《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 选择性必修（第一册）同步练习：第三章第1节椭圆的几何意义A卷基础篇

《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 选择性必修（第一册）同步练习：第三章第1节椭圆的几何意义A卷基础篇

‎《作业推荐》—椭圆的几何意义A卷基础篇 一、单选题(共 50 分)‎ ‎1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F‎1‎‎ , ‎F‎2‎在x轴上，离心率为 ‎2‎‎2‎，过F‎1‎的直线l交椭圆于A , B两点，且‎△ABF‎2‎的周长为16，则椭圆C的方程为( )‎ A.x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ B.‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ C.x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎16‎=1‎ D.‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎8‎=1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合椭圆定义可知ΔABF‎2‎的周长为‎4a，由此求得a；利用离心率可求得c；根据椭圆b‎2‎‎=a‎2‎−‎c‎2‎可求得b‎2‎，进而得到椭圆方程.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎ 由椭圆定义知：AF‎1‎‎+AF‎2‎=BF‎1‎+BF‎2‎=2a ‎∴ΔABF‎2‎的周长为‎4a 即‎4a=16‎，解得：‎a=4‎ ‎∵e=ca=‎‎2‎‎2‎‎ ‎∴c=2‎‎2‎ ‎‎∴b‎2‎=a‎2‎−c‎2‎=16−8=8‎ ‎∴‎椭圆C的方程为x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎8‎=1‎ 故选：‎D ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.‎ ‎2.已知，F‎1‎，F‎2‎是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若ΔPF‎1‎F‎2‎为等边三角形，则C的离心率为（ ）‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎−1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等边三角形的性质得出P为椭圆短轴的两个顶点之一，再由勾股定理得出b‎2‎‎+c‎2‎=‎‎(2c)‎‎2‎，结合a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎得出a=2c，最后由离心率公式即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为ΔPF‎1‎F‎2‎为等边三角形，F‎1‎，F‎2‎是椭圆C的两个焦点 所以P为椭圆短轴的两个顶点之一 由勾股定理得b‎2‎‎+c‎2‎=‎‎(2c)‎‎2‎，并且a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，即a=2c 所以e=c‎2c=‎‎1‎‎2‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求椭圆的离心率，属于基础题.‎ ‎3.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的右焦点F‎2‎作圆O的切线，切点分别为A,B，若四边形F‎2‎AOB为正方形，则椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎6‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知圆的半径为b,OF‎2‎‎=c,由正方形性质即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 以O为圆心,短半轴长为半径作圆O 则圆O的半径为b,且OF‎2‎‎=c 四边形F‎2‎AOB为正方形,由正方形性质可得OF‎2‎‎=‎2‎b 即c=‎2‎b,椭圆中满足a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎ ‎ 代入化简可得a‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎c‎2‎ 所以ca‎=‎2‎‎3‎=‎‎6‎‎3‎ ‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程与简单的几何性质应用,椭圆离心率的求法,属于基础题.‎ ‎4.已知F‎1‎，F‎2‎分别是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF‎1‎‎=2‎PF‎2‎，若ΔPF‎1‎F‎2‎为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎或‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎1‎‎2‎或‎2‎‎2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义即可求得，注意分类讨论，以免形成错解.