2018-2019学年广西桂林市第十八中学高二下学期期中段考数学（理)试题 解析版

2018-2019学年广西桂林市第十八中学高二下学期期中段考数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 广西桂林市第十八中学2018-2019学年高二下学期期中段考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合的元素，根据交集定义计算．‎ ‎【详解】‎ 解：； ‎ ‎∴． ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题．‎ ‎2．已知复数，则（　　）‎ A． B．3 C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可用除法法则计算出复数，然后再由模的定义求得模．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算和求复数的模，掌握复数的运算法则和复数的概念是解题基础．‎ ‎3．“ “是“ ”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个命题：“ ”和“ “是否正确即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由一定能推出，当由，则不一定推出，‎ 故“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础．即若命题为真，则是的充分条件，是的必要条件．若，则是的充要条件．‎ ‎4．已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则等于（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由抛物线的定义,可得,解得.故本题正确答案为 ‎5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 三视图还原为三棱锥，如图所示，‎ 则三棱锥的表面积为.‎ 故选A.‎ ‎6．在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图,在区间 上随机取两个数为 ,则 ,围成的是边长为1的正方形, 表示的区域的图形是图中的阴影部分,利用几何概型概率公式, 则P(两个数之和小于 ) .选D.‎ 点睛:本题主要考查用几何概型求概率,属于易错题. 解题方法:‎ ‎ 求解几何概型问题常用数形结合法,通常先依据题设条件作出满足题意的几何图形,然后根据度量方式和度量公式来求解几何概型的概率.‎ ‎7．设实数， ， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,而,所以 , ,所以 ,选C.‎ ‎8．已知等比数列的前项和为，且，则的公比（　　）‎ A． B．2 C．或3 D．或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式中的量用和表示出来，解方程可得．‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得：‎ ‎∴，‎ 解得：或-1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，实际上就是考查等比数列的基本量法，属于基础题．本题出错点在于易忘记．‎ ‎9．若函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，则题意说明不等式在上恒成立，注意到此时，因此不等式可变形为，从而只要再求得的最大值即可求得的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数，其导数，‎ 若函数在上单调递增，则在上恒成立，‎ 又由，则有，‎ 则⇒，‎ 又由，则，即有最大值-1，‎ 若在上恒成立，则，‎ 即的取值范围为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立求参数取值范围这类问题的常用方法是分离参数法，转化为求函数的最值．‎ ‎10．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.‎ 考点：排列与组合 ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上一点，且．若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，且,由中位线的性质可知|AF2|＝2a，∵|PA|＝|PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a＋c)2＋4a2，‎ 化简得，即，‎ 则双曲线的离心率为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且 为偶函数，，则不等式的解集为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意构造函数，则，‎ 定义在上的可导函数的导函数为，满足 在上恒成立，函数在上为单调递减函数；‎ 又为偶函数，则函数 ，即关于对称，‎ ‎ ，则，‎ 由于不等式的解集等价于的解集，‎ 根据函数在上为单调递减函数，则，‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知实数满足，则的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 不等式组 ，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为 ，的几何意义是点 与 连线的斜率， 由于的斜率为，的斜率为. 所以的取值范围是.‎ 即答案为．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义．‎ ‎14．展开式中的系数为_______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵展开式中项为 ‎∴所求系数为故填 ‎【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；‎ ‎【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；‎ 视频 ‎15．在数列中，已知．若是的个位数字，则______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由题意，，且是的个位数字， ∴根据以上的规律看出数列的从第2 项起构成一个周期为4的数列， 故答案为4.‎ ‎【点睛】本题主要借助于数列的性质考查有关的新定义，解决此类问题的关键是要注意正确审题，即正确理解数列递推式的定义，以及正确并且合理的运用数列的递推式和数列的周期性．‎ ‎16．如图所示，直四棱柱内接于半径为的半径，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，则，‎ 所以直四棱柱的体积为，令，则，‎ 则，故，‎ 所以当时，即时，体积最大.