2013-2017高考数学分类汇编-文科 第六章 数列 第2节 数列的通项公式与求和

2013-2017高考数学分类汇编-文科 第六章 数列 第2节 数列的通项公式与求和

第2节 数列的通项公式与求和 题型74 数列通项公式的求解 ‎1. (2013安徽文19）设数列满足，且对任意，函数满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎1. 分析 （1）求导，代入，并对所得式子进行变形，从而证明数列是等差数列，‎ 再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将代入化简，利用分组求和法，结合等差、等 比数列的前项和公式计算.‎ 解析 （1）由题设可得.‎ 对任意，，即，故为等差数列.由，，可得数列的公差，所以.‎ ‎（2）由知，‎ ‎.‎ ‎2.（2013广东文19）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，,且构成等比数列．‎ ‎(1) 证明：；‎ ‎(2) 求数列的通项公式；‎ ‎(3) 证明：对一切正整数，有 ‎2.分析 （1）把代入递推式，可以得到和的关系式，变形可 得.（2）鉴于递推式含有的特点，常用公式 进行化异为同，得到和的递推式，构造等差数列，进而求出 数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列的前项和，因此要求和、‎ 化简，因为是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结 论.‎ 解析 （1）证明：由，得，即，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为 ①‎ 所以当时， ②‎ 由①-②得，‎ 即.‎ 因为，所以，即.‎ 因为成等比数列，所以，即，解得.‎ 又由（1）知，所以，所以.‎ 综上知，所以数列是首项为，公差为的等差数列.‎ 所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（3）证明：由（2）知，‎ 所以 ‎.‎ ‎3. （2013江西文16）正项数列满足：.‎ ‎(1) 求数列的通项公式； ‎ ‎(2) 令，数列的前项和为．‎ ‎3.分析 （1）根据已知的和的关系式进行因式分解，通过得到数列的通项公式；‎ ‎（2）把数列的通项公式代入的表达式，利用裂项法求出数列的前项和.‎ ‎ 解析 （1）由，得.由于是正项数列，所以.‎ ‎（2）由，则，‎ ‎.‎ 4. ‎(2013重庆文16）设数列满足：.‎ ‎（1）求的通项公式及前项和；‎ ‎（2）已知是等差数列，为其前项和，且，求.‎ ‎4.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前项和公式直接运算求解.‎ 解析 （1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，所以 ‎.‎ ‎（2），所以公差，‎ 故.‎ ‎5. (2013湖南文19）设为数列的前项和，已知，2，.‎ ‎（1）求，，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和. ‎ ‎5.分析 根据消去得到关于的关系式，求其通项；利用错位相 减法求前项和.‎ 解析 （1）令，得，即.因为，所以.‎ 令，得，解得.当时，由，即.于是数列是首项为.公比为的等比数列.因此，.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，.记数列的前项和为，‎ 于是，  ‎ . ‚ ‎，得.‎ 从而.‎ ‎6.（2014陕西文4）根据如图所示框图，对大于的整数，输出的数列的通项公式是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7.（2014新课标Ⅱ文16）数列满足，，则 ‎ .‎ ‎8.（2014江西文17）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列的前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：对任意，都有，使得成等比数列.‎ ‎9.（2014大纲文17）（本小题满分10分）‎ 数列满足.‎ ‎（1）设，证明是等差数列；‎ ‎（2）求的通项公式.‎ ‎10.（2014广东文19）（本小题满分14分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足.‎ (1) 求的值；‎ (2) 求数列的通项公式；‎ (3) 求证：对一切正整数，有.‎ ‎11.（2014湖南文16）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎12.（2015陕西文16）观察下列等式：‎ ‎……‎ 据此规律，第个等式可为______________________.‎ ‎12.解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为，分母是到的连续正整数，等式的右边是.‎ 故答案为.‎ ‎13.（2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列前项的和为 ．‎ ‎13.解析 解法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐．‎ 解法二：由题意得，，…，‎ 故累加得，从而，‎ 当时，满足通项．故，‎ 则有．‎ ‎14.（2015安徽理18）已知数列是递增的等比数列，且，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设为数列的前项和，，求数列的前项和.‎ ‎14.解析 （1）因为是等比数列，且，所以.‎ 联立，又为递增的等比数列，即.‎ 解得或（舍），可得，得.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故.‎ ‎15.（2015北京文16）已知等差数列满足，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列满足，；问：与数列的第几项相等？‎ ‎15.