《作业推荐》高中数学人教A版(2019) 选择性必修(第一册)同步练习:第三章第1节椭圆的几何意义A卷基础篇

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《作业推荐》高中数学人教A版(2019) 选择性必修(第一册)同步练习:第三章第1节椭圆的几何意义A卷基础篇

‎《作业推荐》—椭圆的几何意义A卷基础篇 一、单选题(共 50 分)‎ ‎1.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在原点,焦点F‎1‎‎ , ‎F‎2‎在x轴上,离心率为 ‎2‎‎2‎,过F‎1‎的直线l交椭圆于A , B两点,且‎△ABF‎2‎的周长为16,则椭圆C的方程为( )‎ A.x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ B.‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ C.x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎16‎=1‎ D.‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎8‎=1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合椭圆定义可知ΔABF‎2‎的周长为‎4a,由此求得a;利用离心率可求得c;根据椭圆b‎2‎‎=a‎2‎−‎c‎2‎可求得b‎2‎,进而得到椭圆方程.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎ 由椭圆定义知:AF‎1‎‎+AF‎2‎=BF‎1‎+BF‎2‎=2a ‎∴ΔABF‎2‎的周长为‎4a 即‎4a=16‎,解得:‎a=4‎ ‎∵e=ca=‎‎2‎‎2‎‎ ‎∴c=2‎‎2‎ ‎‎∴b‎2‎=a‎2‎−c‎2‎=16−8=8‎ ‎∴‎椭圆C的方程为x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎8‎=1‎ 故选:‎D ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解,涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.‎ ‎2.已知,F‎1‎,F‎2‎是椭圆C的两个焦点,P是椭圆C上的一点,若ΔPF‎1‎F‎2‎为等边三角形,则C的离心率为( )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎−1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等边三角形的性质得出P为椭圆短轴的两个顶点之一,再由勾股定理得出b‎2‎‎+c‎2‎=‎‎(2c)‎‎2‎,结合a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎得出a=2c,最后由离心率公式即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为ΔPF‎1‎F‎2‎为等边三角形,F‎1‎,F‎2‎是椭圆C的两个焦点 所以P为椭圆短轴的两个顶点之一 由勾股定理得b‎2‎‎+c‎2‎=‎‎(2c)‎‎2‎,并且a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎,即a=2c 所以e=c‎2c=‎‎1‎‎2‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求椭圆的离心率,属于基础题.‎ ‎3.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎,以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的右焦点F‎2‎作圆O的切线,切点分别为A,B,若四边形F‎2‎AOB为正方形,则椭圆的离心率为(  )‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎6‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知圆的半径为b,OF‎2‎‎=c,由正方形性质即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 以O为圆心,短半轴长为半径作圆O 则圆O的半径为b,且OF‎2‎‎=c 四边形F‎2‎AOB为正方形,由正方形性质可得OF‎2‎‎=‎2‎b 即c=‎2‎b,椭圆中满足a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎ ‎ 代入化简可得a‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎c‎2‎ 所以ca‎=‎2‎‎3‎=‎‎6‎‎3‎ ‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程与简单的几何性质应用,椭圆离心率的求法,属于基础题.‎ ‎4.已知F‎1‎,F‎2‎分别是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左、右焦点,P为椭圆上一点,且PF‎1‎‎=2‎PF‎2‎,若ΔPF‎1‎F‎2‎为等腰三角形,则该椭圆的离心率为( )‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎或‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎1‎‎2‎或‎2‎‎2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义即可求得,注意分类讨论,以免形成错解.