‎ ‎【详解】‎ ‎①若PF‎2‎‎=F‎1‎F‎2‎=2c，则PF‎1‎‎=4c=2c+2c，这样的三角形不存在；‎ ‎②若PF‎1‎‎=F‎1‎F‎2‎=2c，则PF‎1‎‎+PF‎2‎=2c+c=3c=2a，此时离心率e=‎‎2‎‎3‎.‎ 故该椭圆的离心率为‎2‎‎3‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求解，属基础题.‎ ‎5.已知点F是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左焦点，直线y=‎‎2b‎3‎与椭圆交于A，B两点，且‎∠AFB=90°‎，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎5‎‎5‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎中的y=‎‎2b‎3‎，可解得A、B两点的坐标，根据kAF‎⋅kBF=-1‎，即可求得a,b,c之间的关系式，利用b‎2‎‎=a‎2‎-‎c‎2‎，得到a,c关系式，即可得离心率.‎ ‎【详解】‎ 令x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎中的y=‎‎2b‎3‎，可解得x=±‎5‎‎3‎a，‎ 不妨设A‎-‎5‎‎3‎a,‎‎2b‎3‎,B(‎5‎‎3‎a,‎2b‎3‎)‎，又F(-c,0)‎ 根据‎∠AFB=90°‎，故可得kAF‎⋅kBF=-1‎ 即‎2b‎3‎‎-‎5‎‎3‎a+c‎⋅‎2b‎3‎‎5‎‎3‎a+c=-1‎，整理得‎4‎‎9‎b‎2‎‎=‎5‎‎9‎a‎2‎-‎c‎2‎ 又b‎2‎‎=a‎2‎-‎c‎2‎，代入可得a‎2‎‎=5‎c‎2‎，‎ 故e‎2‎‎=‎1‎‎5‎,e=‎‎5‎‎5‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求解，其重点是根据斜率之积为-1，建立a,b,c的齐次式.‎ ‎6.已知F‎1‎，F‎2‎为椭圆E的左右焦点，点M在E上（不与顶点重合），ΔMF‎1‎F‎2‎为等腰直角三角形，则E的离心率为（ ）‎ A.‎2‎‎+1‎ B.‎2‎‎−1‎ C.‎3‎‎−1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎+1‎‎2‎ ‎【答案】B[来源:学科网]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据ΔMF‎1‎F‎2‎为等腰直角三角形可得MF‎1‎‎,‎MF‎2‎，结合椭圆的定义可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题意ΔMF‎1‎F‎2‎为等腰直角三角形，不妨设MF‎1‎⊥‎F‎1‎F‎2‎，则MF‎1‎‎=F‎1‎F‎2‎=2c,MF‎2‎=2‎2‎c，‎ 由椭圆的定义可得‎2‎2‎c+2c=2a，解得ca‎=‎1‎‎2‎‎+1‎=‎2‎−1‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建a,b,c间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左顶点为A，上顶点为B，且OA‎=‎‎3‎OB（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎6‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得a=‎3‎b以及a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎,消去b,结合离心率的定义可得答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知a=‎3‎b,即b=‎3‎‎3‎a,‎ 又c=a‎2‎‎−‎b‎2‎=a‎2‎‎−‎‎(‎3‎‎3‎a)‎‎2‎=‎6‎‎3‎a,‎ 所以该椭圆的离心率e=ca=‎‎6‎‎3‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的离心率,关键是由OA‎=‎‎3‎OB得到a=‎3‎b,属于基础题.‎ ‎8.椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎，点F‎1‎，F‎2‎为椭圆C在左、右焦点，在椭圆C上存在点P，使PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=2‎c‎2‎，则椭圆的离心率范围是（ ）‎ A.‎1‎‎2‎‎,+∞‎ B.‎3‎‎3‎‎,‎‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎3‎ D.‎‎1,‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P(x,y)‎，根据椭圆的焦点坐标以及数量积公式得出x‎2‎‎+y‎2‎=3‎c‎2‎，则点P在以原点为圆心，‎3‎c为半径的圆上，确定‎3‎c的大小，使得该圆与椭圆有交点，得出b≤‎3‎c≤a，由a,b,c的关系化简得出椭圆的离心率范围.‎ ‎【详解】‎ 设P(x,y)‎，则PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=x‎2‎+y‎2‎−‎c‎2‎，∴‎x‎2‎‎+y‎2‎=3‎c‎2‎ ‎∴点P在以原点为圆心，‎3‎c为半径的圆上，该圆与椭圆有交点，‎ ‎∴b≤‎3‎c≤a，则‎1‎‎3‎‎1−‎e‎2‎‎≤e≤‎‎3‎‎3‎，解得‎1‎‎2‎‎≤e≤‎‎3‎‎3‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求椭圆的离心率的范围，属于基础题.