2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二第一学期期末质量检测数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二第一学期期末质量检测数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二第一学期期末质量检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知，给出命题：“，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【答案】A ‎【解析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．‎ ‎【详解】‎ ‎“若x2+y2＝0，则x＝y＝0”，是真命题，‎ 其逆命题为：“若x＝y＝0，则x2+y2＝0”是真命题，‎ 据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题，‎ 故真命题的个数为3．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．‎ ‎2．已知物体的运动方程为(是时间，是位移)，则物体在时刻时的速度大小为( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，对s＝t2进行求导，然后令t＝1代入即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵S＝t2，‎ ‎∴s'＝2t 当t＝1时，v＝s'＝1‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，本题的关键是正确求出导数，对于基础题一定要细心．‎ ‎3．若过两点的直线的倾斜角为，则（ ）‎ A． B． C．3 D．-3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得y的值．‎ ‎【详解】‎ 经过两点的直线的斜率为k．‎ 又直线的倾斜角为45°，‎ ‎∴tan45°＝1，即y＝﹣3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．‎ ‎4．已知函数，则函数在处的切线方程 ( ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，由函数的解析式可得切点坐标，由直线的点斜式方程即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数f（x）＝xlnx，其导数f′（x）＝lnx+1，‎ 则切线的斜率k＝f′（1）＝ln1+1＝1，‎ 且f（1）＝ln1＝0，即切点的坐标为（1，0）；‎ 则切线的方程为y﹣0＝1（x﹣1），‎ 变形可得：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的导数计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．‎ ‎5．已知图中的网格是由边长为的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ ‎【详解】‎ 几何体的直观图如图：几何体的底面是底面边长为4，高为2的等腰三角形，几何体的高为2的三棱锥，‎ 几何体的体积为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，空间几何体的体积的求法，考查计算能力，考查空间想象力，属于基础题．‎ ‎6．已知抛物线C: 的焦点为F，点A是抛物线C上一点，若|AF|，则（ ）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出焦点坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得的值即可．‎ ‎【详解】‎ 该抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0）．P（，）是C上一点，且，‎ 根据抛物线定义可知+1，解得＝2，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．‎ ‎7．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导函数的函数值符号反映的是原函数的单调性可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据导函数图象可知：的导数大于零，单调递增，反之，单调递减，‎ 所以原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查函数的图象，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎8．分别过椭圆的左、右焦点、作的两条互相垂直的直线、若与的交点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A．(0,1) B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|＝c≥b，从而可求椭圆离心率e的取值范围 ‎【详解】‎ 由题意可知椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|＝c≥b，‎ 所以c2≥b2＝a2﹣c2，∴e∈．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎9．已知函数在处取得极值，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数在处取得极值，可得f′（）＝0，解出即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得f′（x）x，‎ ‎∵函数在处取得极值，‎ ‎∴f′（）＝＝0，‎ 解得a＝．‎ 经过验证满足题意．‎ ‎∴a＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为 ( )‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．‎ ‎【详解】‎ 连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A ‎∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角 而三角形D1AC为等边三角形 ‎∴∠D1AC＝60°‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎11．若动圆与圆外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令动圆圆心P的坐标为（x，y），C1（5，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得P（x，y）到C1（5，0）与直线x＝5的距离相等，由抛物线定义可求．‎ ‎【详解】‎ 设圆圆的圆心C1（5，0），动圆圆心P的（x，y），半径为r，‎ 作x＝，x＝3，PQ⊥直线x＝5，Q为垂足，因圆P与x＝3相切，故圆P到直线x＝的距离PQ＝r+2，又PC1＝r+2，‎ 因此P（x，y）到C1（5，0）与直线x＝的距离相等，P的轨迹为抛物线，焦点为C1（5，0），准线x＝，‎ 顶点为（0，0），‎ 开口向右，可得P＝10，方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是根据两圆相外切及直线与圆相切得性质得轨迹为抛物线．‎ ‎12．过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为,与另一条渐近线相交于点,若,则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，‎ ‎∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．‎ 故∠2+∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒．‎ ‎∴，e2＝4⇒e＝2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎14．直线与圆相交弦的长度为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．‎ ‎【详解】‎ ‎∵圆的圆心为（3，0），半径r＝3，‎ ‎∴圆心到直线的距离d，‎ ‎∴弦长|AB|＝2．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的方法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.