2019-2020学年湖北省恩施州高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年湖北省恩施州高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省恩施州高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域化简集合的表示，根据对数的真数大于零化简集合的表示，最后利用集合交集的定义，结合数轴求出.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎.‎ 因此.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集运算，考查了指数函数的单调性，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力.‎ ‎2．是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令 ‎【详解】‎ 复数为纯虚数 ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正态分布的特征得＝，选A.‎ ‎4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 A．140种 B．80种 C．100种 D．70种 ‎【答案】D ‎【解析】分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．‎ 解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，‎ 两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种 间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，‎ 都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种．‎ 故选D 点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．‎ ‎5．已知向量，，若，则实数的值是（ ）‎ A．-4 B．-1 C．1 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，故，展开得到，故，，选D.‎ ‎6．已知函数．命题，函数是偶函数；命题，函数在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数型函数的定义域判断函数是否能成为偶函数，进而判断命题的真假，根据对数型函数的单调性以及单调性的性质可以判断命题的真假，最后根据否命题、且命题的真假判断方法进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，函数的定义域为：，当时，函数的定义域为：‎ ‎，因此当时，函数的定义域不关于原点对称，因此不可能是偶函数，所以命题是假命题，是真命题；‎ 根据函数的单调性的性质可知：，函数在定义域内是增函数，因此命题是真命题，是假命题，因此有：是假命题；是真命题；是假命题.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的真假判断，考查了偶函数的定义和单调性的性质，考查了否命题、且命题的真假判断，属于基础题.‎ ‎7．下列命题中不正确的个数是（ ）‎ ‎①若直线上有无数个点不在平面内，则；‎ ‎②和两条异面直线都相交的两条直线异面；‎ ‎③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；‎ ‎④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】A：根据线面位置关系进行判断即可；‎ B：通过长方体举特例进行判断即可；‎ C：根据线面平行的性质进行判断即可；‎ D：根据确定平面定理，结合异面直线的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ A：当直线与平面相交时，直线上也存在有无数个点不在平面内，故本说法不正确；‎ B：如下图，在长方体中，都与异面直线都相交，而是相交直线，故本说法不正确；‎ C：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条有可能在该平面内，故本说法不正确；‎ D：两个相交线可以确定一个平面，因此一条直线和两条异面直线都相交，一共能确定两个平面，如果这两个平面重合，这与异面直线的定义相矛盾，故本说法是正确的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面关系、线面平行的性质，考查了异面直线的定义人，考查了确定平面问题，属于中档题.‎ ‎8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：循环体第一次运行后；第二次运行后 ‎；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B．‎ ‎【考点】程序框图的功能 ‎9．某锥体的三视图下图所示，该锥体的体积为（ ）‎ A．16 B．8 C．48 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何是一个四棱锥切去一个三棱锥，利用柱体、锥体的体积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何是一个四棱锥截去一个三棱锥，‎ 所以体积为：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了通过三视图求几何的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力.‎ ‎10．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】把点的坐标代入双曲线一条渐近线方程中，得到的关系，结合三者的关系，求出之间的关系，进而求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的一条渐近线经过点，所以该渐近线方程为：，因此有.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了已知双曲线渐近线上一点求双曲线的离心率，考查了数学运算能力.‎ ‎11．将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是( )‎ A．y=2cos2(x+) B．y=2sin2(x+)‎ C．y=2-sin(2x-) D．y=cos2x ‎【答案】C ‎【解析】因为将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是y=2-sin(2x-)，选C ‎12． 