‎ ‎【详解】‎ ‎①若PF‎2‎‎=F‎1‎F‎2‎=2c,则PF‎1‎‎=4c=2c+2c,这样的三角形不存在;‎ ‎②若PF‎1‎‎=F‎1‎F‎2‎=2c,则PF‎1‎‎+PF‎2‎=2c+c=3c=2a,此时离心率e=‎‎2‎‎3‎.‎ 故该椭圆的离心率为‎2‎‎3‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求解,属基础题.‎ ‎5.已知点F是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左焦点,直线y=‎‎2b‎3‎与椭圆交于A,B两点,且‎∠AFB=90°‎,则该椭圆的离心率为( )‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎5‎‎5‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎中的y=‎‎2b‎3‎,可解得A、B两点的坐标,根据kAF‎⋅kBF=-1‎,即可求得a,b,c之间的关系式,利用b‎2‎‎=a‎2‎-‎c‎2‎,得到a,c关系式,即可得离心率.‎ ‎【详解】‎ 令x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎中的y=‎‎2b‎3‎,可解得x=±‎5‎‎3‎a,‎ 不妨设A‎-‎5‎‎3‎a,‎‎2b‎3‎,B(‎5‎‎3‎a,‎2b‎3‎)‎,又F(-c,0)‎ 根据‎∠AFB=90°‎,故可得kAF‎⋅kBF=-1‎ 即‎2b‎3‎‎-‎5‎‎3‎a+c‎⋅‎2b‎3‎‎5‎‎3‎a+c=-1‎,整理得‎4‎‎9‎b‎2‎‎=‎5‎‎9‎a‎2‎-‎c‎2‎ 又b‎2‎‎=a‎2‎-‎c‎2‎,代入可得a‎2‎‎=5‎c‎2‎,‎ 故e‎2‎‎=‎1‎‎5‎,e=‎‎5‎‎5‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求解,其重点是根据斜率之积为-1,建立a,b,c的齐次式.‎ ‎6.已知F‎1‎,F‎2‎为椭圆E的左右焦点,点M在E上(不与顶点重合),ΔMF‎1‎F‎2‎为等腰直角三角形,则E的离心率为( )‎ A.‎2‎‎+1‎ B.‎2‎‎−1‎ C.‎3‎‎−1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎+1‎‎2‎ ‎【答案】B[来源:学科网]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据ΔMF‎1‎F‎2‎为等腰直角三角形可得MF‎1‎‎,‎MF‎2‎,结合椭圆的定义可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题意ΔMF‎1‎F‎2‎为等腰直角三角形,不妨设MF‎1‎⊥‎F‎1‎F‎2‎,则MF‎1‎‎=F‎1‎F‎2‎=2c,MF‎2‎=2‎2‎c,‎ 由椭圆的定义可得‎2‎2‎c+2c=2a,解得ca‎=‎1‎‎2‎‎+1‎=‎2‎−1‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的求解,离心率问题的求解关键是构建a,b,c间的关系式,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左顶点为A,上顶点为B,且OA‎=‎‎3‎OB(O为坐标原点),则该椭圆的离心率为( )‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎6‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得a=‎3‎b以及a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎,消去b,结合离心率的定义可得答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知a=‎3‎b,即b=‎3‎‎3‎a,‎ 又c=a‎2‎‎−‎b‎2‎=a‎2‎‎−‎‎(‎3‎‎3‎a)‎‎2‎=‎6‎‎3‎a,‎ 所以该椭圆的离心率e=ca=‎‎6‎‎3‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的离心率,关键是由OA‎=‎‎3‎OB得到a=‎3‎b,属于基础题.‎ ‎8.椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎,点F‎1‎,F‎2‎为椭圆C在左、右焦点,在椭圆C上存在点P,使PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=2‎c‎2‎,则椭圆的离心率范围是( )‎ A.‎1‎‎2‎‎,+∞‎ B.‎3‎‎3‎‎,‎‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎3‎ D.‎‎1,‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P(x,y)‎,根据椭圆的焦点坐标以及数量积公式得出x‎2‎‎+y‎2‎=3‎c‎2‎,则点P在以原点为圆心,‎3‎c为半径的圆上,确定‎3‎c的大小,使得该圆与椭圆有交点,得出b≤‎3‎c≤a,由a,b,c的关系化简得出椭圆的离心率范围.‎ ‎【详解】‎ 设P(x,y)‎,则PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=x‎2‎+y‎2‎−‎c‎2‎,∴‎x‎2‎‎+y‎2‎=3‎c‎2‎ ‎∴点P在以原点为圆心,‎3‎c为半径的圆上,该圆与椭圆有交点,‎ ‎∴b≤‎3‎c≤a,则‎1‎‎3‎‎1−‎e‎2‎‎≤e≤‎‎3‎‎3‎,解得‎1‎‎2‎‎≤e≤‎‎3‎‎3‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求椭圆的离心率的范围,属于基础题.