数学卷·2018届河南师大附中高二上学期10月月考数学试卷（实验部）（3） （解析版）

数学卷·2018届河南师大附中高二上学期10月月考数学试卷（实验部）（3） （解析版）

‎2016-2017学年河南师大附中高二（上）10月月考数学试卷（实验部）（3）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．若复数z满足z=i（2+4i）（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣4，2） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（4，2）‎ ‎2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0‎ C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0‎ ‎3．已知f（x）=x3+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）内．‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎4．在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成立；在五边形ABCDE中， ++++≥成立．猜想在n边形中，成立的不等式为（　　）‎ A． ++…≥ B． ++…≥‎ C． ++…≥ D． ++…≥‎ ‎5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n∥β，则a∥β C．若a丄γ，β丄γ，则a∥β D．若m丄α，n丄α，则m∥n ‎6．在用反证法证明命题“已知a，b，c∈（0，2），求证a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）不可能都大于1”时，反证假设时正确的是（　　）‎ A．假设a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都小于1‎ B．假设a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都大于1‎ C．假设a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都不大于1‎ D．以上都不对 ‎7．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b分别可能为（　　）‎ A．15、18 B．14、18 C．13、18 D．12、18‎ ‎8．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的大小（　　）‎ A．60° B．120° C．150° D．30°‎ ‎9．函数f（x）=+﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）‎ ‎10．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）‎ C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ ‎11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x ‎12．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）‎ ‎13．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为　　．‎ ‎14．曲线在点（1，f（1））处的切线方程为　　．‎ ‎15．某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为　　万元．‎ ‎16．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0‎ 已知“p∨q”为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；‎ ‎（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，其中角C满足f（C+）=，若S△ABC=，c=2，求a，b（a＞b）的值．‎ ‎19．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）对∀x＞0，f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．‎ ‎20．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S5=30，S10=110，数列{bn}的前n项和Tn满足：b1=1，bn+1﹣2Tn=1．‎ ‎（1）求Sn与bn；‎ ‎（2）比较Snbn与2Tnan的大小，并说明理由．‎ ‎21．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．‎ ‎（1）求证：PB=PD；‎ ‎（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．‎ ‎22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得．若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南师大附中高二（上）10月月考数学试卷（实验部）（3）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．若复数z满足z=i（2+4i）（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣4，2） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（4，2）‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】直接利用复数的乘法运算化简复数z为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．‎ ‎【解答】解：z=i（2+4i）=﹣4+2i．‎ ‎∴在复平面内，z对应的点的坐标是（﹣4，2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0‎ C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0‎ ‎【考点】命题的否定；全称命题．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．已知f（x）=x3+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）内．‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎【考点】二分法的定义．‎ ‎【分析】由函数的解析式求得f（1）＜0，f（2）＞0，再根据函数零点的判定定理求得函数零点所在区间 ‎【解答】解：由函数f（x）=x3+x﹣4，可得f（1）=1+1﹣4=﹣2＜0，‎ f（2）=8+2﹣4=6＞0，‎ 再根据函数零点的判定定理可得（1，2），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成立；在五边形ABCDE中， ++++≥成立．猜想在n边形中，成立的不等式为（　　）‎ A． ++…≥ B． ++…≥‎ C． ++…≥ D． ++…≥‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察已知条件，找出规律，猜想在n边形中，成立的不等式即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，不等式++≥成立；‎ 在四边形ABCD中，不等式+++≥成立；‎ 在五边形ABCDE中， ++++≥成立．‎ ‎…‎ 左侧是内角的倒数的和，右侧是分子为边数的平方，分母是（n﹣2）π．‎ 猜想在n边形中，成立的不等式为： ++…≥．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n∥β，则a∥β C．若a丄γ，β丄γ，则a∥β D．若m丄α，n丄α，则m∥n ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或相交或为异面直线，因此不正确．‎ 对于B，若m∥α，n∥β，则α∥β或相交，因此不正确．‎ 对于C，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，因此不正确；‎ 对于D，若m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质定理可知：m∥n正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．