数学卷·2018届广东省清远市清新一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省清远市清新一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省清远市清新一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．倾斜角为120°且在y轴上的截距为﹣2的直线方程为（　　）‎ A．y=﹣x+2 B．y=﹣x﹣2 C．y=x+2 D．y=x﹣2‎ ‎2．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（　　）‎ A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至多有1件正品 ‎3．某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，则最合理的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 ‎4．已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0互相平行，则a的值是（　　）‎ A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0‎ ‎5．已知变量x服从正态分布N（4，σ2），且P（x＞2）=0.6，则P（x＞6）=（　　）‎ A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1‎ ‎6．圆（x+2）2+y2=2016关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=2016 B．x2+（y﹣2）2=2016‎ C．（x+1）2+（y+1）2=2016 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2016‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣3‎ ‎8．下列说法中，错误的一个是（　　）‎ A．将23（10）化成二进位制数是10111（2）‎ B．在空间坐标系点M（1，2，3）关于x轴的对称点为（1，﹣2，﹣3）‎ C．数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍 D．若点A（﹣1，0）在圆x2+y2﹣mx+1=0的外部，则m＞﹣2‎ ‎9．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎11．在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国•荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为（　　）‎ A．120 B．240 C．360 D．480‎ ‎12．已知等边△ABC的边长为2，动点P、M满足||=1， =，则||2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，A1A=AB=AD=1，则AC1=　　．‎ ‎14．设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为　　．‎ ‎15．数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=，a1=2，则S2017=　　．‎ ‎16．平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：‎ ‎①曲线C的方程为x2=4y； ②曲线C关于y轴对称 ‎ ‎③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2； ④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4‎ 其中，所有正确结论的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知a∈R，设命题p：空间两点B（1，a，2）与C（a+1，a+3，0）的距离|BC|＞；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．‎ ‎（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“￢q”和“p∧q”均为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．‎ ‎（Ⅰ）求出a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？‎ ‎（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．‎ ‎19．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣PA﹣D的余弦值．‎ ‎20．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．‎ ‎（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．‎ ‎21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎22．已知函数f（x）=x﹣alnx﹣．‎ ‎（Ⅰ）当a﹣b=1，a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当b=﹣1，a≤4时，不等式f（x）＜﹣在区间[2，4]上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远市清新一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．倾斜角为120°且在y轴上的截距为﹣2的直线方程为（　　）‎ A．y=﹣x+2 B．y=﹣x﹣2 C．y=x+2 D．y=x﹣2‎ ‎【考点】直线的斜截式方程．‎ ‎【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案．‎ ‎【解答】解：∵tan120°=﹣，‎ ‎∴所求直线的斜率为﹣，‎ 又直线在y轴上的截距为﹣2，‎ 由直线方程的斜截式得y=﹣x﹣2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（　　）‎ A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至多有1件正品 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有两件次品”，我们易得结果．‎ ‎【解答】解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个 又∵事件A：“至少有两件次品”，‎ ‎∴事件A的对立事件为：‎ 至多有一件次品．