‎ ‎9.椭圆x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎的左、右顶点分别为A‎1‎、A‎2‎,短轴为B‎1‎B‎2‎,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的平面角大小为( )‎ A.‎75°‎ B.‎60°‎ C.‎45°‎ D.‎‎30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程可求得a,c.由折叠所得二面角中A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点,可得cos∠A‎1‎OA‎2‎,即可求得二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的平面角大小.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎的方程可知,‎a=4,c=2‎ 将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的大小即为‎∠A‎1‎OA‎2‎ 因为A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点 则cos∠A‎1‎OA‎2‎=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎ ‎ 所以‎∠A‎1‎OA‎2‎=‎‎60‎‎∘‎,即二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的平面角大小‎60‎‎∘‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程的简单性质,二面角大小及求法,属于基础题.‎ ‎10.倾斜角为π‎6‎的直线经过椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,且AF‎→‎‎=3‎FB‎→‎,则椭圆的离心率为( )‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线AB的方程y=‎3‎‎3‎(x−c)‎,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得a2=3c2,即可求得椭圆的离心率;‎ ‎【详解】‎ 设直线AB的方程:y=‎3‎‎3‎(x﹣c),‎A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎ 联立y=‎3‎‎3‎(x−c)‎b‎2‎x‎2‎‎+a‎2‎y‎2‎=‎a‎2‎b‎2‎,整理得:(a2+3b2)x2﹣2a2cx+a2c2﹣3a2b2=0,‎ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎2a‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎‎,①,‎ x‎1‎x‎2‎‎=‎a‎2‎c‎2‎‎−3‎b‎2‎a‎2‎‎+3‎b‎2‎‎,②‎ 由AF‎=3‎FB,得‎(c−x‎1‎,−y‎1‎)=3(x‎2‎−c,y‎2‎),‎则‎3x‎2‎+x‎1‎=4c,③‎ 解得:x‎1‎‎=‎a‎2‎c−6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎,‎ x‎2‎‎=‎a‎2‎c+6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎‎,‎ 则a‎2‎c−6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎•a‎2‎c+6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎=a‎2‎c‎2‎‎−3‎b‎2‎a‎2‎‎+3‎b‎2‎,‎ 整理得:2a2=3b2,可得a2=3c2,‎ 椭圆的离心率e=ca=‎3‎‎3‎.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质的应用,考查向量的坐标运算,直线与椭圆的位置关系,选择合适的方程,代入椭圆方程,可以简化运算,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.‎ 二、填空题(共 25 分)‎ ‎11.设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左、右焦点分别为F‎1‎,F‎2‎,上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B,满足BF‎1‎‎=‎F‎1‎F‎2‎,且AB‎⊥‎AF‎2‎,则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎‎1‎‎2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可构造出关于a,c的齐次方程,由此可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎∵BF‎1‎=‎F‎1‎F‎2‎‎ ‎∴‎F‎1‎为BF‎2‎中点,又AB‎⊥‎AF‎2‎ ‎‎∴AF‎1‎=‎F‎1‎F‎2‎ 即b‎2‎‎+‎c‎2‎‎=a=2c ‎‎∴e=ca=‎‎1‎‎2‎ 故答案为:‎‎1‎‎2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离心率的求解问题,关键是能够根据直角三角形斜边中线等于斜边一半构造出关于a,c的齐次方程.