2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第6节第2课时 利用空间向量求夹角和距离

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第6节第2课时 利用空间向量求夹角和距离

www.ks5u.com 多维层次练42‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)‎ A．120° B．60° ‎ C．30° D．60°或30°‎ 解析：设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.‎ 则sin β＝|cos γ|＝|cos 120°|＝.‎ 又因为0°≤ β≤90°，所以β＝30°.‎ 答案：B ‎2．(2020·湖北七校联考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，所以＝(－1，0，2)，＝(－1，1，1)．‎ 所以cos〈，〉＝＝＝.‎ 答案：B ‎3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A(0，－1，0)，B1(，0，2)，所以＝(，1，2)，由题知＝(－，0，0)为侧面ACC1A1的一个法向量．‎ 即sin θ＝＝.‎ 答案：A ‎4．(2020·平阴一中月考)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为(　　)‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．90°‎ 解析：以A点为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，且设AB＝1，‎ 所以C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．‎ 设平面CDP的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 所以 令y＝1，所以n＝(0，1，1)．‎ 又因为为平面ABP的一个法向量，‎ 所以cos〈n，〉＝＝＝.‎ 所以二面角为45°.‎ 答案：B ‎5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)‎ A．150° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：如图所示，二面角的大小就是〈，〉．‎ 因为＝＋＋，‎ 所以2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝2＋2＋2＋2·，‎ 所以·＝[(2)2－62－42－82]＝－24.‎ 因此·＝24，cos〈，〉＝＝，‎ 又〈，〉∈[0°，180°]，‎ 所以〈，〉＝60°，故二面角为60°.‎ 答案：C ‎6．如图所示，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________．‎ 解析：因为AE∶ED∶AD＝1∶1∶，‎ 所以AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AB＝EF＝CD＝2，‎ 则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，‎ 所以＝(－1，2，0)，＝(0，2，1)，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以AF与CE所成角的余弦值为.‎ 答案： ‎7．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．‎ 解析：延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示．‎ 设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角．‎ 因为BH＝，EB＝1，‎ 所以tan ∠EHB＝＝.‎ 答案： ‎8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．‎ 解析：以D1A1，D1C1，D1D分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，‎ 则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，‎ ＝(x－1，0，1)，＝(1，1，y)，‎ 由于B1E⊥平面ABF，‎ 所以·＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0⇒x＋y＝1.‎ 答案：1‎ ‎9.如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.‎ ‎(1)求DP与CC′所成角的大小；‎ ‎(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．‎ 解：(1)如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz.‎ 则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)．‎ 连接BD，B′D′.‎ 在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于点H.‎ 设＝(m，m，1)(m>0)，‎ 由已知〈，〉＝60°，‎ 由·＝||·||cos〈，〉，‎ 可得2m＝，解得m＝，‎ 所以＝.‎ 因为cos〈，〉＝＝，‎ 所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.‎ ‎(2)因为ABCD-A′B′C′D′为正方体，‎ 所以CD⊥平面ADD′A′.‎ 所以为平面ADD′A′的一个法向量，＝(0，－1，0)．‎ 又因为＝，‎ 设DP与平面AA′D′D所成的角为θ，‎ 所以sin θ＝＝＝.‎ 所以DP与平面AA′D′D所成角为30°.‎ ‎10.(2019·浙江卷)如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．‎ ‎(1)证明：EF⊥BC；‎ ‎(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，‎ 所以A1E⊥AC.‎ 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，‎ 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.‎ 如图所示，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.‎ 不妨设AC＝4，则A1(0，0，2)，B(，1，0)，B1(，3，2)，F，C(0，2，0)．‎ 因此，＝，＝(－，1，0)．‎ 由·＝0得EF⊥BC.‎ ‎(2)解：设直线EF与平面A1BC所成的角为θ.‎ 由(1)可得＝(－，1，0)，＝(0，2，－2)．‎ 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)．‎ 由得 取n＝(1，，1)，‎ 故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，‎ 所以cos θ＝.‎ 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·青岛模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AB＝BC＝CD＝1，‎ 则A(1，0，1)，B(1，0，0)，C(0，0，0)，D(0，1，0)，M，‎ 则＝，＝(0，1，0)，‎ 设异面直线BM与CD夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝.‎ 所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为.‎ 答案：C ‎12．(2020·武汉调研)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1的对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为________．‎ 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，正方体的棱长为1‎ ‎，在正方体ABCD-A1B1C1D1下面补一个棱长为1的正方体ABCD-A2B2C2D2，连接A2C2，B2D2，AC2，设B2D2∩A2C2＝E，连接CE交AC2于M(即A关于平面BDC1的对称点)，易得M，所以点M到平面A1B1C1D1的距离为1－＝.‎ 答案： ‎13.如图所示，已知四棱锥P-AB-CD的底面是菱形，对角线AC与BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD，设点M满足＝λ(λ>0)．‎ ‎(1)当λ＝时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；‎ ‎(2)若二面角M-AB-C的大小为，求λ的值．‎ 解：(1)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(4，0，0)，B(0，3，0)，C(－4，0，0)，D(0，－3，0)，P(0，0，4)，所以＝(4，0，－4)，＝(0，6，0)，＝(－4，3，0)．‎ 当λ＝时，得M，‎ 所以＝，‎ 设平面BDM的法向量n＝(x，y，z)．‎ 则即得y＝0.‎ 令x＝2，则z＝1，所以n＝(2，0，1)，‎ 所以cos〈，n〉＝＝，‎ 故直线PA与平面BDM所成角的正弦值为.‎ ‎(2)易知平面ABC的一个法向量n1＝(0，0，1)．‎ 设M(a，0，b)，代入＝λ，得(a，0，b－4)＝λ(－4－a，0，－b)，‎ 解得即M，‎ 所以＝，‎ 设平面ABM的一个法向量n2＝(x，y，z)，‎ 则即 消去y，得(2λ＋1)x＝z，令x＝1，则z＝2λ＋1，y＝，‎ 所以n2＝，‎ 所以cos〈n1，n2〉＝cos ＝，‎ 解得λ＝或λ＝－，因为λ>0，所以λ＝.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)．‎ 解析：依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.‎ 由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1‎ 为半径的圆．‎ 设直线a的方向向量为a＝(0，1，0)，直线b的方向向量为b＝(1，0，0)，以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0，2π)，则B(cos θ，sin θ，0)，‎ 所以＝(cos θ，sin θ，－1)，||＝.‎ 设直线AB与a所成夹角为α，‎ 则cos α＝＝|sin θ|∈，‎ 所以45°≤α≤90°，所以③正确，④错误．‎ 设直线AB与b所成夹角为β，‎ 则cos β＝＝|cos θ|.‎ 当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时，‎ 则|sin θ|＝cos α＝cos 60°＝，‎ 所以|cos θ|＝.所以cos β＝|cos θ|＝.‎ 因为0°≤β≤90°，所以β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.‎ 所以②正确，①错误．‎ 故正确的结论有②③.‎ 答案：②③‎