2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则直线c与直线b（ ）‎ A．异面 B．相交 C．平行 D．不可能平行 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：若a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b不可能是平行直线．‎ 否则，若c∥b，则有a∥b∥c，得出a，b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 ‎2．已知等差数列{an}中，+a8=16，=1，则的值为( )‎ A．15 B．17 C．22 D．64‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的性质可得a5，进而可得数列的公差，而a6=a5+d，代入化简可得．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质可得2a5=a2+a8=16，解得a5=8 ∴等差数列{an}的公差d=a5-a4=8-1=7， ∴a6=a5+d=8+7=15 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质的应用，属基础题．‎ ‎3．三个数大小的顺序是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：，即；，即；，即；所以，故正确答案为选项B．‎ ‎【考点】指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．‎ ‎4．等比数列满足，．则公比q的值为（ ）‎ A．2 B． C．1 D．2或 ‎【答案】D ‎【解析】等比数列中，，，所以得，即，∴，化简得，解得或，故选．‎ ‎5．若，则( )‎ A． B．3 C． D．-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据凑角的思路可得,再用正切的差角公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数给值求值型的问题以及正切的差角公式,属于基础题.‎ ‎6．设数列是递增的等差数列，前三项之和为，前三项的积为，则它的首项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为等差数列的前三项之和为，所以前三项为，则， 因为数列是递增的，所以，，因此它的首项是，故选B.‎ ‎【考点】等差中项的应用.‎ ‎7．已知数列的前项和为，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用可推导得为等比数列,再求通项公式即可.‎ ‎【详解】‎ 易得,故是以为首项,公比为3的等比数列.故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据递推公式推导前项和为等比数列进而求得通项公式的方法.属于基础题.‎ ‎8．若，且，则的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用同角三角函数的关系将原式化简成关于的二次方程,求得,继而根据可得的值与的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由,得,‎ 即,解得或(舍).‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数的运用,属于基础题.‎ ‎9．已知在R上是奇函数，且 A．-2 B．2 C．-98 D．98‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.‎ 故选A ‎10．已知数列中，，．若数列为等差数列，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 ‎【详解】‎ 依题意得：，因为数列为等差数列，‎ 所以，所以，所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础 ‎11．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案．‎ ‎【详解】‎ 设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，‎ 所以，解得， ‎ 由，，解得,故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力．‎ ‎12．若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组．‎ ‎【详解】‎ 由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知 消去，并整理得，‎ 所以（舍去），，‎ 于是有．‎ 在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列，‎ 所以必为2的被数，且，‎ 故这样的数组共50组．答案选B．‎ ‎【点睛】‎ 此题属于新情境问题，这类问题关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，研究对象的本质特征，如本题中能构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，这种明确数量关系（数量化的特征）是解决问题的关键，将地应用于新情境，即可达到解决问题的目的．这实质上是属于数学建模问题，一般考查较深刻，综合性强，难度略大，除要有相应的数学知识和数学能力外，还应耐心读题，仔细思考，增强信心，以应对此类问题．‎ 二、填空题 ‎13．如图所示的数阵中，用表示第行的第个数，则以此规律为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可令每一行的第一个数的分母为，则有，利用累加法，可得．从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于前一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和．令从第三行开始第二个数字为，则，将所有等式的左边和右边分别相加得，所以．所以．故本题应填．‎ ‎14．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，则球的表面积为.‎ ‎15．已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，所以，‎ 所以 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎16．已知是等差数列，记（n为正整数），设为的前n项和，且，则当取最大值时， ______．‎ ‎【答案】16.‎ ‎【解析】由，知，，所以．由，，知，，由此能够推导出中最大．‎ ‎【详解】‎ 由且，‎ 所以，‎ 所以，，即 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，，‎ ‎，，‎ 所以，即 所以，‎ 所以最大．‎ 故答案为：16‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列前项和的最大值，对一个递减数列来讲，只要求得的最大的就可能得出结果（主要还要考虑一下是否有），而本题，会发现至，，，开始往后均小于0.因此还要比较与的大小，确定是否成立．才能得出正确结论．‎ 三、解答题 ‎17．等差数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求满足不等式的的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2，3，4.‎ ‎【解析】(1) 设数列的公差为,再根据基本量方法求解即可.‎ ‎(2)先根据等差数列的求和公式求解,再利用二次不等式的方法求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公差为,‎ 由,得①.‎ 由,得②,‎ 解得,,所以；‎ ‎（2）因为,,所以,‎ 由不等式,得,‎ 所以,解得,因为,所以的值为2,3,4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的基本量法运用以及求和等,属于基础题.‎ ‎18．已知数列前n项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前20项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）224.‎ ‎【解析】(1)分当与时两种情况再利用前n项和与通项的关系求解即可.‎ ‎(2)分析可知当时,；时；,再去绝对值利用表达代入计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为,当时,,‎ 当时, …①‎ ‎…②‎ ‎①-②可得,当时,也满足.‎ ‎∴.‎ ‎（2）令有.‎ 故当时,；时；；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据前n项和与通项的关系求解通项公式的方法,同时也考查了等差数列中有正负项的求和.属于中档题.‎ ‎19．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．‎ ‎(1)求过点A的圆的切线方程；‎ ‎(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）当切线的斜率存在时，设为，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出求出切线方程，切线的斜率不存在时验证即可；（2）先求直线的方程，再求到的距离，再求的长度，然后求出三角形的面积.‎ 试题解析：(1)由圆：，配方，得，圆心，当斜率存在时，设过点的圆的切线方程为， 即，由，得，又斜率不存在时直线也与圆相切，故所求切线方程为或.‎ ‎(2)直线的方程为，即，点到直线的距离为，又，所以.‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.‎ ‎20．已知数列满足，且.‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】(1) 等式两边除以再证明即可.‎ ‎(2)利用等差等比数列的求和公式分组求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由已知,等式两边除以得,‎ 即,又.‎ ‎∴数列是以1为首项,公差为1的等差数列；‎ ‎（2）.‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎＝.‎ 故数列的前项和为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法以及等差等比数列的求和方法,属于基础题.‎ ‎21．已知向量，函数的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ ‎【解析】：（Ⅰ）‎ 因为的最大值为，所以 ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，‎ 得到 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，‎ 得到 因为所以 的最小值为最大值为 所以在上的值域为 ‎【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小 ‎22．已知数列满足=‎ ‎(1)若求数列的通项公式;‎ ‎(2)若==对一切恒成立求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）=；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，结合可得数列为等差数列，进而可得所求；（2）由得，利用累加法并结合等比数列的前项和公式求出，化简得，再利用数列的单调性求出的最大值即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，可得=．‎ ‎∴数列是首项为1，公差为4的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由及，‎ 得=，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎∵对一切恒成立，即对一切恒成立，‎ ‎∴对一切恒成立．‎ 又数列为单调递减数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了累加法与恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力，解决数列中的恒成立问题时，也常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．‎