‎ ‎12.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左、右焦点分别为F‎1‎‎,‎F‎2‎,左顶点为A,上顶点为B,若BF‎1‎是ΔBAF‎2‎的中线,则该椭圆的离心率为_______________.‎ ‎【答案】‎‎1‎‎3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用AF‎1‎‎=‎F‎1‎F‎2‎可得a,c的关系,从而得到离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 因为BF‎1‎是ΔBAF‎2‎的中线,所以AF‎1‎‎=‎F‎1‎F‎2‎即a−c=2c,故ca‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 故答案为:‎1‎‎3‎.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个等式关系.而离心率的取值范围,则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a,b,c的不等式或不等式组.‎ ‎13.已知F是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎,的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若‎|PF|=‎3‎‎4‎|AF|‎,则该椭圆的离心率是__________.‎ ‎【答案】‎‎1‎‎4‎ ‎【解析】‎ 根据椭圆几何性质可知‎|PF|=‎b‎2‎a,‎|AF|=a−c,所以b‎2‎a‎=‎3‎‎4‎(a+c)‎ ,即‎4b‎2‎=3a‎2‎−3ac ,由因为b‎2‎‎=a‎2‎−‎c‎2‎,所以有‎4(a‎2‎−c‎2‎)=3a‎2‎+3ac,整理可得‎4c‎2‎+3ac−a‎2‎=0‎ ,两边同除以a‎2‎得:‎4e‎2‎+3e−1=0‎ ,所以‎(4e−1)(e+1)=0‎,由于‎0b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎,直线y=x被椭圆C截得的线段长为‎4‎‎10‎‎5‎,则椭圆C的方程为________.[来源:学科网]‎ ‎【答案】‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;‎ ‎【详解】‎ 由题意有ca‎=a‎2‎‎−‎b‎2‎a=‎‎3‎‎2‎,得a‎2‎‎=4‎b‎2‎ [来源:Zxxk.Com]‎ 所以椭圆的方程可化为:x‎2‎‎+4y‎2‎=‎a‎2‎.‎ 由y=xx‎2‎‎+4y‎2‎=‎a‎2‎得:x‎2‎‎=a‎2‎‎5‎,y‎2‎=‎a‎2‎‎5‎ ‎ 由直线y=x被椭圆C截得的线段长为‎4‎‎10‎‎5‎ 即‎4‎‎10‎‎5‎‎=2‎a‎2‎‎5‎‎+‎a‎2‎‎5‎,解得:a=2‎,则b=1‎ ‎ 所以椭圆的方程为:‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎ 故答案为:‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,属于基础题.‎ ‎15.椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的中心在原点,F‎1‎,F‎2‎分别为左、右焦点,A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点,P是椭圆上一点,且PF‎1‎⊥x轴,PF‎1‎//AB,则此椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎‎5‎‎5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得P点的坐标,根据两直线平行,斜率相等列出方程,化简这个方程后可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图所示,把x=-c代入椭圆方程x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎(a>b>0‎)可得P‎-c,‎b‎2‎a,‎ 又A‎0,b,Ba,0‎,F‎2‎c,0‎,∴kAB‎=-‎b‎2ac,‎ ‎∵PF‎2‎∥AB,∴‎-ba=-‎b‎2‎‎2ac,化简得b=2c.[来源:学科网]‎ ‎∴‎4c‎2‎=b‎2‎=a‎2‎-‎c‎2‎,即a‎2‎‎=5‎c‎2‎,∴e=c‎2‎a‎2‎=‎‎5‎‎5‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查椭圆的标准方程和几何性质.通过椭圆上常见点的坐标和两直线平行这个条件,列方程后,将方程转化为ca的形式,由此求得离心率.属于基础题.‎ 三、解答题(共 25 分)‎ ‎16.焦点在x轴上的椭圆的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎m=1‎,点P(‎2‎,1)‎在椭圆上.‎ ‎(1)求m的值.‎ ‎(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.‎ ‎【答案】(1)2(2)长轴长4、短轴长‎2‎‎2‎、焦距‎2‎‎2‎、离心率‎2‎‎2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,代入点P(‎2‎,1)‎,即可求解.