西藏拉萨中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题
2018—2019学年高一年级（2021届）第二学期期中考试
数学试卷
（满分：150分考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线（为常数）的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析直线的倾斜角与斜率k的关系，可以求出的值.
【详解】直线（为常数）的倾斜角为，则直线的方程可化为：，
直线的斜率
故选：A
【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于基础题.
2.已知，，以为直径的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用A,B的坐标确定圆心坐标，进一步利用圆心坐标和A
的坐标求出半径，最后确定圆的方程.
【详解】依据题意：设圆心坐标为
已知，，
建立方程组：
所以圆的方程为：
故选：D
【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
3.过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为所求直线与直线平行，所以设平行直线系方程为，代入直线所过的点的坐标，得参数值.
【详解】设直线方程为，又过点，
故所求方程为：；
故选：C
【点睛】本题考查了直线的平行关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
4.同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.
【详解】因为没有正面向上的概率为，所以至少有1枚正面向上的概率是1-，选A.
【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
5.圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a,b的值，即可得到结论.
【详解】由a=14,b=18,a
b，则a 变为14-4=10，
由a>b，则a 变为10-4=6，
由a>b，则a 变为6-4=2，
由a=b=2，
则输出a=2.
故选：B
【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
7.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )
A. 13 B. 17
C. 19 D. 21
【答案】C
【解析】
分析】
直接根据系统抽样的定义与性质求解即可.
【详解】因为，
所以由系统抽样的定义可知编号间隔是，
所以样本中的另一个学生的编号为，故选C．
【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.
8.某产品的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：
2
3
4
5
26
39
49
54
已知数据对应的回归直线方程中的为9.4，据此模型预计广告费用为6万元时的销售额为（ ）
A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格中给的数据，广告费用x与销售额y的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程，将x=6代入回归直线方程，得到y，可以预测广告费用为6时的销售额.
【详解】由表格中的数据得：
又回归方程：中的为9.4，
故，
，
将x=6代入回归直线方程，得（万元）
故选：B
【点睛】本题考查了线性回归方程得求解及应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
9.若点是圆外任意一点，当点在圆外运动时，直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离
【答案】A
【解析】
【分析】
由点是圆外，得到，再利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
【详解】因为点是圆外，故，
圆心到直线的距离：
因此直线和圆相交.
故选：A
【点睛】本题考查了点与圆位置关系，直线与圆的位置关系综合，考查了学生转化划归、数形结合、数学运算的能力，属于中档题.
10.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P
到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
11.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由直线与圆相交可得圆心到直线的距离，即或，也即，故所求概率，应选答案C．
点睛：本题将几何概型的计算公式与直线与圆的位置关系有机地整合在一起旨在考查运算求解能力、分析问题和解决问题 的能力综合分析问题解决问题的能力．求解时，先依据题设建立不等式求出或，再借助几何概型的计算公式求出概率使得问题获解．
12.若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由于曲线表示原点为圆心，半径为2的半圆，根据题意画出图形，找出两个特殊的位置：1.直线y=x+m与半圆相切；2.直线y=x+m过点(2,0)，当直线与半圆相切时，利用点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离d，让d等于半径列出关于m的方程，求出m的值，写出满足题意的m的范围即可.
【详解】由，得到，
如图，
当直线与圆相切时，
因此：若直线与圆有两个公共点，则实数的取值范围是：.
故选：B
【点睛】本题考查了直线和半圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上）
13.在1，2，4，5这4个数中随机取两个数，则所取的两个数和为6的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出基本事件的总数，再求出所取得2个数的和为6包含的基本事件的个数，由此能求出所取的两个数的和为6的概率.
【详解】在1，2，4，5这4个数中一次随机地取2个数，基本事件总数：
所取的两个数和为6包含的基本事件有：
（1，5），（2，4），共有m=2个，
因此：所取得2个数得和为6得概率为：
.
故答案为：
【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
14.：与：交于、两点，则直线的方程为______.（结果化为直线方程的一般式）
【答案】
【解析】
【分析】
将两个方程相减，即可得公共弦AB的方程.
【详解】：与：交于、两点，则直线的方程为:
即：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了两圆的相交弦问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.
15.若、分别为直线与上任意一点，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
转化两点的距离为平行线之间的距离，即得解.