‎ ‎9.椭圆x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎的左、右顶点分别为A‎1‎、A‎2‎，短轴为B‎1‎B‎2‎，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的平面角大小为( )‎ A.‎75°‎ B.‎60°‎ C.‎45°‎ D.‎‎30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程可求得a,c.由折叠所得二面角中A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点,可得cos∠A‎1‎OA‎2‎,即可求得二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的平面角大小.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎的方程可知,‎a=4,c=2‎ 将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的大小即为‎∠A‎1‎OA‎2‎ 因为A‎1‎点在平面B‎1‎A‎2‎B‎2‎上的射影恰好为椭圆的右焦点 则cos∠A‎1‎OA‎2‎=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎ ‎ 所以‎∠A‎1‎OA‎2‎=‎‎60‎‎∘‎,即二面角A‎1‎‎−B‎1‎B‎2‎−‎A‎2‎的平面角大小‎60‎‎∘‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程的简单性质,二面角大小及求法,属于基础题.‎ ‎10.倾斜角为π‎6‎的直线经过椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞b＞0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且AF‎→‎‎=3‎FB‎→‎，则椭圆的离心率为（ ）‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线AB的方程y=‎3‎‎3‎(x−c)‎，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得a2＝3c2，即可求得椭圆的离心率；‎ ‎【详解】‎ 设直线AB的方程：y＝‎3‎‎3‎（x﹣c），‎A(x‎1‎，y‎1‎),B(x‎2‎，y‎2‎)‎ 联立y=‎3‎‎3‎(x−c)‎b‎2‎x‎2‎‎+a‎2‎y‎2‎=‎a‎2‎b‎2‎，整理得：（a2+3b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣3a2b2＝0，‎ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎2a‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎‎，①，‎ x‎1‎x‎2‎‎=‎a‎2‎c‎2‎‎−3‎b‎2‎a‎2‎‎+3‎b‎2‎‎，②‎ 由AF‎=3‎FB，得‎(c−x‎1‎,−y‎1‎)=3(x‎2‎−c,y‎2‎)，‎则‎3x‎2‎+x‎1‎=4c，③‎ 解得：x‎1‎‎=‎a‎2‎c−6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎，‎ x‎2‎‎=‎a‎2‎c+6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎‎，‎ 则a‎2‎c−6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎•a‎2‎c+6b‎2‎ca‎2‎‎+3‎b‎2‎＝a‎2‎c‎2‎‎−3‎b‎2‎a‎2‎‎+3‎b‎2‎，‎ 整理得：2a2＝3b2，可得a2＝3c2，‎ 椭圆的离心率e＝ca＝‎3‎‎3‎．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质的应用，考查向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，选择合适的方程，代入椭圆方程，可以简化运算，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ 二、填空题(共 25 分)‎ ‎11.设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B,满足BF‎1‎‎=‎F‎1‎F‎2‎，且AB‎⊥‎AF‎2‎，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎‎1‎‎2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可构造出关于a,c的齐次方程，由此可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎∵BF‎1‎=‎F‎1‎F‎2‎‎ ‎∴‎F‎1‎为BF‎2‎中点，又AB‎⊥‎AF‎2‎ ‎‎∴AF‎1‎=‎F‎1‎F‎2‎ 即b‎2‎‎+‎c‎2‎‎=a=2c ‎‎∴e=ca=‎‎1‎‎2‎ 故答案为：‎‎1‎‎2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离心率的求解问题，关键是能够根据直角三角形斜边中线等于斜边一半构造出关于a,c的齐次方程.