2018届二轮复习导数及其应用学案（江苏专用）

2018届二轮复习导数及其应用学案（江苏专用）

专题4：导数及其应用（两课时）‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．（1）曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为 ．‎ ‎（2）曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为 ．‎ 答案：（1）y＝3x＋2．‎ ‎ （2）y＝2x或y＝－x．‎ ‎2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为 ．‎ ‎（2）函数f(x)＝x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为 ．‎ 答案：（1）(0，)．（1）a≤．‎ ‎3．求下列函数极值(或最值)：‎ ‎（1） f(x)＝xlnx；（2）f(x)＝sinx－x，x∈[－，]．‎ 答案：（1）当x＝时，f(x)取极小值－ ．‎ ‎ （2）当x＝－时，f(x)取最小值－．当x＝时，f(x)取最大值－．‎ ‎4．已知函数f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值．‎ 答案：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．‎ ‎ 当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln‎2a－1)．‎ ‎ 当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．‎ ‎5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 答案：a＞．‎ ‎6．已知函数f (x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围．‎ 答案：(0，)．‎ 二、方法联想 ‎1．函数的切线问题 函数的切线问题首先是切点问题，没有必设x＝x0． ‎ ‎（1）经过切点的切线方程是y－f(x0)＝f ′(x0)( x－x0)；‎ ‎（2）若函数y＝f(x)在切点处的切线方程为y＝kx＋b，则有；‎ ‎（3）注意点 “在一点”与“过一点”的区别．“在”表示该点为切点，“过”‎ 表示该点不一定为切点． ‎ ‎ 变式1：若曲线y＝x＋b是曲线y＝lnx (x＞0)的一条切线，则实数b的值为 .‎ ‎(答案：ln2－1，考查已知切线方程求参数值)‎ 变式2：在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2 (x＞0)和y＝x3 (x＞0)均相切，切点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值是 ．‎ ‎(答案：，考查公切线问题，求切点)‎ 变式3：若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．‎ ‎(答案：－1，考查已知公切线，求参数的值)‎ 变式4：已知函数f(x)＝2x3－3x，若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．‎ ‎(答案：(－3，－1)，考查已知公切线条数，求参数的范围)‎ 变式5：曲线y＝－ (x＜0)与曲线y＝lnx公切线(切线相同)的条数为 ．‎ ‎(答案：1，考查求两曲线的公切线条数)‎ ‎2.利用导数研究函数的单调性问题:‎ ‎ (1)求函数的单调区间问题 方法:判断导函数的符号 ‎ 步骤：①求函数定义域；②求函数的导函数；‎ ‎③解不等式f ′(x)＞0 (或f ′(x)＜0)，求出递增区间(或递减区间)．‎ 注意：1．求单调区间前先求定义域；单调区间是局部概念，‎ 故不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”．‎ 变式1：已知f(x)＝2ax－－(2＋a)ln x(a≥0)．当a＞0时，讨论f(x)的单调性．‎ 答案：①当0＜a＜2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数；‎ ‎ ②当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎ ③当a＞2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数．‎ ‎(考查函数单调性的讨论)‎ 变式2：若函数f(x)＝x2－lnx＋1在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，‎ 则实数k的取值范围_______________．‎ ‎(答案：[1，)，考查函数不单调，求参数的范围）‎ ‎(2)已知函数的单调性，求参数的范围．‎ ‎ 方法：转化为不等式恒成立问题，即 若f(x)在区间D上为增函数，则f ' (x)≥0在区间D上恒成立；‎ 若f(x)在区间D上为减函数，则f ' (x)≤0在区间D上恒成立．‎ 注意 考虑到f ' (x)＝0的情况．‎ ‎3．函数极值(或最值)，‎ ‎(1)求函数的极值(或最值)‎ 步骤：①求函数的定义域；‎ ‎②求f ′(x)＝0在区间内的根；‎ ‎③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．‎ ‎④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．‎ ‎(2)已知函数的极值点x0，求参数的值．‎ ‎ 方法：根据取极值的必要条件f ′(x0)＝0，求出参数的值，‎ 要注意验证x0左右的导数值的符号是否符合取极值的条件。‎ ‎(3)极值(或最值)的分类讨论 ‎（1）分类讨论根据f ′(x)＝0解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)；‎ 极值（最值或 单调性问题）‎ 方程无解 有解在开区间内，列表求最值 所有解在开区间外 优先用十字相乘法求解 f′(x)=0‎ 方程有解 区间左侧 区间右侧 ‎（通分）‎ ‎（先舍掉解，再比较解的大小）‎ f’(x)恒正或恒负，利用单调性求最值 ‎（2）注意数形结合．