数学卷·2018届四川省成都市树德中学高二上学期10月段考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届四川省成都市树德中学高二上学期10月段考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）10月段考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．直线x+3y+a=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．150° D．120°‎ ‎2．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎3．若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎4．如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（　　）‎ A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6‎ ‎5．若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．原点在圆C：x2+y2+2y+a﹣2=0外，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜2‎ ‎7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，0）∪（0，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）‎ ‎8．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）‎ A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1‎ ‎10．已知方程x2+﹣=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2）、B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．随θ值的变化而变化 ‎11．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（　　）‎ A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元 ‎12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．2+ D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为　　．‎ ‎14．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为　　．‎ ‎15．已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的取值范围是　　．‎ ‎16．设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：‎ ‎（1）l1∥l2‎ ‎（2）l1⊥l2．‎ ‎18．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，‎ ‎（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．‎ ‎19．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．‎ ‎（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；‎ ‎（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．‎ ‎20．设约束条件所确定的平面区域为D．‎ ‎（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．‎ ‎（2）设向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上， =m，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．‎ ‎21．已知圆M：x2+（y﹣1）2=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．‎ ‎（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；‎ ‎（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．‎ ‎22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若S△MON=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）10月段考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．直线x+3y+a=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．150° D．120°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．‎ ‎∴tanα=﹣，∴α=150°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．‎ ‎【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2‎ 两圆圆心距离：，说明两圆相交，‎ 因而公切线只有两条．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．若实数x，y满足不等式组：‎ ‎，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积和周长C即可．‎ ‎【解答】‎ 解：不等式组所表示的平面区域如图所示 解得A（2，3）、B（1，0）、C（0，1），‎ 所以S△ABC=2；‎ ‎（表示的平面区域的面积为：‎ 矩形的面积﹣三个三角形的面积 ‎=2×3﹣﹣2﹣=2．）‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（　　）‎ A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；‎ 本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．‎ ‎【解答】解：‎ 法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，‎ 与y=ax+2对照可得a=，b=6；‎ 法二：在y=ax+2上取点（0，2），‎ 则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；‎ 又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，‎ 由此可得a=，b=6‎ 答案：a=，b=6‎ ‎　‎ ‎5．若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的斜率；两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．‎ ‎【解答】解：联立两直线方程得：，‎ 将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，‎ 所以两直线的交点坐标为（，），‎ 因为两直线的交点在第一象限，所以得到，‎ 由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，‎ 设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．‎ 方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，‎ 设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，‎ 斜率kAP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，‎ 故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．原点在圆C：x2+y2+2y+a﹣2=0外，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据二次方程表示圆的条件，以及圆心到原点的距离大于半径，列出不等式组，综合可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵圆x2+y2+2y+a﹣2=0，即x2+（y+1）2=3﹣a，‎ ‎∴3﹣a＞0，即a＜3．