【数学】2018届一轮复习人教A版第六章第3讲基本不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第六章第3讲基本不等式学案

第3讲　基本不等式 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P115])‎ ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎2．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)‎ ‎(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可；‎ ‎(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎ ‎2．活用几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号且都不为0)；‎ ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R)．‎ ‎3．巧用“拆”“拼”“凑”‎ 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎1. 将正数m分成两个正数a与b之和，则ab的范围为(　　)‎ A．(0，]　　　　　　　　 B．(0，]‎ C．[，＋∞) D．[，＋∞)‎ ‎　B　[解析] a＋b＝m≥2，‎ 所以ab≤，故选B.‎ ‎2. 函数f(x)＝x＋的值域为(　　)‎ A．[－2，2] ‎ B．[2，＋∞)‎ C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) ‎ D．R ‎　C　[解析] 当x>0时，x＋≥2＝2.‎ 当x<0时，－x>0.‎ ‎－x＋≥2＝2.‎ 所以x＋≤－2.‎ 所以f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.‎ ‎3. 用长为a(a>0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　D　[解析] 设折成的矩形的两边分别为x，y(x>0，y>0)．‎ 则x＋y＝.‎ 因为x＋y≥2，‎ 所以xy≤(x＋y)2＝，‎ 即S矩形≤.‎ 当且仅当x＝y＝时，(S矩形)max＝.故选D.‎ ‎4．若x>1，则x＋的最小值为________．‎ ‎[解析] x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.‎ 当且仅当x－1＝，‎ 即x＝3时等号成立．‎ ‎[答案] 5‎ ‎5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为______．‎ ‎[解析] 因为xy＝1，所以y＝，‎ 所以x2＋2y2＝x2＋≥2 ＝2.‎ 即x2＋2y2的最小值为2.‎ ‎[答案] 2 ‎　利用基本不等式求最值(高频考点)[学生用书P115]‎ 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．‎ 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)知和求积的最值；‎ ‎(2)知积求和的最值；‎ ‎(3)求参数的值或范围．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2017·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为(　　)‎ A．7　　　　　　　　　 B．8‎ C．9 D．10‎ ‎(2)(2017·安徽安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．2 C．8 D．16‎ ‎【解析】　(1)因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．故选C.‎ ‎(2)由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B ‎　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　知和求积的最值 ‎1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B．2‎ C．2 D．4‎ ‎　C　[解析] 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，‎ 即ab≥2，‎ 当且仅当 即a＝，b＝2时取“＝”，‎ 所以ab的最小值为2.‎ ‎ 角度二　知积求和的最值 ‎2．已知函数y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m，n>0，则3m＋n的最小值为________．‎ ‎[解析] 易知函数y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)恒过定点(－3，－1)，‎ 所以A(－3，－1)．‎ 又因为点A在直线＋＝－1上，‎ 所以＋＝1.‎ 所以3m＋n＝(3m＋n)·＝10＋＋≥10＋2 ＝16，‎ 当且仅当m＝n时，等号成立，‎ 所以3m＋n的最小值为16.‎ ‎[答案] 16‎ ‎ 角度三　求参数的值或范围 ‎3．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．‎ ‎[解析] (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，‎ 当且仅当y＝x时取等号，‎ 所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，‎ 于是(＋1)2≥9恒成立．‎ 所以a≥4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎　利用基本不等式解决实际问题[学生用书P116]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．‎ ‎(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)‎ ‎(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【解】　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，‎ 依题意得，当00，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．‎ ‎(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)因为x>0，y>0，‎ 所以x＋y＝(x＋y) ‎＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号)，‎ 所以当x＝＋1，y＝2＋时，(x＋y)min＝3＋2.‎ ‎(2)因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.‎ ‎【答案】　(1)3＋2　(2)1＋2 ‎　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件，如本例(2)易忽视条件x<0而误用基本不等式得2x＋≥2.‎ ‎(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．‎ ‎　当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．‎ ‎[解析] y＝ ‎＝ ‎＝－＋15‎ ‎≤－2＋15＝3.‎ 当且仅当x＝，‎ 即x＝6时，ymax＝3.‎ ‎[答案] 3‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P269(独立成册)])‎ ‎1．(2017·海口调研)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则ab的最大值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　B　[解析] 因为a，b∈(0，＋∞)，‎ 所以1＝a＋b≥2，‎ 所以ab≤，‎ 当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ ‎2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)‎ A．最大值为0 B．最小值为0‎ C．最大值为－4 D．最小值为－4‎ ‎　C　[解析] 因为x<0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，‎ 当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．‎ ‎3．(2017·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎　A　[解析] 因为正实数x，y满足x＋y＝2，‎ 所以xy≤＝＝1，所以≥1；‎ 又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.‎ ‎4．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于(　　)‎ A．－3 B．2‎ C．3 D．8‎ ‎　C　[解析] y＝x－4＋＝x＋1＋－5，‎ 因为x>－1，所以x＋1>0，>0.‎ 所以由基本不等式，‎ 得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，‎ 当且仅当x＋1＝，‎ 即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，‎ 所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.‎ ‎5．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎　C　[解析] 由已知得x＋3y＝9－xy，‎ 又因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，‎ 所以3xy≤，当且仅当x＝3y时，‎ 即x＝3，y＝1时取等号，(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.‎ 令x＋3y＝t，‎ 则t>0且t2＋12t－108≥0，‎ 得t≥6即x＋3y≥6.‎ ‎6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)‎ A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 ‎　B　[解析] 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，‎ 当且仅当＝，即x＝80时取等号．‎ ‎7．(2017·郑州检测)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．‎ ‎[解析] 由a＋2b＝3得a＋b＝1，‎ 所以＋＝ ‎＝＋＋≥＋2＝.‎ 当且仅当a＝2b＝时取等号．‎ ‎[答案] ‎8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．‎ ‎[解析] f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.‎ ‎[答案] 36‎ ‎9．正实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是______．‎ ‎[解析] 利用基本不等式可得 ‎3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2.‎ 因为x＋2y＝2，‎ 所以3x＋9y≥2＝6，‎ 当且仅当3x＝32y，即x＝1，y＝时取等号．‎ ‎[答案] 6‎ ‎10．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是________．‎ ‎[解析] 根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<，因为＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－20，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ ‎[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，‎ 得＋＝1，‎ 又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝.‎ 得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)‎ ‎＝10＋＋≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18.‎ ‎12．(2017·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)‎ A．4 B． C．8 D．9‎ ‎　D　[解析] 因为＝－＝(a－1，1)，‎ ＝－＝(－b－1，2)，‎ 若A，B，C三点共线，‎ 则有∥，‎ 所以(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1，‎ 又a>0，b>0，‎ 所以＋＝·(2a＋b)‎ ‎＝5＋＋≥5＋2＝9，‎ 当且仅当即a＝b＝时等号成立．‎ ‎13．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.‎ 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；‎ ‎(2)＋的最小值．‎ ‎[解] (1)因为x>0，y>0，‎ 所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.‎ 因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，‎ 当且仅当2x＝5y时，等号成立．‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.‎ 所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.‎ ‎(2)因为x>0，y>0，‎ 所以＋＝·＝≥‎ ＝.‎ 当且仅当＝时，等号成立．‎ 由解得 所以＋的最小值为.‎ ‎14．(2017·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．‎ ‎(1)求S关于x的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值．‎ ‎[解] (1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8，450)．‎ ‎(2)因为8

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