‎ 变式1：已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，‎ 则a的取值范围是_____．‎ ‎(答案：(－1，0)，考查已知极大（小）值点，求参数范围）‎ 变式2：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a＞0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，‎ 则实数a的取值范围是______．‎ ‎(答案　(，2)，考查已知极值点范围，求参数范围）‎ ‎4．不等式恒成立问题 ‎（1）若不等式的左右都是相同的变量x，如：对"x∈D，f(x)≤g(x)恒成立．‎ 方法1 分离变量法(优先)．‎ 方法2 设F(x)＝f(x)－g(x)，转化F(x)的最值问题．‎ 方法3 构造两个函数的图象判断位置关系．‎ 方法4 转化为二次函数图象问题．‎ 方法5 转化为一次函数图象问题．‎ 技巧 可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围．‎ ‎（2）若不等式的左右都是不相同的变量，如：对"x1∈D1，"x2∈D2， f(x1)≤g(x2)恒成立，‎ 则f(x)max≤g(x)min．‎ 说明：若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反．‎ ‎5．方程有解（或解的个数）问题 方法1 分离变量法(优先) ．‎ 方法2 构造F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)零点问题．‎ 方法3 构造两个函数的图象判断交点个数．‎ 方法4 转化为二次函数零点问题．‎ 方法5 转化为一次函数零点问题．‎ 说明：考虑数形结合．‎ ‎6．导函数的零点和正负难判断 技巧1 猜方程的根（如0，±1，±e等），再通过再求导证明根是否唯一(如证恒增或恒减)．‎ 技巧2 提取公因式，判断方程的根．‎ 技巧3 判断是否恒正（负）或判断是否存在根.方法有构造两个函数、不等关系、再求导等．‎ 技巧4 方程根存在时，设方程的根为x0，代入f'(x)＝0和f(x)．‎ 变式1：已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.，则a的取值范围是 . ‎ ‎(答案：a＞0，考查导函数零点分类讨论)‎ 变式2：设函数f(x)＝(x＋1)lnx，g(x)＝，是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在（k，k＋1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.‎ ‎(答案：k＝1，判断方程是否有根及根的个数）‎ 三、例题分析 例1：已知函数f(x)＝x3＋3x2－1 (x∈R)，记y＝f(x)的图象为曲线C．‎ ‎ (1)求证：若以曲线C上任意一点P(x0，y0)为切点作曲线C的切线，则切线的斜率存在最小值－3；‎ ‎(2)求证：以曲线C上任意两个动点A，B为切点分别作切线l1，l2，若l1∥l2恒成立，则动直线AB恒过某个定点M．‎ ‎(3)在(2)的条件下，当直线AB的斜率kAB＝－2时，求△AOB的面积(O为坐标原点)．‎ 答案：(1)略； (2)证明略，定点M(－1，1)；(3)3．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ 本题是利用导数研究曲线的切线问题，曲线与解析几何的综合问题，涉及求曲线的切线方程，直线过定点问题，三角形面积的计算等．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎ 第(1)问是曲线切线的基本问题，涉及求函数的最小值；第(2)问因不知切点，因而必须设切点的坐标，进而通过两切线的平行关系，找到两切点坐标的关系，为证明直线AB过定点创造条件；第(3)问在解几中只是简单的计算，已知三角形三个顶点，求面积问题．‎ 例2.已知函数f(x)＝x2－(‎2a＋1)x＋alnx．‎ ‎（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值； ‎ ‎（3）设g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．‎ 答案：（1）函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，＋∞）．‎ ‎（2）当a≤1时，[f(x)]min＝－‎2a；当1＜a＜e时，[f(x)]min＝a(lna－a－1)；‎ 当a≥e时，[f(x)]min＝e2－(‎2a＋1) e＋a．‎ ‎（3）实数a的取值范围为(－∞，]．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ 本题是利用导数研究函数的相关性质.‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．‎ ‎2．求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小．‎ ‎3．由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区间的关系，突出分类讨论的思想．‎ ‎4．帮助学生理解题意，得出不等式f(x)≥g(x)在[，e]上有解，通过分离常数法，研究函数的最大值得出实数a的取值范围．‎ ‎5．在对不等式变形时，要注意不等式两边同时除以的是正数还是负数，关注不等号方向的变化．本题可以适当变式帮助学生理解题意．‎ 例3. 设函数f (x)＝x－2ex－k(x－2lnx) (k为实常数，e是自然对数的底数)．‎ ‎ （1）当k＝1时，求函数f (x)的最小值；‎ ‎（2）若函数f (x)在(0，4)内存在三个极值点，求k的取值范围．‎ 答案：（1）－(2－2ln2)．（2）(，)．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎ 1．