‎ ‎∵原点（0，0）在圆x2+y2+2y+a﹣2=0的外部，∴a﹣2＞0，∴a＞2．‎ 综上可得，2＜a＜3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，0）∪（0，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）‎ ‎【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2‎ ‎：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：‎ ‎（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；‎ C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，‎ 由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），‎ 在平面直角坐标系中画出图象如图所示：‎ 直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．‎ 当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，‎ 化简得：m2=，解得m=±，‎ 而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，‎ 则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】设直线的方程为：y﹣1=k（x﹣1），（k≠‎ ‎0）．得出与坐标轴的交点，可得|（1﹣k）（1﹣）|=4，解出k的值即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：设直线的方程为：y﹣1=k（x﹣1），（k≠0）．‎ 令x=0，解得y=1﹣k；令y=0，解得x=1﹣．‎ ‎∴|（1﹣k）（1﹣）|=4，‎ 化为（k﹣1）2=±8k，即k2﹣10k+1=0，k2+8k+1=0，‎ 由于△＞0，可得两个方程共有4个不同的解．‎ 因此直线l共有4条．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）‎ A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．‎ 若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，‎ 若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，‎ 若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，‎ 综上a=﹣1或a=2，‎ 故选：D ‎　‎ ‎10．已知方程x2+﹣=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2）、B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．随θ值的变化而变化 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b和ab，然后根据点A和B的坐标求出直线AB的斜率，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，根据中点坐标和求出的斜率写出直线AB的方程，根据圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，化简后把表示出的a+b和ab代入即可求出值为1，与圆的半径相等，进而得到直线AB与圆的位置关系是相切．‎ ‎【解答】解：由a和b为方程x2+﹣=0的两个不等的实根，‎ 得到a+b=﹣，ab=﹣，‎ 又A（a，a2）、B（b，b2），‎ 得到直线AB的斜率k==a+b，线段AB的中点坐标为（，）‎ 所以直线lAB：y=（b+a）（x﹣）+．‎ 由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，‎ 则圆心到直线AB的距离d==‎ ‎===1=r．‎ 所以直线AB与圆的位置关系是相切．‎ 故选B ‎　‎ ‎11．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（　　）‎ A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．‎ ‎【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元 则根据题意可得，z=300x+400y 作出不等式组表示的平面区域，如图所示 作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，‎ 由可得x=y=4，‎ 此时z最大z=2800‎ ‎　‎ ‎12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．2+ D．2‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN﹣PM的最大值转化为PO2﹣PO1+1的最大值，再利用PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，即可求出对应的最大值．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），‎ 圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；‎ 要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，‎ 由图可得，PN最大值为PO2+，‎ PM的最小值为PO1﹣，‎ 故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，‎ 点P（t，t）在直线 y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），‎ 直线O2O1′与y=x的交点为原点O，‎ 则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，‎ 故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，‎ 即|PN|﹣|PM|的最大值为2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为　　．‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】设出点M的坐标，利用A，B的坐标，求得M的坐标，最后利用两点间的距离求得答案．‎ ‎【解答】解：M为AB的中点设为（x，y，z），‎ ‎∴x==2，y=，z==3，‎ ‎∴M（2，，3），‎ ‎∵C（0，1，0），‎ ‎∴MC==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】可看作点（x，y）与原点连线的斜率，所以问题转化为求圆上一点与原点连线中斜率最大值的问题．‎ ‎【解答】解：圆的圆心坐标（2，0）半径为，如图：‎ 设=k，则y=kx，‎ 所以k为过原点与圆x2+y2﹣4x+1=0上的点连线的斜率．‎ 由几何意义知，直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值或最小值，‎ 圆的半径为，圆心到原点的距离为2，‎ 所以k=tan60°=，‎ 所以的最大值是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的取值范围是　[1，]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M（x，y）到定点N（1，0）的距离，数形结合可得答案．‎ ‎【解答】解： =（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），‎ 则||=，‎ 设z=||=，‎ 则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，‎ 由约束条件作平面区域如图，‎ 由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z==，‎ 当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，‎ ‎1≤z≤，‎ 即的取值范围是[1，]，‎ 故答案为：[1，]．‎ ‎　‎ ‎16．