‎ ‎12.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左、右焦点分别为F‎1‎‎,‎F‎2‎，左顶点为A，上顶点为B，若BF‎1‎是ΔBAF‎2‎的中线，则该椭圆的离心率为_______________.‎ ‎【答案】‎‎1‎‎3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用AF‎1‎‎=‎F‎1‎F‎2‎可得a,c的关系，从而得到离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 因为BF‎1‎是ΔBAF‎2‎的中线，所以AF‎1‎‎=‎F‎1‎F‎2‎即a−c=2c，故ca‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 故答案为：‎1‎‎3‎.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a,b,c的不等式或不等式组．‎ ‎13.已知F是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎，的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若‎|PF|=‎3‎‎4‎|AF|‎，则该椭圆的离心率是__________．‎ ‎【答案】‎‎1‎‎4‎ ‎【解析】‎ 根据椭圆几何性质可知‎|PF|=‎b‎2‎a，‎|AF|=a−c，所以b‎2‎a‎=‎3‎‎4‎(a+c)‎ ，即‎4b‎2‎=3a‎2‎−3ac ，由因为b‎2‎‎=a‎2‎−‎c‎2‎，所以有‎4(a‎2‎−c‎2‎)=3a‎2‎+3ac，整理可得‎4c‎2‎+3ac−a‎2‎=0‎ ，两边同除以a‎2‎得：‎4e‎2‎+3e−1=0‎ ，所以‎(4e−1)(e+1)=0‎，由于‎0b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎，直线y=x被椭圆C截得的线段长为‎4‎‎10‎‎5‎，则椭圆C的方程为________.[来源:学科网]‎ ‎【答案】‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎【详解】‎ 由题意有ca‎=a‎2‎‎−‎b‎2‎a=‎‎3‎‎2‎，得a‎2‎‎=4‎b‎2‎ [来源:Zxxk.Com]‎ 所以椭圆的方程可化为：x‎2‎‎+4y‎2‎=‎a‎2‎.‎ 由y=xx‎2‎‎+4y‎2‎=‎a‎2‎得：x‎2‎‎=a‎2‎‎5‎,y‎2‎=‎a‎2‎‎5‎ ‎ 由直线y=x被椭圆C截得的线段长为‎4‎‎10‎‎5‎ 即‎4‎‎10‎‎5‎‎=2‎a‎2‎‎5‎‎+‎a‎2‎‎5‎，解得：a=2‎，则b=1‎ ‎ 所以椭圆的方程为：‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎ 故答案为：‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，属于基础题.‎ ‎15.椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的中心在原点，F‎1‎，F‎2‎分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF‎1‎⊥x轴，PF‎1‎//AB，则此椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎‎5‎‎5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得P点的坐标，根据两直线平行，斜率相等列出方程，化简这个方程后可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，把x=-c代入椭圆方程x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a>b>0‎）可得P‎-c,‎b‎2‎a，‎ 又A‎0,b，Ba,0‎，F‎2‎c,0‎，∴kAB‎=-‎b‎2ac，‎ ‎∵PF‎2‎∥AB，∴‎-ba=-‎b‎2‎‎2ac，化简得b=2c.[来源:学科网]‎ ‎∴‎4c‎2‎=b‎2‎=a‎2‎-‎c‎2‎，即a‎2‎‎=5‎c‎2‎，∴e=c‎2‎a‎2‎=‎‎5‎‎5‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查椭圆的标准方程和几何性质.通过椭圆上常见点的坐标和两直线平行这个条件，列方程后，将方程转化为ca的形式，由此求得离心率.属于基础题.‎ 三、解答题(共 25 分)‎ ‎16.焦点在x轴上的椭圆的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎m=1‎，点P(‎2‎,1)‎在椭圆上.‎ ‎（1）求m的值.‎ ‎（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.‎ ‎【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长‎2‎‎2‎、焦距‎2‎‎2‎、离心率‎2‎‎2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，代入点P(‎2‎,1)‎，即可求解.