹣）=，‎ ‎∵0＜A＜π，∴，∴A﹣，∴A=…6分 ‎（2）由三角形面积公式可得： =，解得bc=4．‎ 由余弦定理可得：a2=b=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=（b+c）2﹣4=12．‎ 故解得：b+c=4，则b=c=2…12分 ‎　‎ ‎19．等差数列{an} 中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=．‎ ‎（1）求an与bn；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）根据b2+S2=12，{bn}的公比q=，建立方程组，即可求出an与bn；‎ ‎（2）对通项化简，利用裂项法求和，即可得到数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得b2=b1q=q，所以有，‎ 解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6‎ ‎∴an=3+3（n﹣1）=3n， ‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎∴== ‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=x2+3x+a ‎（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集 ‎（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．‎ ‎（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，‎ 解得{x|x＜﹣4或x＞1} …‎ ‎（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，‎ 则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，‎ 设g（x）=﹣x2﹣3x 则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，‎ ‎∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．‎ ‎　‎ ‎21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ‎（1）求角A； ‎ ‎（2）若，求bc的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）所求式子变形后，利用余弦定理及二倍角的正弦函数公式化简，求出sin2A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值化简即可求出A的度数；‎ ‎（2）由cosA的值求出sinA的值，利用正弦定理求出2R的值，利用正弦定理表示出bc，将表示出的B代入，利用和差化积公式变形，根据余弦函数的值域即可确定出bc的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理得：cos（A+C）=﹣cosB=﹣，‎ ‎∴已知等式变形得： =，‎ 即2sinAcosA=1，即sin2A=1，‎ ‎∵A为锐角三角形的内角，‎ ‎∴2A=，即A=；‎ ‎（2）∵a=，cosA=，‎ ‎∴sinA=，‎ 由正弦定理=2R，即2R==2，‎ ‎∴bc=2RsinB•2RsinC=4sinBsinC=4sinBsin（﹣B）‎ ‎=﹣4×‎ ‎=﹣2×[﹣﹣cos（2B﹣）]= +2cos（2B﹣），‎ 由45°＜B＜90°知，﹣＜2B﹣≤，‎ ‎∴＜2cos（2B﹣）≤2，‎ ‎∴2＜+2cos（2B﹣）≤+2，‎ 则bc∈（2，2+]．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣3Sn（n∈N*）．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1判断{an}为等比数列，再得出通项公式；‎ ‎（II）先求出bn得出{bn}为等差数列，将两数列分别求和得出Tn．‎ ‎【解答】解（Ⅰ）当n≥2时，由an=2﹣3Sn①，得an﹣1=2﹣3Sn﹣1②，‎ ‎①﹣②即得4an=an﹣1，‎ 而当n=1时，a1=2﹣3a1，故，‎ 因而数列{an}是首项为公比为的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故bn=1﹣2n．‎ ‎∴{bn}是以﹣1为首项，以﹣2为公差的等差数列．‎ 数列{an+bn}的前n项和Tn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）‎ ‎=+=﹣n2﹣．‎ ‎　‎ ‎2017年1月13日