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，角对应的边分别是，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二倍角公式和诱导公式化已知为的方程，解方程即得，从而得；‎ ‎（2）由公式可求得，从而可得值，然后由余弦定理得，最后再由正弦定理得，从而求得．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ 即，解得或（舍去）．‎ 因为，所以．‎ ‎（2）由，得到．又，解得．‎ 由余弦定理得，故．‎ 又由正弦定理得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，解题时根据已知条件选取适当的公式是解题关键，平常学习时应注意公式应用的条件．本题难度一般．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若在内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，求出即为所求切线斜率，然后可得切线方程；‎ ‎（2）把变形为，此方程在上有两个不等实根，研究函数的性质（利用导数研究其单调性，极值），结合函数图象可得，解之可得的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由的导数为，‎ 可得曲线在处的切线斜率为，‎ 切点为，可得切线方程为；‎ ‎（2）在内有两个不相等的实数根，‎ 即为在有两个不等实根，‎ 可令，则，‎ 由可得，递减；当时，，递增，‎ 可得的最大值为，‎ 由的图象可得，‎ 即有．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查方程根的个数问题．在研究方程根的个数求参数范围时，可用分离参数法把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，从而只要利用导数研究出函数的极值与单调性，再结合函数图象得出参数的范围．‎ ‎19．（题文）（2017新课标全国I理科）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 即 可取.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：‎ ‎①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；‎ ‎②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；‎ ‎③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎20．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．‎ ‎（1）求且（）的概率；‎ ‎（2）记，求的分布列，并计算数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题属于独立重复试验问题，求概率的关键是发生的次数，(1)，说明回答个问题后，正确个，错误个.要满足，则第一题回答正确，第2题如果正确，则后面4题2对2错，第2题如果错误，则第3题正确，后面3题2对1错，由此可计算出概率；（2）由可知的取值为.按概率公式计算概率可得分布列，可计算出数学期望．‎ 试题解析：（1）当时，即回答个问题后，正确个，错误个. 若回答正确个和第个问题，则其余个问题可任意回答正确个问题；若第一个问题回答正确，第个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确个.‎ 故所求概率为：.‎ ‎（2）由可知的取值为.‎ ‎，.‎ 故的分布列为：‎ ‎.‎ 考点：次独立重复试验恰好发生次的概率，随机变量的分布列，数学期望．‎ ‎21．如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）不过点的动直线与椭圆相交于两点，且．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）直线过定点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把圆方程化为标准方程得圆心坐标和圆半径，写出直线方程，由直线与圆相切可求得，再由得，从而可得椭圆标准方程；‎ ‎（2）利用得，从而与轴不垂直，可设其方程为，代入椭圆方程得点坐标，同理可得点坐标（直线的方程为），写出直线的方程，整理为形式可知其是否过定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）解：将圆的一般方程化为标准方程，‎ 圆的圆心为，半径 由，得直线，即，‎ 由直线与圆相切，得，∴‎ ‎∴，∴椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）证明：∵，∴，从而直线与坐标轴不垂直，‎ 由可设直线的方程为，则直线的方程为 将代入椭圆的方程，整理得：，‎ 解得或，因此的坐标为，‎ 即 将上式中的换成，得 ‎∴直线的斜率为 直线的方程为 化简得直线的方程为，因此直线过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆中的定点问题．直线过定点问题，通常是根据题设条件设出参数，然后由此参数表示出该直线方程，分析后可得此直线是否过定点及定点坐标．本题根据直线的形成，设直线方程为，则有方程为，这是解题关键．‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）数列的前项和为，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式可变形为，这样只要求得在上的最小值即可得的范围；‎ ‎（2）利用（1）的结论进行放缩，由（1）知在上恒成立，于是可令，则，取对数有，即，求和后可证得题中不等式成立．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数，若对恒成立，‎ 即：在上恒成立 令，‎ 则：．‎ 令，‎ 得到：，‎ 令，‎ 整理得：．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以：，‎ 所以：．‎ 则：的取值范围为．‎ ‎（2）由（1）知：当时，有恒成立，‎ 即对任意的有．‎ 令：，‎ 则：，‎ 得到：，‎ 所以：．‎ 所以：，‎ 则：‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题，考查不等式的证明．（1）不等式恒成立问题，通常可用分离参数法分离参数，把问题转化为求函数的最值，而这又可由导数进行求解．（2）在此类不等式证明中通常要用到题（1）的结论进行放缩．这需要学生要有敏捷的思维，如何在题（1）结论中得出能证明该不等式的结论，在于同学们平常的积累及丰富的数学知识．‎