‎ 故选B ‎　‎ ‎3．某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，则最合理的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．‎ ‎【解答】解：常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 高一年级、高二年级、高三年级学生对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，存在显著差异，‎ 这种方式具有代表性，比较合理的抽样方法是分层抽样．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0互相平行，则a的值是（　　）‎ A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．‎ ‎【解答】解：因为直线l1：ax﹣y+a=0，的斜率存在，斜率为a，‎ 要使两条直线平行，必有l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0的斜率为a，即=a，‎ 解得 a=﹣3或a=1，‎ 当a=1时，已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0，两直线重合，‎ 当a=﹣3时，已知直线l1：﹣3x+y﹣3=0与直线l2：﹣3x﹣y=1，两直线平行，‎ 则实数a的值为﹣3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知变量x服从正态分布N（4，σ2），且P（x＞2）=0.6，则P（x＞6）=（　　）‎ A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】变量x服从正态分布N（4，σ2），得出正态分布曲线关于x=2对称，由此得出P（x＜2）=P（x＞6），求出P（ξ＜2）的值，得出正解答案．‎ ‎【解答】解：∵随机变量x服从正态分布N（4，σ2），‎ ‎∴正态分布曲线关于x=4对称，‎ 又x＜2与x＞6关于x=2对称，且P（ξ＞2）=0.6，‎ ‎∴P（x＜2）=P（x＞6）=0.4，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．圆（x+2）2+y2=2016关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=2016 B．x2+（y﹣2）2=2016‎ C．（x+1）2+（y+1）2=2016 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2016‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】先把圆C的方程化为标准方程，求出圆心关于直线的对称点，对称后圆的半径不变，这样就可以写出对称后圆的方程．‎ ‎【解答】解：圆（x+2）2+y2=2016，设圆心（﹣2，0）关于直线x﹣y+1=0的对称点为（m，n）‎ 则，解得：m=﹣1，n=﹣1‎ ‎∴对称点为（﹣1，﹣1）‎ 所以圆（x+2）2+y2=2016关于直线x﹣y+1=0的对称圆C′的方程为：（x+1）2+（y+1）2=2016．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣3‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出S值的周期，即可得出输出的结果．‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；‎ 开始S=2，i=1；‎ 第一次循环S=﹣3，i=2；‎ 第二次循环S=﹣，i=3；‎ 第三次循环S=，i=4；‎ 第四次循环S=2，i=5；‎ 第五次循环a=﹣3，i=6；‎ ‎…‎ ‎∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2018=504×4+2，‎ ‎∴输出的S=﹣3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．下列说法中，错误的一个是（　　）‎ A．将23（10）化成二进位制数是10111（2）‎ B．在空间坐标系点M（1，2，3）关于x轴的对称点为（1，﹣2，﹣3）‎ C．数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍 D．若点A（﹣1，0）在圆x2+y2﹣mx+1=0的外部，则m＞﹣2‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据进位制之间的转化方法，可判断A；写出点的对称坐标，可判断B；根据数据扩大a倍，方差扩大a2倍，可判断C；根据点与圆的位置关系，可判断D．‎ ‎【解答】解：10111（2）=1+2+4+16=23（10），故A正确；‎ 在空间坐标系点M（1，2，3）关于x轴的对称点为（1，﹣2，﹣3），故B正确；‎ 数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的4倍，故C错误；‎ 若点A（﹣1，0）在圆x2+y2﹣mx+1=0的外部，则1+m+1＞0，即m＞﹣2，故D正确；‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据计算出中位数和平均数，计算出x的取值范围即可求出满足条件的概率．‎ ‎【解答】解：根据篮球的得分规则可知，x=0，1，2，…9，共10种可能．‎ 无论x取何值，则位于中间的两个数为：17，10+x，‎ 则中位数为．‎ 得分的平均数为10+=，‎ 由10+（x+35），‎ 得3x≤7，‎ 即x，∴x=0，1，2，共有3种，‎ ‎∴这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．‎ ‎【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0‎ ‎∴圆心C（1，1）、半径r为：1‎ 根据题意，若四边形面积最小 当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，‎ 切线长PA，PB最小 圆心到直线的距离为d=2‎ ‎∴|PA|=|PB|=‎ ‎∴‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国•荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为（　　）‎ A．120 B．240 C．360 D．480‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】分类讨论，考虑C排在左边第一、二、三个位置的情况，再利用对称性可得结论．