2020九年级数学上册 第二十二章 用待定系数法求二次函数的解析式
22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式
第2课时
1.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
1
3
1
…
从上表可知，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴为直线x＝2 B．开口向下
C．顶点坐标为（2，3） D．当x＝5时，
2.若，，为二次函数y＝x2+4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1
0；②4a+c>2b；③（a+c）2>b2；④x（ax+b）≤a－B．其中正确的是_____________.（请把正确结论的序号都填在横线上）
9.如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，
连接BA，BC，求△ABC的面积．
10
10.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点.点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.
10
11.已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O及点A（－4，0）和点B（－6，3）.
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图，将直线y＝2x沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式.
12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，－4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的解析式.
（2）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）求四边形ABPC面积最大时点P的坐标及四边形ABPC的最大面积.
10
13.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）.当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段.
（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数解析式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
14.如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点.点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F.
（1）求此抛物线的解析式.
（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作0；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作0，于是他猜想：当点D运动到OC中点位置时，线段EF最长，你认为他的猜想是否正确，为什么？
（3）连接CF，DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值.
10
10
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.D
5.y=x2-x-2
6.y=x2-x-2
7.600
8.①②④
9.（1）
(2)△ABC的面积是6.
10.解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，∴设y=a(x-1)2+4.
∵抛物线过点B(0，3)，∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3.
(2)作点B关于x轴的对称点E(0，-3)，连接AE交x轴于点P.
设AE解析式为y=kx+b，则k+b=4,
b=-3,解得k=7,b=-3.
∴yAE=7x-3.
∵当y=0时，x=，∴点P的坐标为(，0).
11.解：（1）∵抛物线经过（0，0），（－4，0），（－6，3）三点，
10
∴，解得
∴抛物线的解析式为 .
∵，
∴抛物线的顶点坐标为（－2，－1）.
（2）设直线CD的解析式为y＝2x+m，
根据题意，得，
化简整理，得x2－4x－4m＝0，此方程只有一个解，
则∆＝16+16m＝0，解得m＝－1，
∴直线CD的解析式为y＝2x－1.
12.解：（1）将B，C两点的坐标代入y＝x2+bx+c中，
得解得
∴二次函数的解析式为y＝x2－3x－4.
（2）存在点P，使四边形POP'C为菱形.
如图（1），设P点坐标为（x，x2－3x－4），连接PP'交CO于点E，若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO，且FE⊥CO，
∴OE＝EC＝2，
∴x2－3x－4＝－2，解得（取负不合题意，舍去），
∴点P的坐标为.
10
（3）设点P的坐标为（x，x2－3x－4），如图（2）.
S四边形ABPC＝S△AOC+S△OPC+S△OPB
＝－2x2+8x+10＝－2（x2－4x）+10＝－2（x－2）2+18，
∴当x＝2时，四边形ABPC的面积最大，最大值为18.
此时点P的坐标为（2，－6）.
13.解：（1）当0≤x≤10时，设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），
所以，解得，，c＝20，
所以，0≤x≤10.
（2）当20≤x≤40时，易求.
所以当0≤x≤10时，令y＝36，得，
解得x＝4，x＝20（舍去）；
当20≤x≤40时，令y＝36，得，
解得.
因为，
所以老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数都不低于36时，讲解完这道竞赛题.
14.解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得
，解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2+2x+3.
（2）他的猜想正确.理由如下：
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
10
把C（0，3），B（3，0）代入得 ，解得，则直线BC的解析式为y＝－x+3.
设E（t，－t+3），则D（0，－t+3），F（t，－t2+2t+3），
∴
当时，EF最大，最大值为，此时D点坐标为，
∴点D为OC的中点时，线段EF最长.
（3）如图，连接DF，CF.
∵C（0，3），D（0，－t+3），F（t，－t2+2t+3），∴CD2＝（－t+3－3）2＝t2，
CF2＝t2+（－t2+2t+3－3）2
＝t2+（t2+2t）2，
DF2＝t2+（－t2+2t+3+t－3）2＝t2+（－t2+3t）2，
当CD＝CF时，t2＝t2+（－t2+2t）2，解得t1＝0，t2＝2；
当FC＝FD时，t2+（－t2+2t）2＝t2+（－t2+3t）2，解得t1＝0，；
当DC＝DF时，t2＝t2+（－t2+3t）2，解得t1＝0，t2＝3.
综上所述，当t＝2或或3时，△CDF为等腰三角形.
10