【详解】、分别为直线与上任意一点，则的最小值为
两平行线之间的距离，即,
所以的最小值是：
故答案为：
【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系综合问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
16.已知直线：与圆交于，两点，过点，分别做垂线与轴交于，两点，若，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
因为直线与圆相交，且已知，由勾股定理可以构建方程求得弦心距；再由点到直线的距离公式表示弦心距，求得参数m，得倾斜角为，做出图像，由余弦定义得答案.
【详解】由题可知直线：与圆交于，两点，
所以设弦心距为d，有
又因为，所以，即，
所以，故直线l的斜率，则倾斜角为
做出图像，所以
故答案为：4
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，注意构建图像帮助分析，属于较难题.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.分别求满足下列条件的直线方程.
（1）求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程；
（2）求过点，且与圆相切的直线方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
（1）联立方程组，求得交点坐标，根据垂直关系，得到直线的斜率，即得直线方程；
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，即得解.
【详解】（1）解：联立方程组，得交点，
令所求直线方程斜率为，则由题意知，
故：，
即.
（2）解：由题设知点不在圆上.
（i）当切线斜率不存在时，方程符合题意；
（ii）当切线斜率存在时，令切线方程为，
圆心到直线的距离，得，
所以，即，
综上所述：切线方程是或.
【点睛】本题考查了直线与直线，直线与圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.
18.圆内一点，过点的直线的倾斜角为，直线交圆于两点．
⑴当时，求弦的长；
⑵当弦被点平分时，求直线的方程．
【答案】(1)；（2）
【解析】
【分析】
(1)由倾斜角求出斜率，进而求出直线方程，然后利用弦长公式.
(2)根据，可得到直线l的斜率，进而求出直线l的方程.
【详解】由直线l的倾斜角为,得到直线l斜率为-1，
则直线AB的解析式为y-2=-(x+ 1) ,即x+y-1=0 ,
∴圆心到直线AB的距离，
则弦AB的长为；
由圆的方程得到圆心坐标为(0,0)，
∵P(-1,2) ,
∴过P的直径所在直线的斜率为-2 ,根据垂径定理得到直线l方程斜率为，
则直线l方程为，即x- 2y+5= 0.
19.某学校为了分析在一次数学竞赛中甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽取了10个学生的成绩，成绩的茎叶图如下：
（1）根据茎叶图，计算甲班被抽取学生成绩的平均值及方差
（2）若规定成绩不低于90分等级为优秀，现从甲、乙两个班级所抽取成绩等级为优秀的学生中，随机抽取2人，求这两个人恰好都来自甲班的概率．
【答案】(1) 86，54.8.(2).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据平均数计算公式及方差计算公式得，（Ⅱ）甲、乙两个班级等级为优秀的学生分别有3个和4个，利用列举法得抽取2人基本事件数为21，而两个人恰好都来自甲班的事件数为3个，因此所求概率为
试题解析：（Ⅰ），
.
（Ⅱ）记甲班获优秀等次的三名学生分别为：，
乙班获优秀等次的四名学生分别为：.
记随机抽取2人为事件，这两人恰好都来自甲班为事件.
事件所包含的基本事件有：
共21个，
事件所包含的基本事件有：共3个，
所以.
考点：茎叶图，古典概型概率
【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
20.已知圆，直线，．
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程．
【答案】(1)见解析；(2)2x-y-5=0
【解析】
【详解】由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.
则
解得
∴直线l恒过定点A(3,1)．
因为，
所以点A在圆的内部，
所以直线与圆恒交于两点
（2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，
由，得l的方程为y－1＝2(x－3)，
即2x－y－5＝0.
21.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克）按照，，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数及中位数；
（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实.若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求都抽到优质果实的概率.
【答案】（1）（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用频率和为1，求图中a的值；
（2）用该组区间的中点值作代表，估计这种植物果实重量的平均数及中位数；
（3）利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】解：（1）由题意：，得.
（2），
列方程：，
得.
（3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个，则抽到两个都是优质果实概率.
【点睛】本题考查的是统计和概率综合，考查了频率分布直方图，平均数，中位数，古典概型等知识点，培养了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
22.已知为圆上的动点，，为定点，
（1）求线段中点M的轨迹方程；
（2）若，求线段中点N的轨迹方程.
【答案】（1） (x－1)2＋y2＝1；（2）
【解析】
【详解】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为.
∵点在圆上，
∴.
故线段中点的轨迹方程为
（2）设的中点为，
在中，，
设为坐标原点，连结，则，
所以，
所以.
故中点的轨迹方程为
