高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（五）

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（五）

专题检测（五）‎ ‎[时间120分钟，满分150分]‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程是 A．2x＋y＝2　　　　　　 B．2x＋y＝4‎ C．2x＋y＝3 D．2x＋y＝3或x＋2y＝0‎ 解析　当截距不等于零时，设l的方程为＋＝1，点P在l上，∴－＝1，则a＝，∴l的方程为2x＋y＝3，当截距等于零时，设l的方程为y＝kx，又点P在l上，∴k＝－，∴x＋2y＝0.‎ 答案　D ‎2．(2012·广州二模)已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax＋by＋r2＝0，那么 A．l1∥l2，且l2与圆O相离 B．l1⊥l2，且l2与圆O相切 C．l1∥l2，且l2与圆O相交 D．l1⊥l2，且l2与圆O相离 解析　据题意知l1⊥OP，∵直线OP的斜率为k＝，则直线l1的斜率为－.‎ 又直线l2的斜率也为－，故l1∥l2.‎ ‎∵P(a，b)在圆O内，∴a2＋b2＜r2，‎ 圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)到直线l2的距离 d＝＞＝r，‎ 故l2与圆O相离．‎ 答案　A ‎3．(2012·青岛高三一模)已知从点(－2,1)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆周，则反射光线所在的直线方程为 A．3x－2y－1＝0 B．3x－2y＋1＝0‎ C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0‎ 解析　设A(－2,1)关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，‎ 则反射光线过A′与圆心(1,1)，‎ 其斜率k＝，方程为y－1＝(x－1)，‎ 即2x－3y＋1＝0.‎ 答案　C ‎4．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ 解析　设圆心坐标为(a，－a)，∴r＝＝，‎ 解得a＝1，∴r＝，‎ 故所求的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ 答案　B ‎5．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么|PF2|＝‎ A. B. C. D. 解析　由条件知F1(－3,0)，设P(x0，y0)，‎ 则－3＋x0＝0，故x0＝3，代入椭圆方程得y0＝±，‎ 易得|PF2|＝|y0|＝.‎ 答案　B ‎6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线C：y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析　抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，所以双曲线的焦距2c＝12，根据双曲线的渐近线方程得b＝a，代入c2＝a2＋b2，解得a2＝9，所以b2＝27，所以所求双曲线方程为－＝1.‎ 答案　B ‎7．在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 A．(－2,1) B．(1,2)‎ C．(2,1) D．(－1,2)‎ 解析　由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)．‎ 答案　B ‎8．(2012·济南模拟)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足||＋||＝4，则椭圆的离心率e＝‎ A. B. C. D. 解析　据椭圆的定义得||＋||＝4＝2a，∴a＝2.‎ 又c＝1，∴e＝＝.‎ 答案　D ‎9．(2012·海淀一模)过双曲线－＝1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A．4x＋3y－20＝0 B．4x－3y－20＝0‎ C．4x＋3y＋20＝0 D．4x＋3y－20＝0或4x＋3y－20＝0‎ 解析　已知双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 据题意得所求直线的斜率为.‎ 又双曲线的右焦点为(5,0)，‎ 故方程为y＝(x－5)，‎ 即4x－3y－20＝0.‎ 答案　B ‎10．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1)‎ C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)‎ 解析　由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14.‎ 又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，‎ ‎∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，‎ 故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．‎ 又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．‎ 答案　A ‎11．(2012·杭州模拟)设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为 A．3 B．2 C．3 D．2 解析　双曲线的焦点为(0,2)，(0，－2)，‎ 所以椭圆中的m＝2＋4＝6，‎ 所以椭圆方程为＋＝1，‎ 不妨设点P为第一象限的交点，‎ 根据双曲线和椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2，‎ ‎|PF1|－|PF2|＝2，(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|2)＝4|PF1|·|PF2|，‎ 即4|PF1|·|PF2|＝24－12＝12，‎ 所以|PF1|·|PF2|＝3.故选A.‎ 答案　A ‎12．(2012·北京师大附中模拟)设x1、x2是关于x的方程x2＋mx＋＝0的两个不相等的实数根，那么过两点A(x1，x)，B(x2，x)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是 A．相切 B．相离 C．相交 D．随m的变化而变化 解析　∵x1，x2是方程x2＋mx＋＝0的两个不等实根，‎ ‎∴x1＋x2＝－m，直线AB的斜率kAB＝＝x1＋x2＝－m，‎ ‎∴直线AB的方程为y－x＝－m(x－x1)，‎ 即mx＋y－x－mx1＝0，‎ ‎∴x2＋y2＝1的圆心到直线AB的距离 d＝.‎ 又∵x1是方程x2＋mx＋＝0的根，‎ ‎∴x＋mx1＋＝0，‎ 即x＋mx1＝－，‎ ‎∴d＝＝＝1＝r，‎ 故直线AB与圆x2＋y2＝1相切．‎ 答案　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．(2012·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点M(1，－1)为圆心，且与直线x－2y＋2＝0相切的圆的方程是________．‎ 解析　据题意知圆的半径 r＝＝，‎ 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.‎ 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5‎ ‎14．(2012·北京东城11校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且＜α＜，则双曲线的离心率的取值范围是________．‎ 解析　设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，‎ 则其渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∴＝tan α∈(1，)．‎ 又e2＝＝＝1＋∈(2,4)，‎ ‎∴e∈(，2)．