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞)‎ B．(－3,0)∪ (0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设F（x）="f" （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．‎ ‎∵F（-x）="f" （-x）g （-x）="-f" （x）•g （x）=-F（x）．‎ 故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．‎ ‎∴F（x）在（0，∞）上亦为增函数．‎ 已知f(－3)·g(－3)＝0，必有F（-3）=F（3）=0．‎ 构造如图的F（x）的图象，‎ 可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．‎ ‎【考点】本试题主要考查了复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系． ‎ 点评：导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．解决该试题的关键是先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增。‎ 二、填空题 ‎13．在的展开式中x5的系数是____________．‎ ‎【答案】644‎ ‎【解析】写出二项式的通项公式，根据乘法的运算规律，求出相应项的系数，最后求和即可.‎ ‎【详解】‎ 二项式的通项公式为：，的系数是，的系数是，因此在的展开式中x5的系数是.‎ 故答案为：644‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的应用，考查了两个二项式乘积后展开式中某项的系数，考查了数学运算能力.‎ ‎14．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆内的概率为 ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：满足条件的区域为三角形，与单位圆的公共部分如图所示 则所求的概率即为圆面积的1/4，比上三角形ABC的面积即可，可得为 ‎15．下面四个命题：其中所有正确命题的序号是_________．‎ ‎①函数的最小正周期为；‎ ‎②在中，若，则一定是钝角三角形；‎ ‎③函数且的图象必经过点（3，2）；‎ ‎④若命题“”是假命题，则实数的取值范围为；‎ ‎⑤的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】①：根据周期的定义，结合正弦的诱导公式进行判断即可；‎ ‎②：根据平面向量数量积的定义，结合三角形内角的取值范围进行判断即可；‎ ‎③：根据对数的运算性质进行判断即可；‎ ‎④：根据命题的否定与原命题的真假关系进行判断即可；‎ ‎⑤：先利用辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式的形式，根据平移规律求出平行后的解析式，再判断是否是偶函数进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①：当时，，，所以函数的最小正周期为是错误的，故本命题是假命题；‎ ‎②：‎ ‎，因此一定是钝角三角形，故本命题是真命题；‎ ‎③：因为当时，，所以函数且的图象必经过点（3，2），故本命题是真命题；‎ ‎④：命题“”是假命题，因此它的否定是真命题，即 是真命题，因此要想该命题是真命题，只需，故本命题是真命题；‎ ‎⑤：，该函数的图象向左平移个单位后，得到函数，而是奇函数关于原点对称，不关于关于轴对称，故本命题是假命题.‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的真假判断，考查了函数周期的定义、函数的对称性、图象的平移、对数的运算，考查了已知存在命题的真追假求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎16．已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，,若四面体P - ABC的体积为，则该球的表面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件先求出，然后表示出体积计算出半径，继而得到球的表面积 ‎【详解】‎ 设该球的半径为，则，‎ ‎，‎ 由于是球的直径 在大圆所在平面内且有 在中，由勾股定理可得 的面积 平面，且，四面体的体积为 ‎,‎ 即，‎ 球表面积 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了计算球的表面积，在解答此类题目时一定要结合题意先求出球的半径，然后再计算出结果．‎ 三、解答题 ‎17．‎ 已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），‎ ‎（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）由已知，得 当≥2时， ‎ 所以 ‎ 由已知，，‎ 设等比数列的公比为，由得，所以， ‎ 所以 ‎ ‎（2）设数列的前项和为，‎ 则，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎……11分 所以 ‎【考点】本小题主要考查由求、等比数列的通项公式和错位相减法求数列的前n项的和，考查学生对问题的分析和转化能力以及运算求解能力.‎ 点评：由求时，一定不要忘记验证时的情形，另外，错位相减法求数列的前n项的和是高考常考的内容，要灵活应用，仔细运算以防出错.‎ ‎18．如图，四棱锥中，，，，，PA=PD=CD=BC=1.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】（1）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵AB∥CD，∠BCD，PA＝PD＝CD＝BC＝1，‎ ‎∴BD，∠ABC，，∴，‎ ‎∵AB＝2，∴AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，‎ ‎∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO，‎ 由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，‎ 以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，‎ 直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），‎ ‎（﹣1，0，0），（，），‎ 设平面PBC的法向量（x，y，z），‎ 则，取z，得（0，，），‎ ‎∵（，），‎ ‎∴cos，‎ ‎∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 今年十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：‎ 性别与对景区的服务是否满意　　单位：名 ‎ ‎ 男 ‎ 女 ‎ 总计 ‎ 满意 ‎ ‎50 ‎ ‎30 ‎ ‎80 ‎ 不满意 ‎ ‎10 ‎ ‎20 ‎ ‎30 ‎ 总计 ‎ ‎60 ‎ ‎50 ‎ ‎110 ‎ ‎（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？