函数的最值的问题 求解步骤：①求函数的定义域；②求f ′(x)＝0在区间内的根；‎ ‎③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．‎ ‎④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．‎ ‎ 2．零点的个数问题 ‎ 方法1：零点的存在定理．‎ 方法2：数形结合，函数零点与方程的根的关系进行转化，化为两个“恰当的函数”，根据函数图象的交点个数来判断函数零点个数．‎ 注意 作函数图象的相对准确性和考虑特殊情况．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎ 第(1)问求导后，要抓住两部分都有x－2的特点，提取公因式，提取公因式后出现了因式ex－x2，本题的关键是分析因式ex－x2，可以得出ex＞x2，当然这个结论需证明，证明可转化为证明x＞2lnx，用构造函数的方法即可证明；‎ ‎ 第(1)问可转化为零点的个数问题，此题的关键也是对导函数零点的分析，本题f ′(x)＝．‎ ‎ 问题转化为方程(x－2)(－k)＝0在(0，4)内有三个实数解，由于x＝2显然是方程的根，所以问题主要是讨论方程(－k)＝0在(0，4)内有2个解(异于x＝2)．‎ O ‎5‎ y＝－x＋8‎ y x 四、反馈练习 ‎1.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，‎ 则f(5)＋f′(5)等于________. ‎ 答案：2；(考查导数的几何意义，直线方程).‎ ‎2.若曲线y＝在x＝a处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18，则a＝________．‎ 答案：64；(考查导数的几何意义).‎ ‎3.函数f(x)＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a取值范围为________.‎ 答案：a≤0；(考查用导数研究函数的单调性).‎ ‎4. 已知函数f(x)＝4ln x＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，‎ 则a的值为________.‎ 答案：1；(考查导数，利用导数研究函数的极值问题).‎ ‎5. 关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________.‎ 答案：(－4，0)； (考查利用导数研究函数的零点).‎ ‎6.已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为________．‎ ‎ 答案：36；(考查用导数研究函数的最值).‎ ‎7.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______．‎ ‎ 答案：1＜a≤2；(考查用导数研究函数的单调性).‎ ‎8.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．‎ 答案：－13；(考查用导数研究函数的最值，二次函数的最值).‎ ‎9.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为__________．‎ ‎ 答案：；(考查转化的思想方法，用导数研究函数的最值).‎ ‎10.已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围 是________．‎ 答案：x≥－；(考查转化的思想方法，用导数研究函数的最值).‎ ‎11.已知函数f (x)＝x2＋xsinx＋cosx．‎ ‎（1）若曲线y＝f (x)在点（a，f (a)）处与直线y＝b相切，求a与b的值；‎ ‎（2）若曲线y＝f (x)与直线y＝b有两个不同的交点，求b的取值范围．‎ 答案：（1）a＝0，b＝1；（2）b的取值范围是（1，＋∞）．‎ ‎(考查导数的几何意义，函数的值域问题，数形结合的思想方法).‎ ‎12.已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1).‎ ‎(1)设a＝2，b＝.‎ ‎①求方程f(x)＝2的根；‎ ‎②若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值.‎ 答案：(1)①x＝0；② 4；(2) ab＝1.‎ ‎(考查解指数方程，不等式恒成立，函数的零点问题).‎ ‎13.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图，已知AB为直径，且AB＝‎2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB．现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是，C到D是线段CD.设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm.‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ ‎（2）求观光路线总长的最大值. ‎ 答案：（1）y＝x＋2cosx ，x∈(0，) ‎ ‎(2)观光路线总长的最大值为＋千米． ‎ ‎(考查用导数研究生活中的最优化问题).‎ ‎14.已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exlnx（e是自然对数的底数）.‎ ‎（1）若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y2＝4(x－1)的切线，求a的值；‎ ‎（2）若对于任意x∈R，f(x)＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；‎ ‎（3）当a＝－1时，是否存在x0∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由.‎ 答案：（1）a＝－1－e或a＝1－e； ‎ ‎（2）a∈(－e，0]. ‎ ‎（3）存在符合条件的x0，且仅有一个x0＝1. ‎ ‎(考查导数的几何意义、不等式恒成立问题、导数的综合应用)‎