在用反证法证明命题“已知a，b，c∈（0，2），求证a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）不可能都大于1”时，反证假设时正确的是（　　）‎ A．假设a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都小于1‎ B．假设a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都大于1‎ C．假设a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都不大于1‎ D．以上都不对 ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立 ‎【解答】解：“已知a，b，c∈（0，2），求证a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）不可能都大于1””的否定为“a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都大于1”，‎ 由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a（2﹣b），b（2﹣c），c（2﹣a）都大于1”，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b分别可能为（　　）‎ A．15、18 B．14、18 C．13、18 D．12、18‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序框图的输出功能，结合选项中的数据，即可得出输入前a，b的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，执行程序后输出的a=3，‎ 则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是3，‎ 分析选项中的四组数，满足条件的是选项A．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的大小（　　）‎ A．60° B．120° C．150° D．30°‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），得到|F1F2|=2．由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=6，从而算出|PF2|=6﹣|PF1|=2．最后在△F1PF2中，根据余弦定理列式解出cos∠F1PF2=﹣，即可得到∠F1PF2的大小．‎ ‎【解答】解：∵椭圆中，a2=9，b2=2，‎ ‎∴a=3，b=，c==，可得F1（﹣，0）、F2（，0），‎ 根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=6，结合|PF1|=4，得|PF2|=6﹣|PF1|=2．‎ ‎△F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2，‎ ‎∴（2）2=42+22﹣2•4•2•cos∠F1PF2，解之得cos∠F1PF2=﹣‎ 结合为三角形的内角，可得∠F1PF2=120°．‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．函数f（x）=+﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先求导函数，利用导数求函数的最值，利用最值异号可以求解．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x﹣1）（x+2）．‎ 若a＜0，‎ 则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，‎ 当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，‎ 从而有f（﹣2）＜0，且f（1）＞0，‎ 即：，‎ ‎∴﹣＜a＜﹣，‎ 若a＞0，‎ 则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0，‎ 当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，‎ 从而有f（﹣2）＞0，且f（1）＜0，无解，‎ 综合以上：﹣＜a＜﹣．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）‎ C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．‎ ‎【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，‎ 解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，‎ ‎∴f（x）=sin（2x+），‎ 由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，‎ ‎∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．‎ ‎【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，‎ 在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，‎ ‎∴2|AE|=|AC|‎ ‎∴3+3a=6，‎ 从而得a=1，‎ ‎∵BD∥FG，‎ ‎∴=求得p=，‎ 因此抛物线方程为y2=3x．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，△PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为﹣，设|PF1|=m，|PF2|=n，则，利用双曲线的定义，结合几何量之间的关系，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，△PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为﹣，‎ 设|PF1|=m，|PF2|=n，则，‎ ‎∵m﹣n=2a，m2+n2=4c2，‎ ‎∴m=2b，n=2a，‎ ‎∵mn=2b2，‎ ‎∴b=2a，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）‎ ‎13．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为　+=1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，‎ 设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），‎ 可得=﹣2，且n=•，‎ 解得m=，n=，即对称点为（，）．‎ 代入椭圆方程可得+=1，‎ 解得a2=，b2=，‎ 可得椭圆的方程为+=1．‎ 故答案为： +=1．‎ ‎　‎ ‎14．曲线在点（1，f（1））处的切线方程为　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程．‎ ‎【解答】解：由题意，，‎ ‎∴，‎ ‎∴f′（1）=e ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为　14　万元．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．‎ ‎【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：‎ 目标函数为z=2x+3y，‎ 由，可得 利用线性规划可得x=4，y=2时，此时该厂的日利润最大为14万元，‎ 故答案为：14‎ ‎　‎ ‎16．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围　　．‎ ‎【考点】函数的零点；函数的值．‎ ‎【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，‎ 故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，‎ 故有，即 ，解得﹣＜m≤﹣2，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0‎ 已知“p∨q”为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，可得（1﹣2m）（m+2）＜0．