2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 27数列的概念与简单表示法

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 27数列的概念与简单表示法

考点规范练27　数列的概念与简单表示法 基础巩固组 ‎1.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.an=2n-1 B.an=(-1)n(2n-1)‎ C.an=(-1)n+1(2n-1) D.an=(-1)n(2n+1)‎ ‎2.数列{an}中,a1=1,对所有n∈N*都有a1a2…an=n2,则a3+a5等于(　　)‎ A.‎61‎‎16‎ B.‎25‎‎9‎ C.‎25‎‎16‎ D.‎‎31‎‎15‎ ‎3.(2017浙江温州测试)设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=‎3‎‎2‎(an-1)(n∈N*),则an=(　　)‎ A.3(3n-2n) B.3n+2‎ C.3n D.3·2n-1‎ ‎4.(2017广西南宁测试)已知数列{an}满足:an‎+1‎an+1‎‎+1‎‎=‎‎1‎‎2‎,且a2=2,则a4等于(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.23 C.12 D.11‎ ‎5.数列{an}满足an+1+an=2n-3,若a1=2,则a8-a4=(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎6.已知数列{an}中,首项a1=1,an=an-1·3n-1(n≥2,n∈N*),则数列{bn}的通项公式为　　　　　　. ‎ ‎7.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　　. ‎ ‎8.若数列{an}满足a1=2,an+1=‎1+‎an‎1-‎an(n∈N*),则该数列的前2 018项的乘积a1·a2·a3·…·a2 018=　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.(2017浙江嘉兴模拟)已知数列{an}中的任意一项都为正实数,且对任意m,n∈N*,有am·an=am+n,如果a10=32,则a1的值为(　　)‎ A.-2 B.2 C.‎2‎ D.-‎‎2‎ ‎10.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于(　　)‎ A.2n-1 B.n C.2n-1 D.‎‎3‎‎2‎n-1‎ ‎11.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=anan‎+2‎(n∈N*).若bn+1=(n-λ)·‎1‎an‎+1‎,b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为(　　)‎ A.λ>2 B.λ>3 C.λ<2 D.λ<3‎ ‎12.(2017辽宁沈阳期末)若数列{an}满足‎1‎an+1‎‎-‎‎2‎an=0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列‎1‎bn为“梦想数列”,且b1+b2+b3=2,则b6+b7+b8=(　　)‎ A.4 B.16 C.32 D.64‎ ‎13.已知数列{an}满足a1=‎4‎‎3‎,an+1-1=an‎2‎-an(n∈N*),则m=‎1‎a‎1‎‎+‎‎1‎a‎2‎+…+‎1‎a‎2 017‎的整数部分是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎14.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图,他们研究过图中的1,5,12,22,…,‎ 由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数.若按此规律继续下去,第n个五角形数an=　　　　　. ‎ ‎15.(2017浙江温州瑞安模拟)已知数列{an}中,an=1+‎1‎a+2(n-1)‎(n∈N*,a∈R且a≠0).‎ ‎(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.‎ ‎16.在数列{an}中,a1=1,2anan+1+an+1-an=0(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列‎1‎an为等差数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若tan+1(an-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,求实数t的取值范围.‎ 答案：‎ ‎1.C　由数列{an}中1,-3,5,-7,9,…可以看出:符号正负相间,通项的绝对值为1,3,5,7,9…为等差数列{bn},其通项公式bn=2n-1.