2018-2019学年河北省临漳县第一中学高二上学期期中考试文科数学试题 解析版

2018-2019学年河北省临漳县第一中学高二上学期期中考试文科数学试题 解析版

‎2018-2019学年河北省临漳县第一中学高二上学期期中考试数学试题（文科）‎ 姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 实数集R，设集合P={x|x2-4x+3≤0}，Q={x|x2-4＜0}，则P∪（∁RQ）=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（　　）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ 3. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是（）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4. ‎△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 在△ABC中，，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（　　）‎ A. B. π C. 2π D. 4π 6. 设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（   ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 7. 给出如下四个命题： ①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题； ②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”； ③“∀‎ x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”； ④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件． 其中正确的命题的个数是（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 1. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）‎ A. -3＜m＜0 B. -3＜m＜2 C. -3＜m＜4 D. -1＜m＜3‎ 2. 不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A. x≥0 B. x＜0或x＞2 C. D. 或x≥3‎ 3. 若曲线表示椭圆，则k的取值范围是　　‎ A. B. C. D. 或 4. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1（0，b），B2（0，-b），若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为（　　)‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 5. 若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）‎ A. 46 B. 47 C. 48 D. 49‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 在△ABC中，a=，b=1，∠A=，则cosB= ______ ．‎ 7. 若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= ______ 时，{an}的前n项和最大．‎ 8. 设p:<0，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是______________．‎ 9. 已知椭圆C：=1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的方程为______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 1. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc． （1）求角A的大小； （2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积． ‎ 2. 设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n． ‎ ‎（1）求{an}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和． ‎ 3. 设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． ‎ ‎（1）求集合A∩B； ‎ ‎（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值． ‎ ‎ ‎ 1. 设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． ‎ 2. 已知双曲线C：（a＞0．b＞0）的离心率为，虚轴端点与焦点的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值． ‎ 3. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题． 解不等式求得集合P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可． 【解答】 解：实数集R，集合P={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}， Q={x|x2-4＜0}={x|-2＜x＜2}， ∴∁RQ={x|x≤-2或x≥2}， ∴P∪（∁RQ）={x|x≤-2或x≥1}=（-∞，-2]∪[1，+∞）． 故选D．‎ ‎2.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值． 【解答】 ​解：∵a=，c=2，cosA=， ∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2-8b-3=0， ∴解得：b=3或-（舍去）． 故选D． ‎ ‎3.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B•sinC=sin2A ‎，利用正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 本题主要考查了正余弦定理的应用，运用正余弦定理来判断三角形各个角之间的关系，属于简单题. 【解答】 解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===， ∵A∈（0，π），∴． ∵， ∴bc=a2， 代入b2+c2=a2+bc，∴（b-c）2=0，解得b=c． ∴△ABC的形状是等边三角形． 故选：C．‎ ‎4.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 ​本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题． 由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2-2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值． 【解答】 ​解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c． 平方得a2+c2=4b2-2ac．① 又△ABC的面积为，且∠B=30°， 由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，解得ac=6， 代入①式可得a2+c2=4b2-12， 由余弦定理cosB====． 解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+． 故选B ‎ ‎5.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题． 【解答】 解：在中，，，， ∴，设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得=，解得， 故的外接圆面积， 故选．‎ ‎6.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数的最优解是解题的关键. 解：x，y满足约束条件的可行域如图： z=x+y即y=-x+z，当直线过点A时，直线y=-x+z的截距最大，z的值最大. 由解得A（3，0）， 所以z=x+y 的最大值为3. 故选D.‎ ‎7.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档.根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④. 【解答】 解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故 错误； ②命题“若a＞b，则”的否命题为“若，则”，故正确； ③“​，”的否定是“，”，故正确； ④在中，“”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”, 故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确. 故选C. ‎ ‎8.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．‎ ‎【解答】‎ 解：根据题意，方程表示双曲线， 则有（m-2）（m+3）＜0，解可得-3＜m＜2， 要求方程表示双曲线的一个充分不必要条件， 即要求的是{m|-3＜m＜2}的真子集； 依次分析选项：A符合条件， 故选A．‎ ‎9.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了一元二次不等式的解法，集合的包含关系判断及应用和必要条件、充分条件和充要条件的判断，利用一元二次不等式的解法得不等式的解，再利用集合的包含关系在必要条件、充分条件和充要条件的判断中的应用得结论，属于基础题. 