吉林省长春市2020届高三质量监测（二）数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 长春市普通高中2020届高三质量监测（二）‎ 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】由解得，所以，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.若（），，则（ ）‎ A. 0或2 B. 0 C. 1或2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于（），，所以，解得或.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.‎ ‎3.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 21 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】函数的定义域为，在上为减函数.‎ A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.‎ B选项，的定义域为，不符合.‎ C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.‎ D选项，的定义域为，不符合.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.‎ ‎4.已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.‎ ‎【详解】由于等差数列中，所以，化简得，所以为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.‎ ‎5.若单位向量，夹角为，，则（ ）‎ - 21 -‎ A. 4 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查向量的模的计算，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）‎ A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.‎ ‎【详解】对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.‎ 对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.‎ 对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.‎ 对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.‎ ‎7.命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.‎ ‎【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎8.已知函数，则函数的零点个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 对分两种情况求方程的根的个数即得解.‎ ‎【详解】当时，或，都满足；‎ 当时，，‎ 所以方程没有实数根.‎ 综合得函数的零点个数是2.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.已知为锐角，且，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解.‎ ‎【详解】由题得为锐角，∴‎ ‎∴.‎ 因为为锐角，∴.‎ 故选：C - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，‎ 由题得圆的圆心为，半径，‎ 可得圆心到渐近线的距离为，‎ 则，化为，所以 ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎11.已知数列的前项和为，且，（），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 由题得再利用累乘法求出，即得.‎ ‎【详解】由题得（）‎ 所以（）‎ 由题得，所以（）.‎ 所以 所以.‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前项和与的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.‎ ‎【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.‎ - 21 -‎ ‎①，，所以，故①正确.‎ ‎②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.‎ ‎③，，，故平面不成立，故③错误.‎ ‎④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.‎ 综上所述，正确的命题有个.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】作出可行域如图所示：‎ - 21 -‎ 由，解得.‎ 目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.‎ ‎14.曲线在处的切线与直线垂直，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出切线的斜率解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得 所以.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15.在半径为2的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使得为锐角三角形的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，当点P在劣弧CD上运动时，‎ - 21 -‎ 为锐角三角形.求出劣弧CD的长，再利用几何概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 如图，四边形ABCD是矩形，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.‎ 由于OD=OC=CD=2，所以, ‎ 所以劣弧CD的长为，‎ 由几何概型的概率公式得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则三棱锥体积的最大值为________；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于是球的直径，故当时，三棱锥体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥体积最大时，等边三角形的外接圆半径，由此求得等边三角形的外接圆的面积，也即求得平面截球所得的截面圆的面积.‎ ‎【详解】依题意可知，是球的直径，所以当，即 - 21 -‎ 时，三棱锥体积取得最大值为.此时，即三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，由正弦定理得，所以等边三角形的外接圆的面积，也即平面截球所得的截面圆的面积为.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知在的三个内角分别为、、，，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ ‎（1）由题得，再解方程即得解；（2）求出，再利用正弦定理得解.‎ ‎【详解】（1）由题得，‎ 所以，所以，‎ 解得，，∴.‎ ‎（2）‎ 由正弦定理得.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？‎ 擅长 不擅长 合计 男性 ‎30‎ 女性 ‎50‎ - 21 -‎ 合计 ‎100‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（，其中）‎ ‎【答案】（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.‎ ‎（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.‎ ‎【详解】（1）由题意，解得.‎ ‎（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.‎ 完善列联表如下：‎ 擅长 不擅长 合计 男性 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女性 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎，‎ 对照表格可知，，‎ 不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.‎ ‎19.如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，且.‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面MNG, MG即得证；（2）设与交于点，先求出，再求出即得解.‎ ‎【详解】（1）由题意平面平面，因为,‎ 所以平面,因为平面,‎ 所以,因为,‎ 平面,,‎ 所以平面MNG, 因MG平面MNG,‎ 所以MG.‎ ‎（2）设与交于点，‎ - 21 -‎ 在直角△中，,‎ 在直角中，,所以，‎ 则，‎ 因为平面MNG,所以就是到平面距离，‎ 可知到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试证明为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析；该定值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ ‎（1）由已知得，且，即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为：，求出，，再计算得其值为定值.‎ ‎【详解】（1）已知点在椭圆：（）上，‎ 可设，即，‎ 又，‎ 且，可得椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.‎ 联立直线与椭圆的方程可得：，‎ 由，可得，‎ 联立直线与椭圆的方程可得：，‎ 即，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若为极值点，且（），求的值.‎ ‎（2）求证：当时，有唯一零点.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，‎ - 21 -‎ ‎，对两式消元因式分解即得的值；（2）由题得，再分析和的图象即得当时，有唯一的零点.‎ ‎【详解】（1）由题得，‎ 由题可知，所以，‎ 所以（i）‎ 因为，所以.即（ii）‎ ‎（ii）-（i）得，‎ 所以.‎ ‎（2）令，则，‎ 令，，‎ 可知在和上单调递增，在上单调递减，‎ 又，；‎ 为过点的直线，又，则，‎ 因此有且只有一个交点，‎ 即有唯一的零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.‎ ‎22.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ - 21 -‎ ‎（1）求和的普通方程；‎ ‎（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.‎ ‎（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程为：；‎ 曲线的普通方程为：.‎ ‎（2）设过原点的直线的极坐标方程为；‎ 由得，所以曲线的极坐标方程为 在曲线中，.‎ 由得曲线的极坐标方程为，所以 而到直线与曲线的交点的距离为，‎ 因此，‎ 即的最小值为.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，解关于的不等式；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 由此可知，的解集为 ‎（2）当时，‎ 的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.‎ 当时，，且，不恒成立，不符合题意.‎ 当时，，‎ 若，则，故不恒成立，不符合题意；‎ - 21 -‎ 若，则，故不恒成立，不符合题意.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ - 21 -‎ - 21 -‎