∴数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).故选C.‎ ‎2.A　∵当n≥2时,a1a2a3…an=n2,‎ 当n≥3时,a1a2a3…an-1=(n-1)2,‎ 两式相除,得an=nn-1‎‎2‎,‎ ‎∴a3=‎9‎‎4‎,a5=‎25‎‎16‎‎.∴‎a3+a5=‎61‎‎16‎‎.‎故选A.‎ ‎3.C　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=‎3‎‎2‎(an-1)-‎3‎‎2‎(an-1-1),整理,得an=3an-1.由a1=‎3‎‎2‎(a1-1),得a1=3,‎∴‎anan-1‎=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n,故选C.‎ ‎4.D　由已知得an+1‎‎+1‎an‎+1‎=2,则{an+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12,则a4=11.故选D.‎ ‎5.D　依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.‎ ‎6.an=‎3‎n(n-1)‎‎2‎　∵an=anan-1‎‎·an-1‎an-2‎·‎…‎·a‎2‎a‎1‎·‎a1=3n-1·3n-2·…·3·1=‎3‎n(n-1)‎‎2‎‎.∵‎a1也满足上式,∴an=‎‎3‎n(n-1)‎‎2‎‎.‎ ‎7.3n　a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)‎·‎‎3‎n+‎‎1‎+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两项相减得an=3n.‎ ‎8.-6　经计算,得a1=2,a2=-3,a3=-‎1‎‎2‎,a4=‎1‎‎3‎,a5=2,…‎ 则{an}是以4为周期的一个周期数列.‎ ‎∴a1a2a3a4=1.‎ ‎∴a1·a2·…·a2 013·a2 014·a2 018=2×(-3)=-6.‎ ‎9.C　令m=1,则an+1‎an=a1,所以数列{an}是以a1为首项,公比为a1的等比数列,从而an=a‎1‎n,因为a10=512,所以a1=‎‎2‎‎.‎ ‎10.D　由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),‎ ‎∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得,2an=3an-1(n≥2).‎ 又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.∴数列{an}是首项为1,公比为‎3‎‎2‎的等比数列.∴an=‎‎3‎‎2‎n-1‎‎.‎ ‎11.C　由已知可得‎1‎an+1‎‎=‎‎2‎an+1,‎1‎an+1‎+1=2‎‎1‎an‎+1‎‎.‎ 又‎1‎a‎1‎+1=2≠0,则‎1‎an+1=2n,bn+1=2n(n-λ),‎ bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,‎ 故bn=2n-1(n-1-λ)(n∈N*).‎ 由bn+1>bn,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ0,∴an+1>an,∴数列{an}是单调递增数列,由an+1-1=an‎2‎-an=an(an-1),‎ ‎∴‎1‎an+1‎‎-1‎=‎1‎an‎(an-1)‎=‎1‎an‎-1‎-‎‎1‎an‎,‎ ‎∴‎1‎an=‎1‎an‎-1‎-‎‎1‎an+1‎‎-1‎‎,∴m=‎1‎a‎1‎‎+‎‎1‎a‎2‎+…+‎1‎a‎2 017‎‎=‎1‎a‎1‎‎-1‎‎-‎‎1‎a‎2‎‎-1‎+‎‎1‎a‎2‎‎-1‎‎-‎‎1‎a‎3‎‎-1‎+…+‎1‎a‎2 017‎‎-1‎‎-‎‎1‎a‎2 018‎‎-1‎‎=‎1‎a‎1‎‎-1‎-‎‎1‎a‎2 018‎‎-1‎=3-‎1‎a‎2 018‎‎-1‎,‎ 由a1=‎4‎‎3‎>1,则an+1-an=(an-1)2>0,‎ ‎∴a2=1+‎4‎‎9‎,a3=1+‎52‎‎81‎,a4=1+‎6 916‎‎6 561‎>2,‎ ‎…,‎ a2 018>2,∴0<‎1‎a‎2 018‎‎-1‎<1,∴2a1>a2>a3>a4,‎ a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.‎ ‎(2)an=1+‎1‎a+2(n-1)‎=1+‎1‎‎2‎n-‎‎2-a‎2‎,‎ 已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,‎ 结合函数f(x)=1+‎1‎‎2‎x-‎‎2-a‎2‎的单调性,‎ 可知5<‎2-a‎2‎<6,即-100,‎ ‎∴当n≥2时,数列{bn}是递增数列,则‎(2n-1)(2n+1)‎‎2(n-1)‎‎≥‎‎15‎‎2‎,‎ ‎∴实数t的取值范围是‎-∞,‎‎15‎‎2‎‎.‎