【解答】 解： 解不等式2x2-5x-3≥0可得：， 根据题意，该解集为选项中集合的真子集， 故依次将选项代入验证可得：不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是或​. 故选B．‎ ‎10.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 曲线表示椭圆，可得，解出即可得出． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【解答】 解：∵曲线表示椭圆， ∴， ​解得-1＜k＜1，且k≠0． 故选：D．‎ ‎11.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 根据题意，设A（a，0），F（c，0），由向量的坐标计算公式可得=（c，-b），=（a，b），进而分析可得•=ac-b2=0，结合双曲线的几何性质，可得c2-a2-ac=0，由离心率公式变形可得e2-e-1=0，解可得e的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是由B1F⊥B2A分析a、b、c的关系． 【解答】 解：根据题意，已知双曲线=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点， 设A（a，0），F（c，0），​ 则=（c，-b），=（a，b）， 若B1F⊥B2A，则有•=ac-b2=0， 又由c2=a2+b2， 则有c2-a2-ac=0， 变形可得：e2-e-1=0， 解可得e=或（舍） 故e=， ‎ 故选C． ‎ ‎12.【答案】A 【解析】‎ 解：∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46， 故选A 首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案． 等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．‎ ‎13.【答案】 【解析】‎ 解：∵a=，b=1，∠A=， ∴由正弦定理可得：sinB===， ∵b＜a，B为锐角， ∴cosB==． 故答案为：． 由已知利用正弦定理可求sinB，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值． 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎14.【答案】8 【解析】‎ 解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0， ∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0， ∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数， ∴等差数列{an}的前8项和最大， ‎ 故答案为：8． 可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论． 本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．‎ ‎15.【答案】（2，+∞） 【解析】‎ 解：解不等式可得：0＜x＜2， 因为p是q成立的充分不必要条件， 所以集合{x|0＜x＜2}是集合{x|0＜x＜m}的真子集 ∴m＞2 故答案为：（2，+∞） 将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式即可求出m的范围． 本题考查利用集合关系来判断条件关系．当A⊊B时，A是B的充分不必要条件是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎16.【答案】y=x±1 【解析】‎ 解：椭圆：=1，即：x2+3y2=3 l：y=x+m，代入x2+3y2=3， 整理得4x2+6mx+3m2-3=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=-，x1x2=， |AB|=•|x1-x2| =• ==，． 解得：m=±1． 直线l：y=x±1． 故答案为：y=x±1． 设出直线方程y=x+m，代入x2+3y2=3，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m，得到直线方程． 本题考查椭圆弦长的求法，解题时要注意弦长公式，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力．‎ ‎17.【答案】解：（1）∵（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc， ∴由余弦定理可得：cosA===‎ ‎， 又∵A∈（0，π）， ∴A=, （2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b， ∵a=3，A=， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2， ∴解得：b=，c=2， ∴S△ABC=bcsinA==. 【解析】‎ ‎ （1）由已知等式可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值． （2）由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎18.【答案】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n． n≥2时，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）． ∴（2n-1）an=2． ​∴an=． 当n=1时，a1=2，上式也成立． ∴an=． （2）==-． ∴数列{}的前n项和=++…+=1-=． 【解析】‎ 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （1）利用数列递推关系即可得出． （2）==-．利用裂项求和方法即可得出．‎ ‎19.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}， B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}； （1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}； （2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}， 且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3）， ∴2x2+ax+b=0的根是-4和3， 由根与系数的关系得 ‎， 解得a=2，b=-24． 【解析】‎ ‎（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可； （2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值． 本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．‎ ‎20.【答案】解：因为p：-3a＜x＜a q：-4＜x＜2，因为p是q的必要不充分条件，所以p能推出q，q不能推出p． 所以{x|-3a＜x＜a}⊊{x|-4＜x＜2}， 故满足解得0＜a≤． 【解析】‎ ‎ 解两个不等式，将p和q表示为x的集合，然后由p是q的必要不充分条件得两个集合之间的包含关系，结合数轴构造关于a的不等式，求解即可． 本题考查了充分条件、必要条件与集合关系之间的转化，考查了解不等式组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎21.【答案】解：（1）由题意，得=，c2+b2=5，c2=a2+b2，解得a=1，c=，b=， ∴所求双曲线C的方程为：． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）， 由得x2-2mx-m2-2=0（判别式△=8m2+8＞0）， ∴x0==m，y0=x0+m-2m， ∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+（2m）2=5， ∴m=±1． 【解析】‎ ‎ （1）利用双曲线的离心率以及虚轴端点与焦点的距离为，列出方程求出a，b即可求解双曲线的标准方程． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），联立方程组，利用韦达定理，求出中点坐标，代入圆的方程，即可求出m的值． 本题考查双曲线的简单性质，标准方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎22.【答案】解：（1）由题意知，4a=8，则a=2， 由椭圆离心率e===，则b2=3． ∴椭圆C的方程； （2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上， ‎ ‎∴， ∴点O到直线AB的距离， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2） 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0． 由已知△＞0，x1+x2=-，x1x2=， 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0， 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0， ∴． ∴7b2=12（k2+1），满足△＞0． ∴点O到直线AB的距离d===为定值． 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值． 【解析】‎ ‎ （1）由题意可知：4a=8，e===，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得b和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值． 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．‎