设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是　[，2+]　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．‎ ‎【解答】解：依题意可知，若A∩B≠∅，则A≠∅，‎ 必有，解可得m≤0或m≥，‎ 此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，‎ ‎①m=0时，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，‎ 此时A∩B=∅，不合题意；‎ ‎②当m＜0时，有||＜﹣m或||＜﹣m；‎ 则有﹣m＞﹣m，或﹣m＞﹣m，‎ 又由m＜0，则（﹣1）m＜，可得A∩B=∅，不合题意；‎ ‎③当m≥时，有||≤m或||≤m，‎ 解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，‎ 又由m≥，则m的范围是[，2+]；‎ 综合可得m的范围是[，2+]；‎ 故答案为[，2+]．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：‎ ‎（1）l1∥l2‎ ‎（2）l1⊥l2．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】（1）根据两直线平行关系，得，即可求出a的值．‎ ‎（2）根据两直线垂直的关系，即（a﹣1）+2a=0，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，，∴a=﹣1；‎ ‎（2）∵（a﹣1）+2a=0，∴a=．‎ ‎　‎ ‎18．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，‎ ‎（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】（1）直线方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，根据点A（5，0）到l的距离为3，建立方程解出 λ值，即得直线方程．‎ ‎（2）先求出交点P的坐标，当l⊥‎ PA时，点A（5，0）到l的距离的最大值，故最大值为|PA|．‎ ‎【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，‎ ‎∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．‎ 即 2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．‎ ‎（2）由解得，交点P（2，1），如图，‎ 过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|‎ ‎（当l⊥PA时等号成立）．‎ ‎∴dmax=|PA|=．‎ ‎　‎ ‎19．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．‎ ‎（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；‎ ‎（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，进而得到b的取值范围；‎ ‎（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．‎ ‎【解答】解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，‎ 则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，‎ 即b2﹣4＜0，‎ 解得：﹣2＜b＜2；‎ ‎（2）当b=1时，l必过（0，1）点，‎ 当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，‎ 由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，‎ 故|AB|的最大值为2，‎ 当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．‎ 此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，‎ ‎|AB|=2=2，‎ 故|AB|的最小值为2．‎ ‎　‎ ‎20．设约束条件所确定的平面区域为D．‎ ‎（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．‎ ‎（2）设向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上， =m，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，得它的形状是由等腰Rt△OCF，减去等腰Rt△OAB和等腰Rt△DEF而得的一个五边形．根据题意算出三个等腰直角形的面积，得到该平面区域的面积S=f（t）是关于t的二次函数．‎ ‎（2）利用已知条件的向量关系，求出m+3n与x、y的关系式，然后利用可行域求出最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，如右图阴影部分 则S△OAB|OA|•|AB|=t2，S△DEF=|DE|•|EF|=（1﹣t）2，‎ ‎∴五边形ABCDE面积S=S△OCF﹣S△OAB﹣S△DEF ‎=×2×1﹣t2﹣（1﹣t）2=﹣t2+t+‎ 即f（t）=﹣t2+t+，其中0＜t＜1‎ ‎（2）向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上， =m，‎ 可得（x，y）=m（1，﹣1）+n（2，﹣1），可得，令z=m+3n，‎ ‎∴z=m+3n=2x+y，‎ m+3n的最大值就是2x+y的最大值，由（1）可知可行域D（，）点，并且直线2x+y=z经过（，）点时取得最大值：，‎ ‎　‎ ‎21．已知圆M：x2+（y﹣1）2=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．‎ ‎（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；‎ ‎（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）设出直线方程，利用直线与圆相切，列出方程求解即可．‎ ‎（2）设AB与MQ交于P，求出|MP|．在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，设Q（x，0），求出Q的坐标，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，‎ ‎∴=1，∴m=或0，‎ ‎∴QA，QB的方程分别为3x+4y﹣3=0和x=1．‎ ‎（2）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|=．‎ 在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，即1=|MQ|，‎ ‎∴|MQ|=3，∴x2+（y﹣2）2=9．‎ 设Q（x，0），则x2+22=9，∴x=±，∴Q（±，0），‎ ‎∴MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．‎ ‎　‎ ‎22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若S△MON=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．‎ ‎【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可．‎ ‎（2）设出M，N的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达定理，结合已知条件，转化为向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，‎ 所以＜1．解得＜k＜．‎ 所以k的取值范围为：（，）．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，‎ 整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．所以x1+x2=，x1x2=，‎ ‎=x1x2+y1y2=（1+k）2（x1x2）+k（x1+x2）+1=．‎ 由题设可得S△MON=6tan∠MON，可得=12．‎ 即=12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．‎ 故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．‎ ‎　‎ ‎2017年1月17日