2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第三章 第三章 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算

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2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第三章 第三章 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算

[基础题组练] 1.函数 y=x2cos x 在 x=1 处的导数是( ) A.0 B.2cos 1-sin 1 C.cos 1-sin 1 D.1 解析:选 B.因为 y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2·(cos x)′=2xcos x-x2sin x,所以 y′|x=1=2cos 1-sin 1. 2.(2020·衢州高三月考)已知 t 为实数,f(x)=(x2-4)(x-t)且 f′(-1)=0,则 t 等于( ) A.0 B.-1 C.1 2 D.2 解析:选 C.依题意得,f′(x)=2x(x-t)+(x2-4)=3x2-2tx-4,所以 f′(-1)=3+2t-4 =0,即 t=1 2. 3.(2020·温州模拟)已知函数 f(x)=x2+2x 的图象在点 A(x1,f(x1))与点 B(x2,f(x2))(x1< x2<0)处的切线互相垂直,则 x2-x1 的最小值为( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2 解析:选 B.因为 x1<x2<0,f(x)=x2+2x, 所以 f′(x)=2x+2, 所以函数 f(x)在点 A,B 处的切线的斜率分别为 f′(x1),f′(x2), 因为函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直, 所以 f′(x1)f′(x2)=-1. 所以(2x1+2)(2x2+2)=-1, 所以 2x1+2<0,2x2+2>0, 所以 x2-x1=1 2[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥ -(2x1+2)(2x2+2)=1,当且仅当-(2x1+ 2)=2x2+2=1, 即 x1=-3 2 ,x2=-1 2 时等号成立. 所以 x2-x1 的最小值为 1.故选 B. 4.已知 f(x)=ax4+bcos x+7x-2.若 f′(2 018)=6,则 f′(-2 018)=( ) A.-6 B.-8 C.6 D.8 解析:选 D.因为 f′(x)=4ax3-bsin x+7. 所以 f′(-x)=4a(-x)3-bsin(-x)+7 =-4ax3+bsin x+7. 所以 f′(x)+f′(-x)=14. 又 f′(2 018)=6, 所以 f′(-2 018)=14-6=8,故选 D. 5.如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x =3 处的切线,令 g(x)=xf(x),其中 g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)= ( ) A.-1 B.0 C.2 D.4 解析:选 B.由题图可得曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于-1 3 ,即 f′(3)=-1 3.又因为 g(x)=xf(x),所以 g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知 f(3)=1,所以 g′(3)= 1+3× -1 3 =0. 6.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 距离的最小值为( ) A.1 B. 2 C. 2 2 D. 3 解析:选 B.因为定义域为(0,+∞),令 y′=2x-1 x =1,解得 x=1,则在 P(1,1)处的切 线方程为 x-y=0,所以两平行线间的距离为 d= 2 2 = 2. 7.已知 f(x)= ln x x2+1 ,g(x)=(1+sin x)2,若 F(x)=f(x)+g(x),则 F(x)的导函数为________. 解析:因为 f′(x)=(ln x)′(x2+1)-ln x(x2+1)′ (x2+1)2 = 1 x (x2+1)-2xln x (x2+1)2 =x2+1-2x2ln x x(x2+1)2 , g′(x)=2(1+sin x)(1+sin x)′=2cos x+sin 2x, 所以 F′(x)=f′(x)+g′(x)=x2+1-2x2ln x x(x2+1)2 +2cos x+sin 2x. 答案:x2+1-2x2ln x x(x2+1)2 +2cos x+sin 2x 8.(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线 y=1 4x2-3ln x 的一条切线的斜率为-1 2 ,则 切点的横坐标为________. 解析:设切点为(m,n)(m>0),y=1 4x2-3ln x 的导数为 y′=1 2x-3 x ,可得切线的斜率为 1 2m -3 m =-1 2 ,解方程可得,m=2. 答案:2 9.