‎ ‎15．设为抛物线的焦点，、、为该抛物线上的三点，若,则_______.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】由题意可得 焦点F（0，2），准线为 y＝﹣2，由条件可得F是三角形ABC的重心，可得 2， 由抛物线的定义可得 ．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得 p＝4，焦点F（0，2），准线为 y＝﹣2，由于 ，‎ 故F是三角形ABC的重心，设 A、B、C 的纵坐标分别为 y1，y2，y3，‎ ‎∴2，∴y1+y2+y3＝6．‎ 由抛物线的定义可得 （y1+2）+（y2+2）+（y3+2）＝12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y1+y2+y3＝6，是解题的关键．‎ ‎16．下列说法：‎ ‎（1）设是正实数，则是的充要条件；‎ ‎（2）对于实数，如果，则；‎ ‎（3）是直线与直线相互垂直的充分不必要条件；‎ ‎（4）等比数列的公比为，则且是对任意,都有的充分不必要条件；‎ 其中正确的命题有_______‎ ‎【答案】（3）（4）‎ ‎【解析】利用充要条件、不等式性质、两直线垂直的充要条件、等比数列为递增数列的条件，逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于（1）求得，所以是的充分不必要条件，所以错误 对于（2）不成立，所以错误 对于（3）直线与直线相互垂直，或，所以正确 对于（4）且可以推出对任意,都有，反之不成立，如数列 ‎，所以正确 故答案为：（3）（4）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假的判断，涉及到不等式性质、充要条件、等比数列的单调性等知识，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线 ， ‎ ‎（Ⅰ）若,求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时,求直线与之间的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由垂直可得a+3（a﹣2）＝0，解之即可；（Ⅱ）由平行可得a＝3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）＝0，‎ 解得；‎ ‎（Ⅱ）当l1∥l2时，有，‎ 解得a＝3，‎ 此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1＝0，x+y＝0即3x+3y＝0，‎ 故它们之间的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的一般式方程的平行和垂直关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．‎ ‎18．已知命题p:任意，恒成立；命题q:函数的值可以取遍所有正实数 ‎（Ⅰ）若命题p为真命题,求实数a的范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题为假命题, 为真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）变量分离，研究二次函数的最小值即可；（II）求出q是真命题时a的范围，利用复合命题的真假，列出不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）若p为真命题，在恒成立， ‎ ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题为假命题, 为真命题,，所以命题一真一假，‎ ‎①真假，解得；‎ ‎②假真，解得 综上所述的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎19．已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求在区间上的极大值与极小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）极大值，极小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，当时，‎ ‎，‎ ‎，的单调递减区间为；‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，在是增函数，在为减函数，在为增函数，‎ 极大值，极小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要会根据函数的增减性得到函数的极值，本题还涉及了利用导数研究函数的单调性等知识，考查运算求解能力．要求会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，属基础题．‎ ‎20．已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的点到点的最大距离为3，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点倾斜角为的直线与椭圆C交于、两点，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由点F（1，0）是椭圆的焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线MN的方程为，联立方程，利用韦达定理表示面积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，所以，‎ 所以椭圆的标准方程是； ‎ ‎（Ⅱ）由题意得，直线MN的方程为，‎ 联立得到，，,‎ ‎,，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆内三角形面积的求法，考查计算能力与转化能力，属于中档题.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，,点为线段的中点.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）4‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结BD，交AC于点O，连结OE．可得PB∥OE，再由线面平行的判定可得PB∥平面ACE；‎ ‎（Ⅱ）由PA＝AD，E为线段PD的中点，得AE⊥PD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由线面垂直的判定可得AE⊥平面PCD,从而得证；‎ ‎（Ⅲ）根据AE⊥平面PCD，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：连接,交于点,连接,‎ 因为是矩形对角线交点，所以为中点，‎ 又已知为线段的中点，所以,又平面 平面,所以平面； ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为平面，平面,‎ 所以,又因为底面是矩形，‎ 所以,,平面,平面.‎ 所以,为的中点, ,‎ 所以,,‎ 所以平面, . ‎ ‎（Ⅲ）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的性质定理、锥体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．‎ ‎22．设函数，若曲线在点 处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求证：在曲线上任意一点处的切线与直线和所围成的三角形面积为定值，并求出此定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 ‎【解析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，建立方程，可求得a＝1，b＝1，从而可得f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设为曲线f（x）上任一点，求出切线方程为，令x ‎＝0，可得，切线方程与直线y＝x联立，求得交点横坐标为x＝2x0，计算曲线f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意的，解得，； ‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上任一点，‎ 由知，曲线在点处的切线方程为，‎ 当得，令，得，‎ 所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