‎ ‎(2)由(1),写出椭圆方程,求解a,b,c,根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,点P(‎2‎,1)‎在椭圆上,代入,‎ 得‎2‎‎2‎‎4‎‎+‎1‎‎2‎m=1‎,解得m=2‎ ‎(2)由(1)知,椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎,则a=2,b=‎2‎,c=‎‎2‎ 椭圆的长轴长‎2a=4‎;’‎ 短轴长‎2b=2‎‎2‎;‎ 焦距‎2c=2‎‎2‎;‎ 离心率e=ca=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查(1)代入点求椭圆方程(2)求解长轴长、短轴长、焦距、离心率;考查概念辨析,属于基础题.‎ ‎17.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎(a>b>0‎)的离心率为‎3‎‎2‎,短轴一个端点到右焦点的距离为2.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P是该椭圆上的一个动点,F‎1‎、F‎2‎分别是椭圆的左、右焦点,求PF‎1‎‎⋅‎PF‎2‎的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(1)x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎;(2) 最大值为‎1‎,最小值为‎-2‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,列出a,b,c的方程组,解方程组即可求得方程;‎ ‎(2)设出点的坐标,根据点在椭圆上则点的坐标满足椭圆方程,结合向量的数量积运算,即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题可知:ca‎=‎‎3‎‎2‎,a=2‎,a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎,‎ 解得a‎2‎‎=4,b‎2‎=1,c‎2‎=3‎,‎ 故椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)设点P的坐标为x‎0‎‎,‎y‎0‎,则x‎0‎‎2‎‎4‎‎+y‎0‎‎2‎=1‎.‎ 根据(1)可得焦点坐标分别为F‎1‎‎-‎3‎,0‎‎,F‎2‎(‎3‎,0)‎,‎ 则PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=‎-‎3‎-x‎0‎,-‎y‎0‎⋅(‎3‎-x‎0‎,-y‎0‎)‎ ‎=x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎-3‎ ‎=‎3‎‎4‎x‎0‎‎2‎-2‎‎.‎ 根据椭圆的几何性质,可知x‎0‎‎∈[-a,a]‎,即a∈[-2,2]‎,‎ 故可得‎3‎‎4‎x‎0‎‎2‎‎-2∈[-2,1]‎.‎ 故PF‎1‎‎⋅‎PF‎2‎的最大值为‎1‎,最小值为‎-2‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求解,以及椭圆中范围问题的求解,属综合基础题.‎ ‎18.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎,点‎(1,‎3‎‎2‎)‎在E上.‎ ‎(1)求E的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx+2‎与E交于A,B两点,若OA‎⋅OB=2‎,求k的值.‎ ‎【答案】(1)x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎(2)‎k=±‎‎42‎‎6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用已知建立方程组,可求椭圆的基本量,从而可得椭圆方程;‎ ‎(2)设A、B两点坐标,带入椭圆和直线方程,利用向量坐标化解方程即可得出k值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解:由题意得e=ca=‎‎3‎‎2‎,所以c=‎‎3‎a‎2‎,b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=‎‎1‎‎4‎a‎2‎①,‎ 又点‎(1,‎3‎‎2‎)‎在E上,所以‎1‎‎2‎a‎2‎‎+‎3‎‎4‎b‎2‎=1‎②,联立①②,解得a=2‎,b=1‎,‎ 所以椭圆E的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)解:设A,B的坐标为‎(x‎1‎,y‎1‎)‎,‎(x‎2‎,y‎2‎)‎,依题意得,‎ 联立方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎y=kx+2‎消去y,得‎(1+4k‎2‎)x‎2‎+16kx+12=0‎.‎ Δ=‎(16k)‎‎2‎-48(1+4k‎2‎)>0‎‎,k‎2‎‎>‎‎3‎‎4‎,‎ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎-16k‎1+4‎k‎2‎‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎12‎‎1+4‎k‎2‎,‎ OA‎⋅OB=x‎1‎x‎2‎+‎y‎1‎y‎2‎ ‎=x‎1‎x‎2‎+(kx‎1‎+2)(kx‎2‎+2)‎ ‎=(1+k‎2‎)x‎1‎x‎2‎+2k(x‎1‎+x‎2‎)+4‎ ‎=(1+k‎2‎)⋅‎12‎‎1+4‎k‎2‎+2k⋅‎-16k‎1+4‎k‎2‎+4‎ ‎=‎12-20‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎+4‎‎,‎ ‎∵OA‎⋅OB=2‎,∴‎12-20‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎‎+4=2‎,‎k‎2‎‎=‎7‎‎6‎>‎‎3‎‎4‎ 所以,k=±‎‎42‎‎6‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,考查直线方程和椭圆方程联立,利用韦达定理把向量坐标化,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎19.