2019-2020学年宁夏青铜峡市高级中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2019-2020学年宁夏青铜峡市高级中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

‎2019-2020学年宁夏青铜峡市高级中学高二上学期期末考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.已知i是虚数单位,复数 (    )‎ A.i﹣2 B.i+2 C.﹣2 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值.‎ ‎【详解】‎ 解:,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数代数形式的除法运算,属于基础题.‎ ‎2.“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据包含关系,直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为“”不能推出“”;‎ ‎“”能推出“”,‎ 所以,“”是“”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 判断充分条件与必要条件应注意:首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎3.抛物线的准线方程为(   )‎ A.y= B.y= C.y= D.y=‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p,再直接代入即可求出其准线方程.‎ ‎【详解】‎ 解:∵抛物线的标准方程为,‎ ‎∴其焦点在y轴上且,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的准线方程为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质,属于基础题.‎ ‎4.已知命题是无理数;命题 ,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先对命题p和命题q的真假性做出判断,然后根据真值表判断复合命题的真假,即可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ 是无理数,故命题p是真命题,是假命题;,故命题q是假命题,是真命题,所以是真命题.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题的真假性判断,属于基础题.‎ ‎5.已知椭圆,分别为其左、右焦点,椭圆上一点到的距离是2,是的中点,则的长为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆定义得,因为,所以 因为是的中点,所以=4,选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆定义,考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ ‎,故,即,故渐近线方程为.‎ ‎【考点】‎ 本题考查双曲线的基本性质,考查学生的化归与转化能力.‎ ‎7.已知数列是等比数列,为其前n项和,若,a4+a5+a6=6,则S12等于( )‎ A.45 B.60 C.35 D.50‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的性质,可知,,,也构成等比数列,再由等比数列求和公式计算.‎ ‎【详解】‎ 解:∵数列是等比数列,‎ ‎∴,,,也构成等比数列,‎ 又,,‎ ‎∴该数列的公比,且项数为4,‎ ‎∴,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质与求和,熟记等比数列的有关性质可简化计算,属于基础题.‎ ‎8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么  ‎ A.6 B.8 C.9 D.10‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线的性质直接求解,即焦点弦长为.‎ ‎【详解】‎ 抛物线中,,∴, 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 是抛物线的焦点弦,,,抛物线的焦点弦长为,抛物线的焦点弦长为,抛物线的焦点弦长为,抛物线的焦点弦长为.‎ ‎9.在如图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】将平移到一起,根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.‎ ‎【详解】‎ 连接如下图所示,由于分别是棱和棱的中点,故,根据正方体的性质可知,所以是异面直线 所成的角,而三角形为等边三角形,故.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法,考查空间想象能力,属于基础题.‎ ‎10.若椭圆和双曲线的共同焦点为,,是两曲线的一个交点,则的值为 ( )‎ A. B.84 C.3 D.21‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意作出图像,分别利用椭圆及双曲线定义列方程,解方程组即可求解。‎ ‎【详解】‎ 依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下:‎ 由椭圆方程可得:,‎ 由椭圆定义可得:…(1),‎ 由双曲线方程可得:,,‎ 由双曲线定义可得:…(2)‎ 联立方程(1)(2),解得:,‎ 所以 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆及双曲线的定义,还考查了椭圆及双曲线的简单性质,考查计算能力,属于中档题。‎ ‎11.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )‎ A.121 B.123 C.231 D.211‎ ‎【答案】B ‎【解析】观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,所求值为数列中的第十项.根据数列的递推规律求解.‎ ‎【详解】‎ 解:观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,‎ 其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项;‎ 继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,‎ 第十项为123,即,‎ 故答案为:123.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列中的规律问题,要充分寻找数值、数字的变化特征,构造出数列,从特殊到一般,进行归纳推理.‎ ‎12.对于任意实数x,符号[x]表示x的整数部分,即[x]是不超过x的最大整数,例[2]=2;[2.1]=2;[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么的值为( )‎ A.21 B.76 C.264 D.642‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用“取整函数”和对数的性质,先把对数都取整后可知各项的值,再求和即可.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意有,,‎ 两个数都是1,‎ 到四个数都是2,‎ 到八个数都是3,‎ 到十六个数都是4,‎ 到三十二个数都是5,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算,正确理解“取整函数”的概念,把对数正确取整是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13.