解析（1）依题意，设等差数列的公差为，‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ 得，.‎ 数列的通项公式为.‎ ‎（2）等比数列中，，设等比数列的公比为，‎ ‎.，得，‎ 则与数列的第项相等.‎ ‎16.（2015福建文17）在等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎16.分析（1）利用基本量法可求得，，进而求的通项公式；（2）求数列前项和，‎ 首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，‎ 故可采取分组求和法求其前项和．‎ 解析 （1）设等差数列的公差为．‎ 由已知得，解得．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以 ‎.‎ ‎17.（2015广东文19）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：为等比数列；‎ ‎（3）求数列的通项公式．‎ ‎17.解析（1）当时，，‎ 即，解得.‎ ‎（2）因为（），‎ 所以（），‎ 即（），亦即，‎ 则.‎ 当时，，满足上式.‎ 故数列是以为首项，公比为的等比数列.‎ ‎（3）由（2）可得，即，‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，即，‎ 所以数列的通项公式是.‎ ‎18.（2015湖北文19）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，.‎ ‎(1)求数列，的通项公式;‎ ‎(2)当时，记，求数列的前项和.‎ ‎18.解析 (1)由题意有，，即.‎ 解得，或.故或.‎ ‎(2)由，知，，故，‎ 于是， ①‎ ‎. ②‎ 式①式②可得.故. ‎ ‎19.（2015山东文19）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项 和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19.解析（1）设数列的公差为，‎ 令，得，即. ‎ 令，得，即.‎ 联立，解得，.所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 得到，‎ 从而，‎ 得 ‎，‎ 所以.‎ ‎19.（2015四川文16）设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求. ‎ ‎19.解析（1）由已知，可得，‎ 即.则，.‎ 又因为，，成等差数列，即.‎ 所以，解得.‎ 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）由（1）可得，所以.‎ ‎20.（2015天津文18）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设,求数列的前项和.‎ ‎20.分析（1）列出关于与的方程组，通过解方程组求出，即可确定通项；（2）用错位相减法求和.‎ 解析 （1）设的公比为，的公差为，由题意，由已知，有，‎ 消去得，解得，所以的通项公式为，‎ 的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）有，设的前项和为，‎ 则，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 所以.‎ ‎21.（2015浙江文17）已知数列和满足，‎ ‎.‎ ‎(1)求与;‎ ‎(2)记数列的前项和为，求.‎ ‎21.解析 (1)由题意知是等比数列，，，所以.‎ 当时，，所以，‎ 所以，所以，又，所以.‎ ‎（或采用累乘法）‎ ‎(2)，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎22.（2015重庆文16）已知等差数列满足，前3项和.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列满足，，求前项和. ‎ ‎22.解析（1）设的公差为，则由已知条件得，，‎ 化简得，，解得，，‎ 故通项公式，．‎ ‎（2）由（1）得，.‎ 设的公比为，则，从而，‎ 故的前项和.‎ ‎23.（2016浙江文17）设数列的前项和为.已知，，.‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎23.解析 （1）由题意得，则.‎ 因为，，‎ 所以，得.‎ 又知，所以数列的通项公式为，.‎ ‎（2）对于，，，当时，有.‎ 设，，，，当时，有.‎ 设数列的前项和为，则，.‎ 当时，，时也满足此式，‎ 所以.‎ ‎24.（2017全国3文17）设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎24.解析 （1）令 ，则有 ，即.‎ 当时， ①‎ ‎ ②‎ 得，即，得.‎ 当时，也符合，所以.‎ ‎（2）令，‎ ‎ 所以 ‎.‎ 评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法.‎ ‎25.（2017山东文19）已知是各项均为正数的等比数列，且，. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.‎ ‎25.解析 （1）设数列的公比为，由题意知，，.‎ 又，解得，，所以.‎ ‎（2）由题意知，.‎ 又，，所以.‎ 令，则，‎ 因此，‎ 又，‎ 两式相减得，所以.‎ 题型75 数列的求和 ‎1.（2015湖南文5）执行如图所示的程序框图，如果输入，‎ 则输出的（ ）. ‎ A. B. C. D.‎ ‎1.解析 由题意，输出的为数列的前项和，‎ 即.故选B.‎ ‎2.（2015安徽理18）已知数列是递增的等比数列，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，，求数列的前项和.‎ ‎2.解析 （1）因为是等比数列，且，所以.‎ 联立，又为递增的等比数列，即.‎ 解得或（舍），可得，得.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故.‎ ‎3. （2014安徽文18）（本小题满分12分）‎ 数列满足，，.