已知离心率e=‎‎2‎‎2‎的椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的一个焦点为(-1,0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若斜率为l的直线l交椭圆C于A,B两点,且AB‎=‎‎4‎‎2‎‎3‎,求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1)x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎;(2)y=x+1‎或y=x−1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据离心率e=‎‎2‎‎2‎,一个焦点为(﹣1,0),求出椭圆的几何量,即可求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线l方程为y=x+m,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合弦长公式,求出m,即可求直线l方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知,c=1, e=ca=‎‎2‎‎2‎,‎ ‎∴a=‎‎2‎,b=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,点Ax‎1‎‎,‎y‎1‎,Bx‎2‎‎,‎y‎2‎ 联立方程组x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1,‎y=x+m,‎ 化简,得3x2+4mx+2m2-2=0.‎ 由已知得, ‎△=16m‎2‎-12‎2m‎2‎-2‎=-8m‎2‎+24>0‎,‎ 即m2<3,∴‎-‎3‎b>0)‎经过点A(1,‎2‎‎2‎)‎.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)若不过点A的直线l:y=‎2‎‎2‎x+m交椭圆E于B,C两点,求ΔABC面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎,(2)‎‎2‎‎2‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)由椭圆的离心率为‎2‎‎2‎,可得ca‎=‎‎1‎‎2‎,可设椭圆方程为x‎2‎‎2‎n‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎,再代入点A的坐标得代入设出的椭圆的方程,即可得椭圆E 的方程 ‎(Ⅱ)先设点B,C的坐标分别为‎(x‎1‎,y‎1‎)‎,‎(x‎2‎,y‎2‎)‎,将直线方程与椭圆的方程联立:消去一个元,得到一个一元二次方程.再求解判别式:写出根与系数的关系.计算点A到直线l的距离,得到用m表示ΔABC的面积,利用基本不等式求出ΔABC面积的最大值.‎ 试题解析:(Ⅰ)因为ca‎=‎‎1‎‎2‎,所以设a=‎2‎n,c=n,则b=n,椭圆E的方程为x‎2‎‎2‎n‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎.‎ 代入点A的坐标得‎1‎‎2‎n‎2‎‎+‎1‎‎2‎n‎2‎=1‎,n‎2‎‎=1‎,所以椭圆E的方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(Ⅱ)设点B,C的坐标分别为‎(x‎1‎,y‎1‎)‎,‎(x‎2‎,y‎2‎)‎,‎ 由y=‎2‎‎2‎x+mx‎2‎‎+2y‎2‎=2‎得x‎2‎‎+2(‎1‎‎2‎x‎2‎+‎2‎mx+m‎2‎)=2‎,即x‎2‎‎+‎2‎mx+m‎2‎−1=0‎,‎ x‎1‎‎+x‎2‎=−‎2‎m‎,‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=m‎2‎−1‎ Δ=2m‎2‎−4(m‎2‎−1)>0‎‎,m‎2‎‎<2‎.‎ ‎|BC|=‎‎(1+k‎2‎)[‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎−4x‎1‎x‎2‎]‎‎ ‎=‎‎3‎‎2‎‎[2m‎2‎−4(m‎2‎−1)]‎ ‎=‎‎3‎‎2‎‎(4−2m‎2‎)‎,‎ 点A到直线l的距离d=‎‎|m|‎‎3‎‎2‎,‎ ΔABC的面积S=‎1‎‎2‎|BC|⋅d ‎=‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎‎(4−2m‎2‎)‎⋅‎‎|m|‎‎3‎‎2‎ ‎‎=‎‎2‎‎2‎m‎2‎‎(2−m‎2‎)‎ ‎≤‎2‎‎2‎⋅m‎2‎‎+2−‎m‎2‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎‎,当且仅当m‎2‎‎=2−‎m‎2‎,即m‎2‎‎=1‎时等号成立.‎ 所以当m=±1‎时,ΔABC面积的最大值为‎2‎‎2‎.‎ 考点:(1)椭圆的方程;(2)直线与椭圆的综合问题.‎ ‎【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.‎
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