2020版高考数学二轮复习 专题七专题突破练23 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 文

2020版高考数学二轮复习 专题七专题突破练23 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 文

专题突破练23　圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 ‎1.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+=0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.‎ ‎2.(2018河北保定一模,文20)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点-1,.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P(x,y)为椭圆C上任一点,F为其右焦点,点P'满足=(4-x,0).‎ ‎①证明:为定值;‎ ‎②设直线y=x+m与椭圆C有两个不同的交点A,B,与y轴交于点M.若|AF|,|MF|,|BF|成等差数列,求m的值.‎ 11‎ ‎3.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=,且椭圆过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎4.(2018河南郑州三模,文20)已知动点M(x,y)满足:=2.‎ ‎(1)求动点M的轨迹E的方程;‎ ‎(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-上,线段AB的中垂线与E交于P,Q两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.‎ 11‎ ‎5.(2018山东烟台一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,斜率为的直线与椭圆交于A,B两点,若线段AB的中点为D,且直线OD的斜率为-.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于点M,N,P为椭圆上一点,且满足OP⊥MN,问:是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由.‎ ‎6.(2018河北衡水中学考前仿真,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数,且过点P1,.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过P作两条直线l1,l2与圆(x-1)2+y2=r200⇒-2b>0).‎ 则解得a2=4,b2=3.‎ ‎∴椭圆方程为=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,y2<0,设△F1AB的内切圆的半径为R,‎ 则△F1AB的周长=‎4a=8,(|AB|+|F‎1A|+|F1B|)R=4R,‎ 因此,最大,R就最大,‎ 由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,‎ 由得(‎3m2‎+4)y2+6my-9=0,y1+y2=,y1y2=-.‎ 则|F‎1F2|(y1-y2)=.令=t,则m2=t2-1(t≥1),‎ 11‎ ‎∴.令f(t)=3t+,则f'(t)=3-,‎ 当t≥1时,f'(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有f(t)≥f(1)=4,≤3,即当t=1,m=0时,≤3,由=4R,得Rmax=,这时所求内切圆面积的最大值为.故直线l:x=1,△F1AB内切圆面积的最大值为.‎ ‎4.解 (1)∵动点M(x,y)满足=2,由椭圆的定义,知a=,c=1,‎ ‎∴b2=1,椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),=-1,不合题意;‎ 当直线AB不垂直于x轴时,设存在点N-,m(m≠0),直线AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得(x1+x2)+2(y1+y2)·=0,则-1+4mk=0,故k=,此时,直线PQ斜率为k1=-‎4m,PQ的直线方程为y-m=-‎4mx+,即y=-4mx-m.‎ 联立消去y,整理得(‎32m2‎+1)x2+‎16m2‎x+‎2m2‎-2=0.‎ ‎∴x1+x2=-,x1·x2=,‎ 由题意=0,于是 11‎ ‎=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1·x2-(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)=(1+‎16m2‎)x1·x2+(‎4m2‎-1)(x1+x2)+1+m2=+1+m2==0,‎ ‎∴m=±,‎ 因为N在椭圆内,∴m2<,∴m=±符合条件.‎ 综上:存在两点N符合条件,坐标为N-,±.‎ ‎5.解 (1)由题意可知c=,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆可得=1,=1,两式相减并整理可得=-,即kAB·kOD=-.又因为kAB=,kOD=-,代入上式可得a2=4b2.又a2=b2+c2,c2=3,所以a2=4,b2=1,故椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意可知,F(-,0),当MN为长轴时,OP为短半轴,此时+1=;‎ 否则,可设直线l的方程为y=k(x+),联立消y可得 ‎(1+4k2)x2+8k2x+12k2-4=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 所以|MN|=|x1-x2|=.‎ 11‎ 设直线OP的方程为y=-x,联立根据对称性,‎ 不妨设P-,‎ 所以|OP|‎ ‎=‎ ‎=.‎ 故.‎ 综上所述,为定值.‎ ‎6.解 (1)可得e=,设椭圆的半焦距为c,所以a=‎2c,因为C过点P1,,‎ 所以=1,‎ 又c2+b2=a2,解得a=2,b=,‎ 所以椭圆方程为=1.‎ ‎(2)①显然两直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由于直线l1,l2与圆(x-1)2+y2=r20

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