‎ ‎（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；‎ ‎（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关 注：‎ 临界值表：‎ P() ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.025 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎ ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎【答案】解：（1）样本中满意的女游客为3名，样本中不满意的女游客为2名。‎ ‎（2）。‎ ‎（3）有99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关。‎ ‎【解析】试题分析：（I）每个个体被抽取的概率为 ‎，根据分层抽样，即可得样本中满意的女游客，样本中不满意的女游客的人数；‎ ‎（II）确定从这5名游客中随机选取两名的等可能事件的个数，其中事件A“选到满意与不满意的女游客各一名”包含6个基本事件，即可求得概率；‎ ‎（III）由列联表，计算K2的值，根据P（K2＞6.635）=0.010，即可得到结论．‎ 解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为名，样本中不满意的女游客为名。‎ ‎（2）记样本中对景区的服务满意的3名女游客分别为，对景区的服务不满意的2名女游客分别为。从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本事件，分别为：，，，，；其中事件A：选到满意与不满意的女游客各一名包含了6个基本事件，分别为：，，‎ 所以所求概率。‎ ‎（3）假设：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则应该很小。‎ 根据题目中列联表得：‎ 由可知：有99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关。‎ ‎【考点】本试题主要考查了分层抽样，考查等可能事件概率的求法，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ 点评：根据已知条件理解古典概型的概率中总的基本事件数从而求解概率的值，对于分层抽样的等概率抽样即为样本容量与总体的比值。‎ ‎20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；‎ ‎（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程 ‎ ∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m 又 ∴l的方程为：‎ 由 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ∴m的取值范围是 ‎ （2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可 设 ‎ 可得 而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴k1＋k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 点睛：解答本题的第一问是，直接依据题设条件建立含方程组，通过解方程组求出基本量，进而确定椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助交点的个数建立不等式求出参数 的取值范围；求解第二问时，依据题意先将问题转化为证明直线的斜率之和为0的问题来处理，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助坐标之间的关系进行推证而获解．‎ ‎21．已知在区间上是增函数.‎ ‎（1）求实数的值组成的集合；‎ ‎（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）实数a的值组成的集合；‎ ‎（2）存在实数，使得不等式对任意及恒成立．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，将条件在区间上为增函数这一条件转化为在区间上恒成立，结合二次函数的图象得到，从而解出实数的取值范围；（2）先将方程转化为一元二次方程，结合韦达定理得到与，然后利用 将用参数进行表示，进而得到不等式对任意 及恒成立，等价转化为对任意恒成立，将不等式 转化为以为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可，从而解出参数的取值范围.‎ 试题解析：（1）因为在区间上是增函数，‎ 所以，在区间上恒成立，‎ ‎，‎ 所以，实数的值组成的集合；‎ ‎（2）由得，即，‎ 因为方程，即的两个非零实根为、，‎ ‎、是方程两个非零实根，于是，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 设，，‎ 则，‎ 若对任意及恒成立，‎ 则，解得或，‎ 因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.‎ ‎【考点】1.函数的单调性；2.二次函数的零点分布；3.韦达定理；4.主次元交换 ‎22．一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以表示取出的球的最小号码，求的分布列，均值，方差．‎ ‎【答案】分布列见解析；；‎ ‎【解析】由题意可知：的取值分别为3,4,5，结合古典概型的概率计算公式，求出的每一个取值的概率，列出分布列，根据均值、方差公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：的取值分别为3,4,5，‎ ‎，，，‎ 的分布列如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型随机变量分布列、均值、方差的计算，考查了古典概型的计算公式，考查了数学运算能力.‎