‎ ‎（2）由（1），写出椭圆方程，求解a,b,c，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，点P(‎2‎,1)‎在椭圆上，代入，‎ 得‎2‎‎2‎‎4‎‎+‎1‎‎2‎m=1‎，解得m=2‎ ‎（2）由（1）知，椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎，则a=2,b=‎2‎,c=‎‎2‎ 椭圆的长轴长‎2a=4‎；’‎ 短轴长‎2b=2‎‎2‎；‎ 焦距‎2c=2‎‎2‎；‎ 离心率e=ca=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.‎ ‎17.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a>b>0‎）的离心率为‎3‎‎2‎，短轴一个端点到右焦点的距离为2.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P是该椭圆上的一个动点，F‎1‎、F‎2‎分别是椭圆的左、右焦点，求PF‎1‎‎⋅‎PF‎2‎的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(1)x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎；(2) 最大值为‎1‎，最小值为‎-2‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列出a,b,c的方程组，解方程组即可求得方程；‎ ‎（2）设出点的坐标，根据点在椭圆上则点的坐标满足椭圆方程，结合向量的数量积运算，即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知：ca‎=‎‎3‎‎2‎，a=2‎，a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，‎ 解得a‎2‎‎=4,b‎2‎=1,c‎2‎=3‎，‎ 故椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎（2）设点P的坐标为x‎0‎‎,‎y‎0‎，则x‎0‎‎2‎‎4‎‎+y‎0‎‎2‎=1‎.‎ 根据（1）可得焦点坐标分别为F‎1‎‎-‎3‎,0‎‎,F‎2‎(‎3‎,0)‎，‎ 则PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=‎-‎3‎-x‎0‎,-‎y‎0‎⋅(‎3‎-x‎0‎,-y‎0‎)‎ ‎=x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎-3‎ ‎=‎3‎‎4‎x‎0‎‎2‎-2‎‎.‎ 根据椭圆的几何性质，可知x‎0‎‎∈[-a,a]‎，即a∈[-2,2]‎，‎ 故可得‎3‎‎4‎x‎0‎‎2‎‎-2∈[-2,1]‎.‎ 故PF‎1‎‎⋅‎PF‎2‎的最大值为‎1‎，最小值为‎-2‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的求解，属综合基础题.‎ ‎18.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎，点‎(1,‎3‎‎2‎)‎在E上.‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设直线l:y=kx+2‎与E交于A，B两点，若OA‎⋅OB=2‎，求k的值.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎（2）‎k=±‎‎42‎‎6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；‎ ‎（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由题意得e=ca=‎‎3‎‎2‎，所以c=‎‎3‎a‎2‎，b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=‎‎1‎‎4‎a‎2‎①，‎ 又点‎(1,‎3‎‎2‎)‎在E上，所以‎1‎‎2‎a‎2‎‎+‎3‎‎4‎b‎2‎=1‎②，联立①②，解得a=2‎，b=1‎，‎ 所以椭圆E的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎（2）解：设A，B的坐标为‎(x‎1‎,y‎1‎)‎，‎(x‎2‎,y‎2‎)‎，依题意得，‎ 联立方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎y=kx+2‎消去y，得‎(1+4k‎2‎)x‎2‎+16kx+12=0‎.