(2020·金华十校高考模拟)函数 f(x)的定义域为 R,f(-2)=2 018,若对任意的 x∈R, 都有 f′(x)<2x 成立,则不等式 f(x)<x2+2 014 的解集为________. 解析:构造函数 g(x)=f(x)-x2-2 014,则 g′(x)=f′(x)-2x<0,所以函数 g(x)在定义域 上为减函数,且 g(-2)=f(-2)-22-2 014=2 018-4-2 014=0,由 f(x)<x2+2 014 有 f(x) -x2-2 014<0,即 g(x)<0=g(-2),所以 x>-2,不等式 f(x)<x2+2 014 的解集为(-2, +∞). 答案:(-2,+∞) 10.如图,已知 y=f(x)是可导函数,直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=4 处的切线,令 g(x)= f(x) x ,则 g′(4)=________. 解析:g′(x)= f(x) x ′=xf′(x)-f(x) x2 . 由题图可知,直线 l 经过点 P(0,3)和 Q(4,5), 故 k1=5-3 4-0 =1 2. 由导数的几何意义可得 f′(4)=1 2 , 因为 Q(4,5)在曲线 y=f(x)上,故 f(4)=5. 故 g′(4)=4×f′(4)-f(4) 42 = 4×1 2 -5 42 =- 3 16. 答案:- 3 16 11.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-1 4x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. 因为 f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. 所以 f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. 所以切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)因为切线与直线 y=-1 4x+3 垂直, 所以切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则 f′(x0)=3x20+1=4,所以 x0=±1. 所以 x0=1, y0=-14 或 x0=-1, y0=-18, 即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14. 12.已知函数 f(x)=ax+b x(x≠0)在 x=2 处的切线方程为 3x-4y+4=0. (1)求 a,b 的值; (2)求证:曲线上任一点 P 处的切线 l 与直线 l1:y=x,直线 l2:x=0 围成的三角形的面 积为定值. 解:(1)由 f(x)=ax+b x ,得 f′(x)=a-b x2(x≠0). 由题意得 f′(2)=3 4 , 3×2-4f(2)+4=0. 即 a-b 4 =3 4 , 5-2 2a+b 2 =0. 解得 a=1,b=1. (2)证明:由(1)知 f(x)=x+1 x , 设曲线的切点为 P x0,x0+1 x0 ,f′(x0)=1-1 x20 , 曲线在 P 处的切线方程为 y- x0+1 x0 = 1-1 x20 (x-x0). 即 y= 1-1 x20 x+2 x0 .当 x=0 时,y=2 x0 . 即切线 l 与 l2:x=0 的交点坐标为 A 0,2 x0 . 由 y= 1-1 x20 x+2 x0 , y=x, 得 x=2x0, y=2x0, 即 l 与 l1:y=x 的交点坐标为 B(2x0,2x0). 又 l1 与 l2 的交点为 O(0,0),则所求的三角形的面积为 S=1 2 ·|2x0|·|2 x0|=2. 即切线 l 与 l1,l2 围成的三角形的面积为定值. [综合题组练] 1.若曲线 y=f(x)=ln x+ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数 a 的取值范围 是( ) A. -1 2 ,+∞ B.[-1 2 ,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) 解析:选 D.f′(x)=1 x +2ax=2ax2+1 x (x>0),根据题意有 f′(x)≥0(x>0)恒成立,所以 2ax2 +1≥0(x>0)恒成立,即 2a≥-1 x2(x>0)恒成立,所以 a≥0,故实数 a 的取值范围为[0,+∞).故 选 D. 2.(2020·金华十校联考)已知函数 y=x2 的图象在点(x0,x20)处的切线为 l,若 l 也与函数 y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则 x0 必满足( ) A.0<x0<1 2 B.1 2 <x0<1 C. 2 2 <x0< 2 D. 2<x0< 3 解析:选 D.令 f(x)=x2,f′(x)=2x,f(x0)=x20,所以直线 l 的方程为 y=2x0(x-x0)+x20= 2x0x-x20,因为 l 也与函数 y=ln x(x∈(0,1))的图象相切,令切点坐标为(x1,ln x1),y′=1 x , 所以 l 的方程为 y=1 x1 x+ln x1-1,这样有 2x0=1 x1 , 1-ln x1=x20, 所以 1+ln(2x0)=x20,x0∈(1,+∞), 令 g(x)=x2-ln(2x)-1,x∈(1,+∞),所以该函数的零点就是 x0,又因为 g′(x)=2x-1 x = 2x2-1 x ,所以 g(x)在(1,+∞)上单调递增,又 g(1)=-ln 2<0,g( 2)=1-ln 2 2<0,g( 3) =2-ln 2 3>0,从而 2<x0< 3,选 D. 3.