‎ ‎【解答】解：第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；‎ 第二类，字母C排在左边第二个位置，有A42A33种；‎ 第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33+A32A33种，‎ 由对称性可知共有2（A55+A42A33+A22A33+A32A33）=480种．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知等边△ABC的边长为2，动点P、M满足||=1， =‎ ‎，则||2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】画出图形，建立坐标系，求出P的轨迹方程，M的轨迹方程，然后利用方程求解||2的最小值．‎ ‎【解答】解：由题△ABC为边长为的正三角形，如图建立平面坐标系，‎ ‎，‎ 由得点P的轨迹方程为x2+（y﹣3）2①，‎ 设M（x0，y0），由得，‎ 代入①式得M的轨迹方程为 记圆心为，，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，A1A=AB=AD=1，则AC1=　　．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由题意画出图形，然后利用空间向量求解．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，A1A=AB=AD=1，‎ ‎∴=‎ ‎=3+2×=6．‎ ‎∴，即AC1=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围 ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小 结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大 由可得B（1，2），由可得A（3，0）‎ ‎∴Zmax=3，Zmin=﹣3‎ 则z=x﹣2y∈[﹣3，3]‎ 故答案为：[﹣3，3]‎ ‎　‎ ‎15．数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=，a1=2，则S2017=　1010　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由数列的递推公式求出前四项，可得数列{an}是以3为周期的数列，求出S3的值，由周期性求出S2017的值．‎ ‎【解答】解：由题意得，a1=2，an+1==1﹣，‎ ‎∴a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，‎ a4=1﹣（﹣1）=2，…，‎ ‎∴数列{an}是以3为周期的数列，‎ 又S3=2+﹣1=，2017=3×672+1，‎ ‎∴S2017=672×+2=1010，‎ 故答案为：1010．‎ ‎　‎ ‎16．平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：‎ ‎①曲线C的方程为x2=4y； ②曲线C关于y轴对称 ‎ ‎③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2； ④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4‎ 其中，所有正确结论的序号是　②③④　．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误．‎ ‎【解答】解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，‎ 因为曲线C是平面内到定点F（0，1）‎ 和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，‎ 所以|PF|+|y+1|=4．即，‎ 解得y≥﹣1时，y=2﹣x2，当y＜﹣1时，y=x2﹣2；‎ 显然①不正确；‎ ‎②曲线C关于y轴对称；正确．‎ ‎③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确．‎ ‎④若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知a∈R，设命题p：空间两点B（1，a，2）与C（a+1，a+3，0）的距离|BC|＞；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．‎ ‎（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“￢q”和“p∧q”均为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由得a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．根据二次函数的图象可得实数a的取值范围，‎ 由命题“¬q”和“p∧q”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题 ‎，列式求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为命题p为真命题，由得a2＞4，即a＜﹣2或a＞2，所以a的取值范围为{a|a＜﹣2或a＞2}‎ ‎（Ⅱ）∵函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（0，3）上为单调函数．∴a≤0或a≥3‎ 由命题“¬q”和“p∧q”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题 即，得﹣2≤a≤0，‎ 故a的取值范围为{a|﹣2≤a≤0}‎ ‎　‎ ‎18．某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．‎ ‎（Ⅰ）求出a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？‎ ‎（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意利用列出方程，能求出a，b．‎ ‎（Ⅱ）分别求出甲、乙两种数据的平均数和方差，得到，，从而得到应选派乙参加更合适．‎ ‎（Ⅲ）设从甲同学的5次成绩中任取两次，利用列举法求出基本事件个数和“优秀组合”包含基本事件个数，由此能求出甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得a=3，b=8．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎∵，，‎ ‎∴甲、乙两生的整体水平相当，乙生更稳定一些，‎ 故应选派乙参加更合适．