高二数学人教A版选修4-5 2-1比较法导学案x

高二数学人教A版选修4-5 2-1比较法导学案x

‎2.1 比较法 预习案 一、预习目标及范围 ‎1．理解比较法证明不等式的依据．‎ ‎2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．‎ ‎3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．‎ 二、预习要点 教材整理1　作差比较法 ‎1．理论依据：①a＞b⇔ ；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔ .‎ ‎2．定义：要证明a＞b，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法．‎ ‎3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．‎ 教材整理2　作商比较法 ‎1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔ ；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1.‎ ‎2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法．‎ ‎3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．‎ 三、预习检测 ‎1.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(　　)‎ A．ω＞u B．ω＜u C．ω≥u D.无法确定 ‎2.下列命题：‎ ‎①当b＞0时，a＞b⇔＞1；②当b＞0时，a＜b⇔＜1；‎ ‎③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，＞1⇔a＞b.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．①②③ B．①②④ C．④ D.①②③④‎ ‎3．设a＞b＞0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是x________y.‎ 探究案 一、合作探究 题型一、作商比较法证明不等式 例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab).‎ ‎【精彩点拨】→→→ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知m，n∈R＋，求证：≥.‎ 题型二、比较法的实际应用 例2　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？‎ ‎【精彩点拨】　设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？‎ 题型三、作差比较法 例3已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.‎ ‎【精彩点拨】　此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.‎ 二、随堂检测 ‎1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(　　)‎ A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s ‎2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(　　)‎ A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不确定 ‎3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．‎ 参考答案 预习检测：‎ ‎1.【解析】　∵ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u.‎ ‎【答案】　C ‎2.【解析】　由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，＞1与a＞b不等价，④错．‎ ‎【答案】　A ‎3.【解析】　∵＝＝＜＝1，且x＞0，y＞0，‎ ‎∴x＜y.‎ ‎【答案】　＜‎ 随堂检测：‎ ‎1.【解析】　s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，‎ ‎∴s≥t.‎ ‎【答案】　D ‎2.【解析】　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.‎ 当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，‎ ‎∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.‎ 当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，‎ ‎∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.‎ 综上总有P＞Q，故选A.‎ ‎【答案】　A ‎3. 【解析】　－＝＞0.‎ 又a，b，m为正数，‎ ‎∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.‎ 即a＞b.‎ ‎【答案】　a＞b