2020年山东省高考数学卷真题试卷(含答案)

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2020年山东省高考数学卷真题试卷(含答案)

2020 年山东省高考数学卷真题试卷(含答案) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.设集合 A={x|1≤x≤3},B={x|2n>0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上 B.若 m=n>0,则 C 是圆,其半径为 n C.若 mn<0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 myxn   D.若 m=0,n>0,则 C 是两条直线 10.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像,则 sin(ωx+φ)= A. πsin ( 3x  ) B. πsin( 2 )3 x C. πcos( 2 6x  ) D. 5 πc os( 2 )6 x 11.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则 A. 221 2ab B. 12 2 ab  C. 22loglog2ab D. 2ab 12 . 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 . 设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2 , , n ,且 1 ()0(1,2,,),1 n ii i PXipinp    ,定义 X 的信息熵 2 1 ()log n ii i HXpp   . A.若 n=1,则 H(X)=0 B.若 n=2,则 H(X)随着 1p 的增大而增大 C.若 1 (1,2,,)ipin n ,则 H(X)随着 n 的增大而增大 D.若 n=2m,随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2,, m ,且 21()(1,2,,) jmjP Yjppjm  ,则 H(X)≤H(Y) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=4x 的焦点,且与 C 交于 A,B 两点,则 AB =________. 14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前 n 项和为________. 15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 心,A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点,B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点,四边形 DEFG 为矩形,BC⊥DG, 垂足为 C,tan∠ODC= 3 5 , BH DG∥ ,EF=12 cm,DE=2 cm,A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm, 圆孔半径为 1 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2. 16.已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2,∠BAD=60°.以 1D 为球心, 5 为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为________. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 在① 3ac  ,② sin 3cA ,③ 3cb 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角 形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在 ABC△ ,它的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc,且 s i n 3s i nAB , 6C  ,________? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(12 分) 已知公比大于 1 的等比数列{}na 满足 2 4 320, 8a a a   . (1)求 的通项公式; (2)记 mb 为 在区间 *(0,]()mmN 中的项的个数,求数列 {}mb 的前 100 项和 100S . 19.(12 分) 为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的 PM 2.5 和 2SO 浓度(单位: 3μg /m ),得下表: [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75 ,且 2SO 浓度不超过 150 ”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的 22 列联表: [0 ,150] (150 ,475 ] [0 ,75 ] (75,115] (3)根据(2)中的列联表,判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关? 附: 2 2 () ()()()() nadbcK abcdacbd   , 2()P K k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20.(12分) 如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 21.(12分) 已知函数 1()elnln xfxaxa  . (1)当 ea  时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)≥1,求a的取值范围. 22.(12分) 已知椭圆C: 22 221( 0)xy abab    的离心率为 2 2 ,且过点A(2,1). (1)求C的方程: (2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 参考答案 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 二、选择题 9.ACD 10.BC 11.ABD 12.AC 三、填空题 13. 16 3 14. 232nn 15. 5 42   16. 2 2  四、解答题 17.解: 方案一:选条件①. 