‎ ‎（Ⅲ）设从甲同学的5次成绩中任取两次得基本事件有：‎ ‎（87，88），（87，90），（87，92），（87，93），（88，90），（88，92），‎ ‎（88，93），（90，92），（90，93），（92，93），共计10个，‎ 而两次成绩的平均分大于90，即“优秀组合”包含的基本事件有：‎ ‎（88，93），（90，92），（90，93），（92，93）共计4个，‎ 所以甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率为．‎ ‎　‎ ‎19．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣PA﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明BE⊥BC，利用BC∥AD，可得BE⊥AD，结合BE⊥PA，证明BE⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、PAD的一个法向量，即可求二面角C﹣PA﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠DAC=45°，，∴BC∥AD，，‎ ‎∵E为PA的中点，且，∴BE⊥PA，‎ 在△PBC中，PC2=PB2+BC2，∴BC⊥PB．‎ 又∵BC⊥AB，且PB∩AB=B，∴BC⊥平面PAB，‎ ‎∵BE⊂平面PAB，∴BE⊥BC，‎ 又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，‎ 又∵PA∩AD=A，∴BE⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可以BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，B（0，0，0），，，则，．‎ 设平面PAC的一个法向量为，则∴∴取 又由（Ⅰ）知BE⊥平面PAD，故为平面PAD的一个法向量，‎ ‎∴，，‎ 故二面角C﹣PA﹣D的余弦值．‎ ‎　‎ ‎20．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．‎ ‎（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以O为原点，ON所在直线为x轴，过O作ON的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设曲线段OM所在方程为y2=2px（p＞0），求出p=2，即可得到曲线段OM所在抛物线方程．‎ ‎（Ⅱ）为使绿化建设的面积取得的最小值，应使矩形ABNC最大．设A（x0，y0），求出矩形ABNC的面积的表达式，通过函数的导数，求和函数的单调性，求解函数的最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）以O为原点，ON所在直线为x轴，过O作ON的垂线为轴，建立平面直角坐标系，‎ 设曲线段OM所在方程为y2=2px（p＞0），则由M（4，4）在抛物线上，得p=2，‎ ‎∴曲线段OM所在抛物线方程为y2=4x ‎（Ⅱ）为使绿化建设的面积取得的最小值，应使矩形ABNC最大．‎ 设A（x0，y0），则，‎ 则矩形ABNC的面积，‎ ‎∴令S'=0，得，且S在时单调递增，‎ 在时单调递减．∴当时 又∵曲边形OMN的面积为，‎ ‎∴当时，绿化建设的面积取得最小值，最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用离心率为，点在椭圆C上，列出方程解得a2=4，b2=3．然后求解椭圆C的方程即可．‎ ‎（Ⅱ）设直线lMN：x=ty+1（t≠0），联立方程直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及点N关于x轴的对称点P（x2，﹣y2），求出，得到直线PM的方程为，利用对称性可观察若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0，求出x，然后判断直线PM恒过定点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题知，即，得 ‎∵点在椭圆上，∴‎ ‎．‎ 解得a2=4，b2=3．∴椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线lMN：x=ty+1（t≠0），联立方程得∴‎ 且△=144t2+144＞0∵N（x2，y2）∴点N关于x轴的对称点P（x2，﹣y2）‎ ‎∴‎ 故直线PM的方程为，‎ 由对称性可知若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0得，‎ 将①②式代入上式，‎ 得x==4，故直线PM恒过定点（4，0）．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=x﹣alnx﹣．‎ ‎（Ⅰ）当a﹣b=1，a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当b=﹣1，a≤4时，不等式f（x）＜﹣在区间[2，4]‎ 上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）问题转化为，令，求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调性确定a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题知x∈（0，+∞），‎ ‎∵，且由a﹣b=1得b=a﹣1，‎ ‎∴，‎ 当a﹣1=1即a=2时，，‎ 知函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；‎ 当a﹣1＞1即a＞2时，知x∈（0，1）和x∈（a﹣1，+∞）时f'（x）＞0，‎ 当x∈（1，a﹣1）时，f'（x）＜0‎ 故函数f（x）的单调增区间（0，a﹣1）和（1，+∞），单调减区间为（a﹣1，1）；‎ 综上所述，当a=2时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；‎ 当a＞2时，函数f（x）的单调增区间（0，1）和（a﹣1，+∞），单调减区间为（1，a﹣1）；‎ 当1＜a＜2时，故函数f（x）的单调增区间（0，a﹣1）和（1，+∞），单调减区间为（a﹣1，1）‎ ‎（Ⅱ）当b=﹣1时，由得，‎ 令，则 设，由a≤4知对称轴，‎ 故t=x2﹣ax﹣4在[2，4]上单调递增，‎ 所以当x=2时，tmin=﹣2a，当x=4时，tmax=12﹣4a，‎ ‎①当12﹣4a≤0，即3≤a≤4时，g'（x）≤0，知g（x）在[2，4]上单调递减，‎ 得，故3≤a≤4．‎ ‎②当﹣2a≥0，即a≤0时，g'（x）≥0，知g（x）在[2，4]上单调递增，‎ g（x）max=g（4）=3﹣aln4＜0，得，故此时无解．‎ ‎③当﹣2a＜0＜12﹣4a，即0＜a＜3时，‎ g'（x）=0在（2，4）上有唯一一个实数解x0，‎ 且g（x）在x∈（2，x0）上单调递减，在x∈（x0，4）上单调递增，‎ 要使g（x）＜0恒成立，‎ 只需，得，故．‎ 综上①②③知，‎ 所以实数a的取值范围为．‎ ‎　‎