2020高中数学 课时分层作业8 生活中的优化问题举例 新人教A版选修2-2
课时分层作业(八) 生活中的优化问题举例
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．]
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为
( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
B [设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4
0.所以当x＝4时，y最小．]
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为
( ) 【导学号：31062075】
A． cm B． cm
C． cm D． cm
D [设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取最大值．]
4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )
A．和R B．R和R
7
C．R和R D．以上都不对
B [设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－.令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R， R．]
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
D [由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
总利润P(x)最大．]
二、填空题
6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台.
【导学号：31062076】
[解析] 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
[答案] 6
7．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
[解析] 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
7
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
[答案] 40
8．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
[解析] 设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m.
[答案] 1.2 m
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 【导学号：31062077】
[解] 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，
因为v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．
7
10．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
[解] (1)设日销售量为，则＝10，
∴k＝10e40，则日售量为件．
则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40；
答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)＝10e40.
(2)L′(x)＝10e40.
①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，
当35＜x＜41时，L′(x)＜0.
∴当x＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e5；
②当4＜a≤5时，35≤a＋31≤36，
令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值为10e9－a.
综合上得L(x)max＝.
答：当2≤a≤4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5－a)e5；当4＜a≤5时，每件产品的日售价为a＋31元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为10e9－a.
[能力提升练]
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
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则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.]
2．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图142)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )
图142
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．12 cm
C [设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3，
则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4 320x(00，当100，
∴当v＝20时，y最小．
[答案] 20 n mile/h
4．如图143，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．
图143
[解析] 设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为
，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值.
[答案]
5．如图144所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米
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3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
【导学号：31062079】
图144
[解] 设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0
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