由 6C  和余弦定理得 222 3 22 abc ab  . 由sin3sinAB 及正弦定理得 3ab . 于是 222 2 33 223 bbc b  ,由此可得 bc . 由① 3ac  ,解得 3,1abc . 因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时 1c  . 方案二:选条件②. 由 和余弦定理得 . 由 及正弦定理得 . 于是 ,由此可得 , 6BC, 2 3A  . 由② sin3cA ,所以 2 3, 6c b a   . 因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时 23c  . 方案三:选条件③. 由 6C  和余弦定理得 222 3 22 abc ab   . 由 s i n 3s i nAB 及正弦定理得 3ab . 于是 222 2 33 223 bbc b   ,由此可得 bc . 由③ 3cb ,与 bc 矛盾. 因此,选条件③时问题中的三角形不存在. 18.解: (1)设 {}na 的公比为 q .由题设得 3 11 20a q a q, 2 1 8aq  . 解得 1 2q  (舍去), 2q  .由题设得 1 2a  . 所以 {}na 的通项公式为 2 n na  . (2)由题设及(1)知 1 0b  ,且当 122nnm  时, mbn . 所以 10012345673233636465100() ()() ()Sbb bb b b bbbbbbb       23450 1 22 23 24 25 26 (10063)        480 . 19.解: (1)根据抽查数据,该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75,且 2SO 浓度不超过 150 的天数为 32186864 ,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75,且 浓度不超过 150 的概率的估计值 为 64 0.64100  . (2)根据抽查数据,可得 22 列联表: 2SO PM 2.5 [0,150] (150,475] [0,75] 64 16 (75,115] 10 10 (3)根据(2)的列联表得 2 2 100 (64 10 16 10) 7.48480 20 74 26K       . 由于 7.484 6.635 ,故有99% 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关. 20.解: (1)因为 PD  底面 A B CD ,所以 P D A D . 又底面 为正方形,所以 AD D C ,因此 AD  底面 PDC . 因为 AD BC∥ , AD  平面 PBC ,所以 AD ∥ 平面 . 由已知得 l AD∥ .因此 l  平面 PDC . (2)以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D x y z . 则 (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)DCBP , ( 0 , 1,0 )DC  , (1, 1, 1)PB . 由(1)可设 ( ,0 ,1)Qa ,则 ( ,0 , 1)D Q a . 设 (,,)xyzn 是平面 QCD 的法向量,则 0, 0, DQ DC    n n 即 0, 0. axz y    可取 ( 1,0, )an . 所以 2 1cos, || || 31 PBaPB PB a     nn n . 设 PB 与平面 所成角为  ,则 22 3 | 1| 3 2sin 13 3 11 aa aa       . 因为 2 3 2 613 1 3 a a ,当且仅当 1a  时等号成立,所以 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 为 6 3 . 21.解: ()fx的定义域为 (0, ) , 1 1( ) exf x a x  . (1)当 ea  时, ( )eln1xfxx  , (1) e 1f  , 曲线 ()yfx 在点 (1,(1))f 处的切线方程为 (e1)(e1)(1)yx ,即 (e1)2yx . 直线 在 x 轴, y 轴上的截距分别为 2 e1   , 2 . 因此所求三角形的面积为 2 e1 . (2)当 01a时, (1)ln1faa  . 当 1a  时, 1( ) e l n xf x x , 1 1( ) exfx x  . 当 (0,1)x 时, ( ) 0fx  ;当 (1, )x  时, ( ) 0fx  . 所以当 1x  时, ()fx取得最小值,最小值为 (1) 1f  ,从而 ( ) 1fx . 当 1a  时, 11()elnlneln1xxfxaxax  . 综上, a 的取值范围是[1, ) . 22.解: (1)由题设得 22 411ab, 22 2 1 2 ab a   ,解得 2 6a  , 2 3b  . 所以 C 的方程为 22 163 xy. (2)设 11( , )M x y , 22( , )N x y . 若直线 MN 与 x 轴不垂直,设直线 MN 的方程为 ykxm, 代入 得 222(12)4260kxkmxm . 于是 2 1 2 1 222 4 2 6,1 2 1 2 km mx x x xkk     .① 由 AM AN 知 0AMAN,故 1212(2)(2)(1)(1)0xxyy , 可得 22 1 212(1)(2)()(1)40kx xkmkxxm . 将①代入上式可得 2 22 22 264(1)(2)(1)401212 mkmkkmkm kk  . 整理得 (231)(21)0kmkm . 因为 (2 ,1 )A 不在直线 MN 上,所以 2 1 0km   ,故 2 3 1 0km   , 1k  . 于是 MN 的方程为 21()(1)33yk xk . 所以直线 MN 过点 21( , )33P  . 若直线 MN 与 x 轴垂直,可得 11( , )N x y . 由 0AM AN得 1 1 1 1( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y       . 又 22 11163 xy,可得 2 113 8 4 0xx   .解得 1 2x  (舍去), 1 2 3x  . 此时直线 MN 过点 21( , )33P  . 令 Q 为 AP 的中点,即 41( , )33Q . 若 D 与 P 不重合,则由题设知 AP 是 Rt ADP△ 的斜边,故 122|||| 23DQAP. 若 D 与 P 重合,则 1| | | | 2D Q A P . 综上,存在点 41( , )33Q ,使得 ||DQ 为定值.
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