2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的线段试题 （新版）青岛版

2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的线段试题 （新版）青岛版

与圆有关的线段 在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。求圆中线段的长是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。因此，这部分内容在中考中占举足轻重的地位。‎ 垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。‎ ‎（1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。‎ 符号语言：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴PC=PD，=，=。‎ ‎（2）圆心角、弧、弦之间的关系：‎ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。‎ ‎（3）勾股定理：‎ 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 例题1 （温州市中考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB。延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC、CE。‎ ‎（1）求证：∠B=∠D；‎ ‎（2）若AB=4，BC－AC=2，求CE的长。‎ 9‎ 解析：要求CE长，可通过证明CE=AB，转化为求AB长，结合∠E=∠B及等腰三角形的性质、勾股定理，可解决问题。‎ 答案：解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D。‎ ‎（2）设BC=x，则AC=x－2。在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x－2）2+x2=4，‎ 解得（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，‎ ‎∵CD=CB∴CE=CB=1+。‎ 点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是正确理解和应用有关定理。与圆周角有关的问题，需要灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。‎ 例题2 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC 于D．若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．‎ 解析：根据垂径定理可以知道线段EB的长，设出圆的半径，然后用半径表示出OE，这样就可以在Rt直角三角形OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径． ‎ 解：因为，OD⊥BC， 所以，BE＝CE=BC=4． 设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．解得R＝5，∴⊙O的半径为5． ‎ 点拨：在求圆的半径时，关键是利用垂径定理构造直角三角形，然后设半径根据勾股定理列出方程，解得答案．‎ 如何解决圆中的线段问题 9‎ 圆中的线段包括：半径、直径、弦、切线。求这些线段长是这部分的主要题型，综合利用圆中性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。在解题的过程中，你能否掌握其中的技巧吗？‎ 满分训练 （湛江中考）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC。‎ ‎（1）求证：PA为⊙O的切线；‎ ‎（2）若OB=5，OP=，求AC的长。‎ 解析：（1）设法证出∠OAP=90°即可；（2）利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC的长。‎ 答案：解：（1）设AC与OP相交于点H。∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B．∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAB=90°，∴PA为⊙O的切线。‎ ‎（2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH，在直角三角形PAO中，‎ AP=‎ 由面积法可知：，所以AC=8。‎ 点拨：本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算，掌握圆的切线的证法以及圆中基本的计算方式是解题的关键。求线段的长度有以下常用的方法：‎ ‎（1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；‎ ‎（2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；‎ ‎（3）面积法，适用于有直角三角形中有高的存在的图形。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ ‎1. 如图，内接于⊙O，，，则⊙O的半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）‎ 9‎ A. 6， B. ，‎3 ‎‎ C. 6，3 D. ，‎ ‎3. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O于D，又DC＝‎2厘米，OC＝‎3厘米，则圆心O到AB的距离为（ ）‎ A. 厘米 B. 厘米 C. 2厘米 D. 3厘米 ‎5. 如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（ ）‎ A. B. ‎8 ‎‎ C. D. ‎ ‎6. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 6‎ ‎7. 如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=‎6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）‎ A. cm B. cm C. cm D. ‎‎4cm ‎ ‎ ‎8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。‎ 9‎ ‎9. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC。‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r。‎ ‎10. 如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB。‎ ‎（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线。‎ ‎11. 如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形。‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由。‎ ‎12. 如图，△ABC内接于⊙O，60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC。‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若，求⊙O的直径。‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ ‎1. B 解析：过点B作圆的直径BD，交圆于点D，连接AD，‎ 根据圆周角定理，得：∠C=∠D=30°，∠DAB=90°，所以在Rt△ADB 中，因为，∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2。‎ ‎2. B 解析：画图如下，由正方形的性质，垂径定理可得OE=AE=3，OA=。故选B。‎ ‎3. D 解析：连接OC，如图，设OC的长为r，∵AB＝12，BP︰AP=1︰5，∴AP＝10，∴OP＝4。由垂径定理可得△OPC是直角三角形，并且CD＝2CP。在Rt△OCP中，由勾股定理CP＝，∴CD＝，故选D。‎ ‎4. B 解析：延长DO交⊙O于E，过点O作OF⊥AB于F，则CE＝8厘米。由相交弦定理，得DC·CE＝AC·CB，所以AC·‎2 AC＝2×8，故AC＝2（厘米），从而BC＝4厘米。‎ 由垂径定理，得AF＝FB＝（2＋4）＝3（厘米）．所以CF＝3－2＝（厘米）。在Rt△COF中，OF＝＝＝（厘米）。‎ ‎5. D 解析：连接BE，‎ 9‎ ‎∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，‎ 设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，‎ ‎∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE= =6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE= 。‎ ‎6. C 解析：因为AB是直径，因此∠C是直角，∴BC==8，∵OD⊥BC，根据垂径定理，BD等于BC的一半，所以BD=4。故选C。‎ ‎7. A 解析：连接BC、BD、OD，‎ 则OD、BC交于E。由于AD平分∠BAC，所以，所以OD⊥BC，又半圆O的直径AB＝‎10cm，弦AC＝‎6cm，所以BC＝‎8cm，所以BE＝4，又OB＝‎5cm，所以OE＝‎3cm，所以ED＝5－3＝2（cm），在Rt△BED中，BD＝＝cm，又∠ADB＝90°，所以AD＝＝‎4cm。故选A。‎ ‎8. 6 解析：因为BD为⊙O的直径，根据圆周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90°。‎ 又因为，∠BAC=120°，AB=AC，所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°。在Rt直角三角形ABD 中，有：cos30°=，又AD=6，所以，BD=4， ‎ 连接DC，则∠BCD=90°，在Rt直角三角形BCD 中，∠DBC=30°，BD=4，‎ 得：cos30°=，BC=4×=6．‎ ‎9. 解析：（1）连接OA、OD，‎ 则OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+‎ 9‎ ‎∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC=90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90°，∴AC是⊙O的切线。‎ ‎（2）BF=8，DF=，∴OF=8－r，∴在直角三角形OFD中，r2+（8－r）2=，解得，r=2。‎ ‎10. 解析：（1）连接OB，‎ ‎∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB=60°，又∵OC=OB，∴△OBC是正三角形，∴BC=OC=2。‎ ‎（2）证明：∵BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是正三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，‎ ‎∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线。‎ ‎11. 解析：（1）连接BD，‎ 则∠DBE=90°．∵四边形BCOE是平行四边形，‎ ‎∴BC∥OE，BC=OE=1。在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1。∴AD=2。‎ ‎（2）连接OB，由（1）得BC∥OD，且BC=OD，∴四边形BCDO是平行四边形。‎ 又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD。∴四边形BCDO是矩形。∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线。‎ ‎12. 解析：（1）证明：连接OA，‎ ‎∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线。‎ ‎（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，‎ ‎∵PD=，∴2OA=2PD=2。∴⊙O的直径为2。‎ 9‎