‎ Δ=‎(16k)‎‎2‎-48(1+4k‎2‎)>0‎‎，k‎2‎‎>‎‎3‎‎4‎，‎ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎-16k‎1+4‎k‎2‎‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎12‎‎1+4‎k‎2‎，‎ OA‎⋅OB=x‎1‎x‎2‎+‎y‎1‎y‎2‎ ‎=x‎1‎x‎2‎+(kx‎1‎+2)(kx‎2‎+2)‎ ‎=(1+k‎2‎)x‎1‎x‎2‎+2k(x‎1‎+x‎2‎)+4‎ ‎=(1+k‎2‎)⋅‎12‎‎1+4‎k‎2‎+2k⋅‎-16k‎1+4‎k‎2‎+4‎ ‎=‎12-20‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎+4‎‎，‎ ‎∵OA‎⋅OB=2‎，∴‎12-20‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎‎+4=2‎，‎k‎2‎‎=‎7‎‎6‎>‎‎3‎‎4‎ 所以，k=±‎‎42‎‎6‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理把向量坐标化，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知离心率e=‎‎2‎‎2‎的椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的一个焦点为(-1,0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若斜率为l的直线l交椭圆C于A,B两点,且AB‎=‎‎4‎‎2‎‎3‎,求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎；（2）y=x+1‎或y=x−1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率e=‎‎2‎‎2‎，一个焦点为（﹣1，0），求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，求出m，即可求直线l方程．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知,c=1, e=ca=‎‎2‎‎2‎,‎ ‎∴a=‎‎2‎,b=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,点Ax‎1‎‎,‎y‎1‎,Bx‎2‎‎,‎y‎2‎ 联立方程组x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1,‎y=x+m,‎ 化简,得3x2+4mx+2m2-2=0.‎ 由已知得, ‎△=16m‎2‎-12‎2m‎2‎-2‎=-8m‎2‎+24>0‎,‎ 即m2<3,∴‎-‎3‎b>0)‎经过点A(1,‎2‎‎2‎)‎.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若不过点A的直线l:y=‎2‎‎2‎x+m交椭圆E于B,C两点，求ΔABC面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎，（2）‎‎2‎‎2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为‎2‎‎2‎，可得ca‎=‎‎1‎‎2‎,可设椭圆方程为x‎2‎‎2‎n‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎，再代入点A的坐标得代入设出的椭圆的方程，即可得椭圆E 的方程 ‎（Ⅱ）先设点B，C的坐标分别为‎(x‎1‎,y‎1‎)‎，‎(x‎2‎,y‎2‎)‎，将直线方程与椭圆的方程联立：消去一个元，得到一个一元二次方程.再求解判别式：写出根与系数的关系.计算点A到直线l的距离，得到用m表示ΔABC的面积，利用基本不等式求出ΔABC面积的最大值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为ca‎=‎‎1‎‎2‎,所以设a=‎2‎n，c=n，则b=n，椭圆E的方程为x‎2‎‎2‎n‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎.‎ 代入点A的坐标得‎1‎‎2‎n‎2‎‎+‎1‎‎2‎n‎2‎=1‎，n‎2‎‎=1‎，所以椭圆E的方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎（Ⅱ）设点B，C的坐标分别为‎(x‎1‎,y‎1‎)‎，‎(x‎2‎,y‎2‎)‎，‎ 由y=‎2‎‎2‎x+mx‎2‎‎+2y‎2‎=2‎得x‎2‎‎+2(‎1‎‎2‎x‎2‎+‎2‎mx+m‎2‎)=2‎，即x‎2‎‎+‎2‎mx+m‎2‎−1=0‎，‎ x‎1‎‎+x‎2‎=−‎2‎m‎，‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=m‎2‎−1‎ Δ=2m‎2‎−4(m‎2‎−1)>0‎‎，m‎2‎‎<2‎.‎ ‎|BC|=‎‎(1+k‎2‎)[‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎−4x‎1‎x‎2‎]‎‎ ‎=‎‎3‎‎2‎‎[2m‎2‎−4(m‎2‎−1)]‎ ‎=‎‎3‎‎2‎‎(4−2m‎2‎)‎，‎ 点A到直线l的距离d=‎‎|m|‎‎3‎‎2‎，‎ ΔABC的面积S=‎1‎‎2‎|BC|⋅d ‎=‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎‎(4−2m‎2‎)‎⋅‎‎|m|‎‎3‎‎2‎ ‎‎=‎‎2‎‎2‎m‎2‎‎(2−m‎2‎)‎ ‎≤‎2‎‎2‎⋅m‎2‎‎+2−‎m‎2‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎‎，当且仅当m‎2‎‎=2−‎m‎2‎，即m‎2‎‎=1‎时等号成立.‎ 所以当m=±1‎时，ΔABC面积的最大值为‎2‎‎2‎.‎ 考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题.‎ ‎【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.‎