当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，可得△≥0．由“p∨q”为假命题，则p，q都是假命题，即可得出．‎ ‎【解答】解：当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，‎ 解得m＜﹣2，或m＞．‎ 当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，∴△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或m≥1；‎ 若“p∨q”为假命题，则p，q都是假命题，‎ ‎∴，解得﹣2＜m≤；‎ ‎∴m的取值范围为（﹣2，]．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；‎ ‎（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，其中角C满足f（C+）=，若S△ABC=，c=2，求a，b（a＞b）的值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=sin2x﹣．可得T=，由x∈[，]，可得2x∈，sin2x∈[﹣，1]，即可得出f（x）的值域．‎ ‎（2）f（C+）=，可得sin（2C+）﹣=．化为cos2C=，解得C．又S△ABC=，c=2，可得sinC=，4=a2+b2﹣2abcosC，a＞b，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）﹣cos2x=﹣=sin2x﹣．‎ ‎∴T==π，‎ ‎∵x∈[，]，2x∈，sin2x∈[﹣，1]，∴f（x）的值域为．‎ ‎（2）f（C+）=，∴ sin（2C+）﹣=．‎ ‎∴cos2C﹣=，∴cos2C=，‎ ‎∵C∈（0，π），∴C=或．‎ sinC=．‎ 又S△ABC=，c=2，‎ ‎∴sinC=，4=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴ab=4，4=a2+b2﹣2ab×，又a＞b，‎ 解得a=2，b=2．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）对∀x＞0，f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．‎ ‎（2）由于f（x）≥bx﹣2恒成立，得到b≤1+﹣在（0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=1+﹣，b≤g（x）min即可 ‎【解答】解：（1）f′（x）=1﹣，‎ 令f′（x）＞0，得x＞1，‎ 列表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；‎ ‎（2）依题意对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立 等价于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在（0，+∞）上恒成立 可得b≤1+﹣在（0，+∞）上恒成立，‎ 令g（x）=1+﹣，g′（x）=，‎ 令g′（x）=0，得x=e2‎ 列表：‎ x ‎（0，e2）‎ e2‎ ‎（e2，+∞）‎ g'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g（x）‎ ‎↘‎ ‎1﹣‎ ‎↗‎ ‎∴函数y=g（x）的最小值为g（e2）=1﹣，‎ 故b≤1﹣．‎ ‎　‎ ‎20．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S5=30，S10=110，数列{bn}的前n项和Tn满足：b1=1，bn+1﹣2Tn=1．‎ ‎（1）求Sn与bn；‎ ‎（2）比较Snbn与2Tnan的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出Sn与bn；由bn=，能求出数列{bn}的通项公式．‎ ‎（2）推导出Snbn=（n2+n）•3n﹣1，2Tnan=2n•（3n﹣1），由此利用作差法能比较Snbn与2Tnan的大小．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知可得：，‎ 解得，‎ ‎∴an=2+（n﹣1）×2=2n，．‎ 对数列{bn}，由已知有b2﹣2T1=1，即b2=2b1+1=3，‎ ‎∴b2=3b1，①‎ 又由已知bn+1﹣2Tn=1，可得bn﹣2Tn﹣1=1（n≥2，n∈N*），‎ 两式相减得bn+1﹣bn﹣2（Tn﹣Tn﹣1）=0，即bn+1﹣bn﹣2bn=0（n≥2，n∈N*），‎ 整理得bn+1=3bn（n≥2，n∈N*），‎ 结合①得（常数），n∈N*，‎ ‎∴数列{bn}是以b1=1为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴，，‎ 于是，‎ 显然当n≤4（n∈N*）时，Snbn﹣2Tnan＜0，即Snbn＜2Tnan；‎ 当n≥5（n∈N*）时，Snbn﹣2Tnan＞0，即Snbn＞2Tnan，‎ ‎∴当n≤4（n∈N*）时，Snbn＜2Tnan；当n≥5（n∈N*）时，Snbn＞2Tnan．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．‎ ‎（1）求证：PB=PD；‎ ‎（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则AC⊥BD，结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论；‎ ‎（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ⊥平面PCD，通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，从而得出线面角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，OB=OD．‎ 又PA⊥BD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，‎ ‎∴BD⊥PO．‎ 又OB=OD，‎ ‎∴PB=PD．‎ ‎（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，‎ 则EQ∥CD，EQ=CD，又AF∥CD，AF==，‎ ‎∴EQ∥AF，EQ=AF，‎ ‎∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ，‎ ‎∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，‎ ‎∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，‎ ‎∴AP=AD=．‎ ‎∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，‎ 又AD⊥CD，AQ∩AD=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．‎ 又BD⊥PA，BD∩CD=D，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD．‎ 以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则B（，0，0），P（0，0，），A（0，0，0），Q（0，，）．‎ ‎∴=（0，，），=（，0，﹣）．‎ ‎∵AQ⊥平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量．‎ ‎∴cos＜＞==﹣．‎ 设直线PB与平面PCD所成角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜＞|=．‎ ‎∴直线PB与平面PCD所成角为．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得．若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，求出P的坐标，求出向量的坐标，利用，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由c=1，a﹣c=1，∴a=2，∴，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，即m2=3+4k2．‎ ‎∴，，即P．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵M（t，0）．‎ 又Q（4，4k+m），，，‎ ‎∴=（4﹣t）+=恒成立，‎ 故，即t=1．‎ ‎∴存在点M（1，0）适合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