2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2

2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2

‎2.4.1‎‎ 抛物线及其标准方程 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定 解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p>0)或 x2＝2py(p>0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线标准方程为 y2＝8x或x2＝y，故选C.‎ 答案：C ‎2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，‎ 则x0＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.‎ 答案：A ‎3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x＋4＝0的距离，则M点的轨迹方程是(　　)‎ A．x＋4＝0 B．x－4＝0‎ C．y2＝8x D．y2＝16x 解析：根据抛物线定义可知，M点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，p＝8，‎ ‎∴其轨迹方程为y2＝16x，故选D.‎ 答案：D ‎4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 6‎ 解析：抛物线的焦点，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，‎ 即bx－ay＝0，焦点到渐近线的距离为＝2，即ap＝4＝‎4c，‎ 所以＝，双曲线的离心率为＝2，所以＝＝2，所以p＝8，所以抛物线方 程为x2＝16y.故选D.‎ 答案：D ‎5．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，‎ 得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.‎ 答案：A ‎6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．‎ 解析：依题意得，直线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x＝－的距离等于半径4，于是有3＋＝4，即p＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，定点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．‎ 解析：抛物线的焦点F的坐标为，‎ 线段FA的中点B的坐标为，‎ 代入抛物线方程得1＝2p×，‎ 6‎ 解得p＝，故点B的坐标为，‎ 故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.‎ 答案： ‎8．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．‎ 解析：设Q(x0，±20)(x0≥0)，‎ 则|PQ|＝≥|a|对∀x0≥0恒成立，‎ 即(x0－a)2＋4x0≥a2对∀x≥0恒成立．‎ 化简得x＋(4－‎2a)x0≥0.‎ 当4－‎2a≥0时，对∀x0≥0，x＋(4－‎2a)x0≥0恒成立，此时a≤2；‎ 当4－‎2a＜0时，0＜x0＜‎2a－4时不合题意．‎ 答案：(－∞，2]‎ ‎9．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．‎ 解析：如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，‎ ‎∴|PQ|＝r＋1，‎ 又|AP|＝r＋1.‎ ‎∴|AP|＝|PQ|.‎ 故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等．‎ ‎∴点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点．‎ 直线x＝2为准线．‎ ‎∴＝2.∴p＝4.‎ ‎∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.‎ ‎10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝‎1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面‎2 m，P距抛物线的对称轴‎1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)‎ 解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，依题意有P(－1，－1)，在此抛物线上，代入得p＝，‎ 6‎ 故得抛物线方程为x2＝－y.‎ 又因为B点在抛物线上，‎ 将B(x，－2)代入抛物线方程 得x＝，即|AB|＝，‎ 则水池半径应为|AB|＋1＝＋1，‎ 因此所求水池的直径为2(1＋)，约为‎5 m，‎ 即水池的直径至少应设计为‎5 m.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)‎ A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|‎ B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2‎ C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|‎ D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|‎ 解析：|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，‎ ‎∵2x2＝x1＋x3，‎ ‎∴2|FP2|＝|FP1|＋| FP3|.‎ 答案：C ‎2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于(　　)‎ A．2 B．‎2‎ C．4 D．2 解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，‎ 则焦点坐标为，准线方程为x＝－，‎ ‎∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋＝3，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，‎ ‎∵M(2，y0)在抛物线上，∴y＝8，‎ ‎∴|OM|＝＝＝2.‎ 答案：B ‎3．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线 －y2＝1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于________．‎ 解析：由抛物线定义知1＋＝5，∴p＝8，‎ 6‎ ‎∴抛物线方程为y2＝16x，∴m2＝16，‎ ‎∴m＝4，即M(1,4)，‎ 又∵A(－，0)，双曲线渐近线方程为y＝± x，‎ 由题意知＝，∴a＝.‎ 答案： ‎4．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为 a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________.‎ 解析：∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，‎ ‎∴C，F.‎ 又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p＞0)上，‎ ‎∴解得＝＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎5．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．‎ ‎(1)求证：OA⊥OB；‎ ‎(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ 解析：(1)证明：设A(－y，y1)，B(－y，y2)．‎ 则y1＝k(－y＋1)，y2＝k(－y＋1)，‎ 消去k得y1(1－y)＝y2(1－y)．‎ ‎∴(y2－y1)＝y1y2(y1－y2)，‎ 又y1≠y2，∴y1y2＝－1，‎ ‎∴·＝y1y2＋yy＝y1y2(1＋y1y2)＝0，‎ ‎∴OA⊥OB.‎ ‎(2)S△OAB＝×1×|y2－y1|，‎ 由得ky2＋y－k＝0，‎ ‎∴S△OAB＝×1×|y2－y1|＝＝，‎ ‎∴k＝±.‎ ‎6．已知抛物线y2＝2px(p>0)．试问：‎ 6‎ ‎(1)在抛物线上是否存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等？‎ ‎(2)在抛物线上是否存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等？‎ 解析：(1)假设在抛物线上存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．‎ 那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．‎ 所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．‎ ‎(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．‎ 这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.‎ 6‎