(2020·宁波四中高三月考)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函 数 f′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″ (x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个函数在 0,π 2 上是凸函数的是________(把 你认为正确的序号都填上). ①f(x)=sin x+cos x; ②f(x)=ln x-2x; ③f(x)=-x3+2x-1; ④f(x)=xex. 解析:①中,f′(x)=cos x-sin x,f″(x)=-sin x-cos x=- 2sin x+π 4 <0 在区间 0,π 2 上恒成立;②中,f′(x)=1 x -2(x>0),f″(x)=-1 x2 <0 在区间 0,π 2 上恒成立;③ 中,f′(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x 在区间 0,π 2 上恒小于 0.④中,f′(x)=ex+xex,f″(x) =2ex+xex=ex(x+2)>0 在区间 0,π 2 上恒成立,故④中函数不是凸函数.故①②③为凸函 数. 答案:①②③ 4.(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数 f(x)=aex+x2,g(x)=cos (πx)+bx,直线 l 与曲线 y=f(x)切于点(0,f(0)),且与曲线 y=g(x)切于点(1,g(1)),则 a+b=________,直 线 l 的方程为________. 解析:f′(x)=aex+2x,g′(x)=-πsin (πx)+b, f(0)=a,g(1)=cos π+b=b-1, f′(0)=a,g′(1)=b, 由题意可得 f′(0)=g′(1),则 a=b, 又 f′(0)=b-1-a 1-0 =a, 即 a=b=-1,则 a+b=-2; 所以直线 l 的方程为 x+y+1=0. 答案:-2 x+y+1=0 5.设有抛物线 C:y=-x2+9 2x-4,过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象 限. (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解:(1)由题意得,y′=-2x+9 2.设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1,① y1=-x21+9 2x1-4,② -2x1+9 2 =k,③ 联立①②③得,x1=2,x2=-2(舍去).所以 k=1 2. (2)过 P 点作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5.④ 将④代入抛物线方程得,x2-13 2 x+9=0. 设 Q 点的坐标为(x2,y2),则 2x2=9, 所以 x2=9 2 ,y2=-4. 所以 Q 点的坐标为 9 2 ,-4 . 6.(2020·绍兴一中月考)已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12 和直线 m: y=kx+9,且 f′(-1)=0. (1)求 a 的值; (2)是否存在 k,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存在, 求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)由已知得 f′(x)=3ax2+6x-6a, 因为 f′(-1)=0, 所以 3a-6-6a=0,所以 a=-2. (2)存在.由已知得,直线 m 恒过定点(0,9),若直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,则设切 点为(x0,3x20+6x0+12). 因为 g′(x0)=6x0+6, 所以切线方程为 y-(3x20+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将(0,9)代入切线方程,解得 x0=±1. 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由(1)知 f(x)=-2x3+3x2+12x-11, ①由 f′(x)=0 得-6x2+6x+12=0, 解得 x=-1 或 x=2. 在 x=-1 处,y=f(x)的切线方程为 y=-18; 在 x=2 处,y=f(x)的切线方程为 y=9, 所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9. ②由 f′(x)=12 得-6x2+6x+12=12, 解得 x=0 或 x=1. 在 x=0 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; 在 x=1 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, 所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9. 综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.
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