已知 的三个顶点为 , ,,则边上的中线长为 . ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析:线段中点的坐标为,因此边上的中线长 ‎【考点】空间中两点间的距离公式;‎ ‎14.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则_________ .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据双曲线的几何性质求得实轴长、虚轴长,列出方程,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意有,实轴长为2,虚轴长为,‎ ‎∴,得,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎15.直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是 ‎ ‎【答案】(—, )‎ ‎【解析】略 ‎16.已知数列中,,则数列通项公式为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:为等比数列,公比为3,首项为,所以通项公式为 ‎ ‎【考点】构造法求数列通项公式 三、解答题 ‎17.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎【答案】(1)an=2n-9(2)Sn=n2-8n=(n-4)2-16,最小值为-16‎ ‎【解析】(1)由等差数列通项公式可得:;‎ ‎(2)由等差数列前项和公式可得:,再结合二次函数求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设的公差为d,由题意得由 得, ‎ 所以的通项公式为; ‎ ‎ (2)由(1)得, ‎ 所以当时,取得最小值,最小值为-16.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列通项公式及前项和,属基础题.‎ ‎18.(1)已知椭圆中心在原点,一个焦点为,且长轴长是短轴长的2倍,求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知双曲线焦点在y轴上,焦距为10,双曲线的渐近线方程为,求双曲线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2) ‎ ‎【解析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组,解出即可;‎ ‎(2)根据双曲线的几何性质列出方程组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由题意,该椭圆的焦点在x轴,设椭圆的标准方程为,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴该椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)由题意,设双曲线的标准方程为,设焦距为2c,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴该双曲线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和双曲线的简单性质的应用,是对圆锥曲线基础知识的考查,属于基础题.‎ ‎19.在中,内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(1)求角C的大小 ‎(2)若,的面积为,求的周长.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ). ‎ ‎【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式可得值,结合范围 ‎,即可得解的值.‎ ‎(Ⅱ)利用正弦定理及面积公式可得,再利用余弦定理化简可得值,联立得从而解得周长.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由正弦定理,得 ‎,‎ 在中,因为,所以 故, ‎ 又因为0<C<,所以. ‎ ‎(Ⅱ)由已知,得.‎ 又,所以. ‎ 由已知及余弦定理,得, ‎ 所以,从而.即 ‎ 又,所以的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理,余弦定理的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于基础题.‎ ‎20.如图,在直三棱柱中,已知,.设的中点,.求证:‎ ‎(1)平面;‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】试题分析:(1)要证线面平行,只需找线线平行,因为D,E为中点,利用中位线即可证明;(2)只需证明平面即可,显然可证,因此原命题得证.‎ 试题解析:‎ ‎⑴在直三棱柱中,‎ ‎ 平面,且 矩形是正方形, ‎ 为的中点, ‎ 又为的中点, , ‎ 又平面, 平面, ‎ 平面 ‎ ‎⑵在直三棱柱中,‎ ‎ 平面, 平面, ‎ 又, 平面, 平面, ,‎ 平面, ‎ 平面, ‎ 矩形是正方形, ,‎ 平面, , 平面 又平面, .‎ 点睛:两条直线的垂直,一般需要用到线面垂直,先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线,在此证明过程中,一般还要再次用到线面垂直的判定或性质,从而得到线线垂直.‎ ‎21.如图,是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的一点. ‎ ‎(1)求证:平面 平面;‎ ‎(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)先证,,从而平面,再由面面垂直的判定定理得到平面平面.‎ ‎(2)作平面,以点为坐标原点,分别以直线,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由是圆的直径,得,‎ 由平面,平面,得,‎ 又,平面,平面,‎ 平面,‎ 平面,‎ 平面平面. ‎ ‎(2)如图,作平面,以点为坐标原点,分别以直线,,为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系. ‎ 在中,,,. ‎ 又,,,. ‎ 故,. ‎ 设平面的法向量为,则 令,则.‎ ‎,设直线与平面所成角为,‎ ‎.‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明、线面角的正弦值,考查推理论证能力和运算求解能力,求解时要注意充分发挥空间想象能力,将定判定定理和性质定理的条件写完整.‎ ‎22.设,分别是椭圆E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过的直线与E相交于A、B两点,且,,成等差数列。‎ ‎(Ⅰ)求 ‎(Ⅱ)若直线的斜率为1,求b的值。‎ ‎【答案】(1)(2),‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.‎ ‎(2)l的方程为y=x+c,其中c=,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组 消去y,得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0,则x1+x2=,x1x2=.‎ 因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.‎ 则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,解得b=.‎
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