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎3. 解析 （I）由已知可得，即.所以是以为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎（II）由（I）得，所以.从而.‎ ‎，①‎ ‎.②‎ 得.‎ 所以.‎ 评注 本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前项和，解题时利用题（I）提示对递推关系进行变形是关键.‎ ‎4.（2015福建文17）在等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎4.分析（1）利用基本量法可求得，，进而求的通项公式；（2）求数列前项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，‎ 故可采取分组求和法求其前项和．‎ 解析 （1）设等差数列的公差为．‎ 由已知得，解得．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以 ‎.‎ ‎5.（2015湖北文19）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，.‎ ‎(1)求数列，的通项公式 ‎(2)当时，记，求数列的前项和.‎ ‎5.解析 (1)由题意有，，即.‎ 解得，或.故或.‎ ‎(2)由，知，，‎ 故，于是，①‎ ‎. ②‎ 式①式②可得.故. ‎ ‎6.（2015湖南文19）设数列的前项和为，已知，，‎ 且.‎ ‎（1）证明：；（2）求.‎ ‎6.解析（1）由条件，对任意，有，‎ 因而对任意，有，‎ 两式相减，得，即，‎ 又，所以，‎ 故对一切，.‎ ‎（2）由（1）知，，所以，于是数列是首项，公比为的等 比数列，数列是首项，公比为的等比数列，所以，（于是 ‎，‎ 从而，‎ 综上所述，.‎ ‎7.（2015山东文19）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎7.解析（1）设数列的公差为，‎ 令，得，即 ‎ 令，得，即 ‎ 联立，解得，.所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 得到，‎ 从而，‎ 得 ‎，‎ 所以.‎ ‎8.（2015四川文16）设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求. ‎ ‎8.解析（1）由已知，可得，‎ 即.则，.‎ 又因为，，成等差数列，即.‎ 所以，解得.‎ 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）由（1）可得，所以.‎ ‎9.（2015天津文18）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，‎ ‎，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设,求数列的前项和.‎ ‎9.分析（1）列出关于与的方程组，通过解方程组求出，即可确定通项；（2）用错位相减法求和.‎ 解析（1）设的公比为，的公差为，由题意，由已知，有，‎ 消去得，解得，所以的通项公式为，‎ 的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）有，设的前项和为，‎ 则，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 所以.‎ ‎10.（2015浙江文17）已知数列和满足，‎ ‎.‎ ‎(1)求与;‎ ‎(2)记数列的前项和为，求.‎ ‎10.解析 (1)由题意知是等比数列，，，所以.‎ 当时，，所以，‎ 所以，所以.‎ 又，所以（或采用累乘法）.‎ ‎(2)，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎11.（2015重庆文16）已知等差数列满足，前3项和.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列满足，，求前项和. ‎ ‎11.解析 （1）设的公差为，则由已知条件得，，‎ 化简得，，解得，，‎ 故通项公式，．‎ ‎（2）由（1）得，.‎ 设的公比为，则，从而，‎ 故的前项和.‎ ‎12.（2016北京文15）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列的前项和.‎ ‎12.解析 （1）等比数列的公比，所以，.‎ 设等差数列的公差为.因为，，‎ 所以，即.所以.‎ ‎（2）由（1）知，，.因此.‎ 从而数列的前项和 ‎.‎ ‎13.（2016山东文19）已知数列的前项和，是等差数列，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令.求数列的前n项和.‎ ‎13.解析 （1）由题意当时，，‎ 当时，，所以.‎ 设数列的公差为，由，‎ 即，解得，所以.‎ ‎（2）由（1）知，又，‎ 即，‎ 所以，‎ 以上两式两边相减得.‎ 所以.‎ ‎14.（2016浙江文17）设数列的前项和为.已知，，.‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎14.解析 （1）由题意得：，则.‎ 因为，，‎ 所以，得.‎ 又知，所以数列的通项公式为，.‎ ‎（2）对于，，，当时，有.‎ 设，，，，当时，有.‎ 设数列的前项和为，则，.‎ 当时，，时也满足此式，‎ 所以.‎ ‎15.（2017全国3文17）设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎15.解析 （1）令 ，则有 ，即.‎ 当时， ①‎ ‎ ②‎ 得，即，得.‎ 当时，也符合，所以.‎ ‎（2）令，‎ ‎ 所以 ‎.‎ 评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法.‎ ‎16.（2017山东文19）已知是各项均为正数的等比数列，且，. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.‎ ‎16.解析 （1）设数列的公比为，由题意知，，.‎ 又，解得，，所以.‎ ‎（2）由题意知，.‎ 又，，所以.‎ 令，则，‎ 因此，‎ 又，‎ 两式相减得，所以.‎