‎ 答案　(，2)‎ ‎15．点P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是________．‎ 解析　设P(x0，y0)，M(x，y)，‎ 则x0＝2x，y0＝2y，‎ 代入双曲线方程得x2－4y2＝1.‎ 答案　x2－4y2＝1‎ ‎16．(2012·西城一模)直角坐标系xOy中，动点A，B分别在射线y＝x(x≥0)和y＝－x(x≥0)上运动，且△OAB的面积为1.则点A，B的横坐标之积为________，△OAB周长的最小值是________．‎ 解析　设A，B(x2，－x2)．‎ ‎∵直线OA的斜率为kOA＝，‎ ‎∴其倾斜角∠AOx＝30°，同理可得∠BOx＝60°，‎ ‎∴∠AOB＝90°.‎ ‎|OA|＝＝x1，‎ ‎|OB|＝＝2x2，‎ ‎∴S△AOB＝|OA||OB|＝·x1·2x2＝1，‎ ‎∴x1x2＝，‎ ‎∴|OB|＝2x2＝，‎ ‎|AB|＝＝，‎ ‎∴△AOB的周长l＝|OA|＋|OB|＋|AB|＝x1＋＋≥2＋ ‎＝2(＋1)．‎ 当且仅当x1＝，即x1＝时，等号成立．‎ 答案　　2(＋1)‎ 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ 解析　(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)‎ 因为直线l与抛物线C相切，‎ 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，‎ 解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.‎ 故点A(2,1)．‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切，‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，‎ 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎18．(12分)已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.‎ ‎(1)当m为何值时，方程C表示圆；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值．‎ 解析　(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，‎ 显然只要5－m＞0，即m＜5时方程C表示圆．‎ ‎(2)因为圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，‎ 其中m＜5，‎ 所以圆心C(1,2)，半径r＝.‎ 所以圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝，‎ 因为|MN|＝，所以|MN|＝，‎ 所以5－m＝2＋2，解得m＝4.‎ ‎19．(12分)点A和点B是抛物线y2＝4px(p＞0)上除原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．‎ 解析　当AB所在直线斜率不存在时，M为一定点，坐标为(4p,0)．‎ 当AB所在直线斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，‎ 由得k2x2＋2(kb－2p)x＋b2＝0.‎ 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝.‎ 由OA⊥OB，知y1y2＋x1x2＝0，则b＝－4pk，①‎ 设M(x，y)，由OM⊥AB，知·k＝－1，则k＝－，②‎ 由①②及y＝kx＋b消去k、b，得x2＋y2－4px＝0.‎ ‎20．(12分)(2012·丰台一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点M(－2,0)．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，连接MA，MB并延长交直线x＝4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且＋＝＋.求证：直线l过定点．‎ 解析　(1)依题意a＝2，＝，所以c＝.‎ 因为a2＝b2＋c2，所以b＝，椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　，消y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋‎2m2‎－4＝0，Δ＞0.‎ 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 设直线MA：y＝(x＋2)，则yP＝；‎ 同理yQ＝.‎ 因为＋＝＋，‎ 所以＋＝＋，‎ 即＋＝0.‎ 所以(x1－4)y2＋(x2－4)y1＝0，‎ 所以(x1－4)(kx2＋m)＋(x2－4)(kx1＋m)＝0，‎ ‎2kx1x2＋m(x1＋x2)－4k(x1＋x2)－‎8m＝0，‎ ‎2k＋m－4k－‎8m＝0，‎ 所以＝0，得m＝－k.‎ 则y＝kx－k，故l过定点(1,0)．‎ ‎21．(12分)(2012·深圳模拟)已知过点P(0,2)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，O 为坐标原点．‎ ‎(1)若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；‎ ‎(2)若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．‎ 解析　(1)设直线AB的方程为y＝kx＋2(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0(*)‎ 则由Δ＝(4k－4)2－16k2＝－32k＋16＞0，得k＜，‎ x1＋x2＝－＝，x1x2＝，‎ 所以y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，‎ 因为以AB为直径的圆经过原点O，‎ 所以∠AOB＝90°，即·＝0，‎ 所以·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，解得k＝－，‎ 即所求直线l的方程为y＝－x＋2.‎ ‎(2)设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，‎ 则由(1)得x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，‎ 所以线段AB的中垂线方程为 y－＝－，‎ 令y＝0，得xQ＝2＋＝－＋2＝22＋，‎ 又由(1)知k＜，且k≠0，得＜0或＞2，‎ 所以xQ＞22＋＝2，‎ 所以S△POQ＝|PO|·|OQ|＝×2×|xQ|＞2，‎ 所以△POQ面积的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎22．(14分)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F ‎1F‎2，|PF1|＝，|F‎1F2|＝2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．‎ 解析　(1)∵|F1F2|＝2，∴c＝.‎ 又PF1⊥F1F2，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2＝，‎ ‎|PF2|＝，‎ ‎∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，‎ 则a＝2，b2＝a2－c2＝1，‎ ‎∴所求椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中B(0,1)，‎ 由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，‎ 故可设BA边所在直线的方程为y＝kx＋1(不妨设k＜0)，‎ 则BC边所在直线的方程为y＝－x＋1，由.‎ 得A，‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝，‎ 用－代替上式中的k，得|BC|＝，‎ 由|AB|＝|BC|，得|k|(4＋k2)＝1＋4k2.‎ ‎∵k＜0，∴解得：k＝－1或k＝，‎ 故存在三个内接等腰直角三角形．‎