2017-2018学年河北安平中学高二下学期第三次月考文科数学试题-解析版

2017-2018学年河北安平中学高二下学期第三次月考文科数学试题-解析版

绝密★启用前 河北安平中学2017-2018学年高二下学期第三次月考文科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用并集定义、不等式性质直接求解．‎ 详解：∵集合，‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查集合的并集运算，掌握交集的定义是解题的关键，属于容易题.‎ ‎2．已知等比数列满足，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵等比数列满足，∴，又偶数项同号，∴‎ ‎∴，∴‎ 故选：A ‎3．的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：很明显 ，‎ 则不等式等价于： ，解不等式组可得实数x的取值范围是： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎4．已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P,下列等式不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题中所给的角的终边上点的横坐标，利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用诱导公式求得的值，再将选项逐一对照，得到正确的结果.‎ 详解：因为角的终边过点，所以，‎ 由三角函数的定义可得：，，，而，‎ 由上可知，A,B,C选项都是正确的，只有D选项不正确，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关任意角的三角函数的定义的问题，在求解的过程中，需要利用任意角的三角函数的定义，将对应的三角函数值求出来之后与选项一一对照，选出结果即可.‎ ‎5．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A. () B. ()‎ C. () D. ()‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先需要对四个选项逐一分析，结合基本不等式成立的条件，再者就是结合二次函数的性质，从而求得正确的结果.‎ 详解：对于A，当时成立；‎ 对于B，，当且仅当时等号成立；‎ 对于C，应为；‎ 对于D，；‎ 综上所述，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关基本不等式成立的条件，在解题的过程中，紧紧咬住一正、二定、三相等，结合题意，求得结果.‎ ‎6．设， 满足，则（ ）．‎ A. 有最小值，最大值 B. 有最小值，无最大值 C. 有最大值，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.‎ 考点：线性规划.‎ 视频 ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先确定几何体的空间结构，然后结合三棱锥的体积公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，‎ 该三视图对应的几何体为三棱锥，‎ 其中为其所在棱的中点，该几何体的体积：‎ ‎.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎8．已知，，，则在方向上的投影为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：应用首先求得的值，然后求得两向量夹角的余弦值，最后求解在方向上的投影即可.‎ 详解：由题意可得：，‎ 则，设向量的夹角为，则，‎ 则在方向上的投影为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量投影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．已知[x]表示不超过x的最大整数．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出z的值为(　　)‎ A. 1 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.‎ 详解：若输入的值为2，则，满足继续循环的条件，；‎ 再次执行循环体，，满足继续循环的条件，；‎ 再次执行循环体，，不满足继续循环的条件，‎ 故，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要认真分析框图中涉及到的量的关系，注意循环体执行的条件，模拟程序的运行过程，求得结果.‎ ‎10．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令g（x）=，因为函数在区间上是增函数，从复合函数的角度分析，外层是递增的，所以转化为内层函数g（x）=在区间上是增函数，且g（x）>0在上恒成立； ‎ ‎ 故选D ‎11．对任意,的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为 ，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.‎ 考点：含绝对值不等式性质 视频 ‎12．若，则函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 非上述情况 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，当且仅当，即时等号成立，故选B．‎ 考点：基本不等式．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据图形的对称性求出黑色图形的面积，即为圆的面积的一半，利用几何概型的概率公式进行计算即可.‎ 详解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，‎ 设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 所以黑色部分的面积为，‎ 则所求的概率为，‎ 故答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关几何概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要分析得出黑色图形的面积等于圆的面积的一半，之后应用相关的公式求得结果.‎ ‎14．若关于的不等式的解集为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先利用绝对值的意义，先将绝对值符号去掉，结合题中所给的不等式的解集，观察解集的端点值，从而求得相应的结果.‎ 详解：由，得，故，‎ 由不等式的解集为，故.‎ 点睛：‎ 该题是一道关于已知不等式的解集，求不等式中参数值的题目，在解题的过程中，需要分析已知条件，从而求得结果.‎ ‎15．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用绝对值三角不等式求得的最小值为，可得，由此求得实数的范围.‎ 详解：有，‎ 不等式有解，‎ 可得，即，解得.‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式有解的条件，从而将问题转化为求其最值的问题，利用绝对值三角不等式，求得结果，注意对绝对值的几何意义要熟悉.‎ ‎16．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据柯西不等式，将原式进行配凑，并结合已知条件加以计算，即可得到的最大值.‎ 详解：根据柯西不等式，可得 ‎ ，‎ 当且仅当，即时，的最大值为18，‎ 因此的最大值为.‎ 点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)利用正弦定理以及两角和与两角差的三角函数转化求解C.‎ ‎(2)通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可.‎ 详解：（1）由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，‎ ‎2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.‎ 可得cosC＝，因为，所以C＝.‎ ‎（2）由已知S△ABC＝absinC＝，又C＝，所以ab＝6，‎ 由已知及余弦定理得a2＋b2-2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，‎ 所以a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.‎ 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理等，在解题的过程中，注意对公式的正确使用，从而求得结果.‎ ‎18．已知函数，为不等式的解集．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：(1)分当时，当时，当时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；‎ ‎(2)当时，，即，配方后，可证得结论.‎ 讲解：（1）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ 从而，‎ 因此 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的过程中，注意将绝对值符号去掉，将函数化为分段函数来处理，从而求得结果，关于证明绝对值不等式，两边平方即可证得结果.‎ ‎19．已知数列为等差数列，，.‎ ‎（1） 求数列的通项公式;‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的 通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法及等比数列前项和公式能求出数列的前n项和.‎ 试题解析： (1)设数列的公差为，依题意得方程组解得.‎ 所以的通项公式为. ‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎  ‎ ‚ －‚得 所以. ‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎20．设函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≥2；‎ ‎(2)当x∈R，0＜y＜1时，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：(1)运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后并求并集即可；‎ ‎(2)由分段函数可得的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证.‎ 详解：(1)由已知可得，f(x)＝‎ 所以，f(x)≥2的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知，|x＋2|－|x－2|≤4，‎ ‎＋＝ [y＋(1－y)]＝2＋＋≥4(当且仅当y＝时取等号)，‎ 所以|x＋2|－|x－2|≤＋.‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有利用绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数化为分段函数，之后将其转化为多个不等式组求得结果，最后取并集即可，关于证明题，应用左边的最大值小于等于右边的最小值，从而证得结果.‎ ‎21．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.‎ ‎(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；‎ ‎(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）当时，，由此利用零点分段法，将绝对值符号去掉，将不等式转化为多个不等式组，从而求得结果；‎ ‎（2）表示的是在数轴上到两点距离，距离最小值就是，若对恒成立，则只有满足，由此能求出实数的取值范围.‎ 详解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，‎ f(x)＝‎ 作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．‎ 由图象可知，不等式f(x)≥3的解集为 ‎.‎ ‎(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，‎ 不满足题设条件；‎ 若a＜1，f(x)＝‎ f(x)的最小值为1－a；‎ 若a＞1，f(x)＝‎ f(x)的最小值为a－1.‎ ‎∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，‎ ‎∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的有关问题，在解题的过程中，注意含绝对值不等式的解法------零点分段法，之后将不等式组的解集取并集得到结果，再者就是关于恒成立问题要向最值来靠拢，用绝对值三角不等式求其最值，即可求得结果.‎