2020年山东省高考数学卷真题试卷（含答案）
2020 年山东省高考数学卷真题试卷（含答案）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2
n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 n
C．若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 myxn
D．若 m=0，n>0，则 C 是两条直线
10．下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)=
A． πsin ( 3x ） B． πsin( 2 )3 x C． πcos( 2 6x ） D． 5 πc os( 2 )6 x
11．已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则
A． 221
2ab B． 12 2
ab
C． 22loglog2ab D． 2ab
12 ． 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 . 设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2 , , n ，且
1
()0(1,2,,),1
n
ii
i
PXipinp
，定义 X 的信息熵 2
1
()log
n
ii
i
HXpp
.
A．若 n=1，则 H(X)=0
B．若 n=2，则 H(X)随着 1p 的增大而增大
C．若 1 (1,2,,)ipin n ，则 H(X)随着 n 的增大而增大
D．若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2,, m ，且 21()(1,2,,) jmjP Yjppjm ，则
H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．斜率为 3 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB =________．
14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________．
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆
心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，
垂足为 C，tan∠ODC= 3
5
， BH DG∥ ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，
圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
16．已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD=60°．以 1D 为球心， 5 为半径的球面与侧面 BCC1B1
的交线长为________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
在① 3ac ，② sin 3cA ，③ 3cb 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ABC△ ，它的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，且 s i n 3s i nAB ， 6C ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
已知公比大于 1 的等比数列{}na 满足 2 4 320, 8a a a ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 mb 为 在区间 *(0,]()mmN 中的项的个数，求数列 {}mb 的前 100 项和 100S ．
19．（12 分）
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的
PM 2.5 和 2SO 浓度（单位： 3μg /m ），得下表：
[0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75 ，且 2SO 浓度不超过 150 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 22 列联表：
[0 ,150] (150 ,475 ]
[0 ,75 ]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
附：
2
2 ()
()()()()
nadbcK abcdacbd
，
2()P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20．（12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
21．（12分）
已知函数 1()elnln xfxaxa ．
（1）当 ea 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
22．（12分）
已知椭圆C：
22
221( 0)xy abab 的离心率为 2
2
，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．B
5．C 6．B 7．A 8．D
二、选择题
9．ACD 10．BC 11．ABD 12．AC
三、填空题
13． 16
3 14． 232nn 15． 5 42
16． 2
2
四、解答题
17．解：
方案一：选条件①．
由 6C 和余弦定理得
222 3
22
abc
ab
．
由sin3sinAB 及正弦定理得 3ab ．
于是
222
2
33
223
bbc
b
，由此可得 bc ．
由① 3ac ，解得 3,1abc ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 1c ．
方案二：选条件②．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ， 6BC， 2
3A ．
由② sin3cA ，所以 2 3, 6c b a ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 23c ．
方案三：选条件③．
由 6C 和余弦定理得
222 3
22
abc
ab
．
由 s i n 3s i nAB 及正弦定理得 3ab ．
于是
222
2
33
223
bbc
b
，由此可得 bc ．
由③ 3cb ，与 bc 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
18．解：
（1）设 {}na 的公比为 q ．由题设得 3
11 20a q a q， 2
1 8aq ．
解得 1
2q （舍去）， 2q ．由题设得 1 2a ．
所以 {}na 的通项公式为 2 n
na ．
（2）由题设及（1）知 1 0b ，且当 122nnm 时， mbn ．
所以 10012345673233636465100() ()() ()Sbb bb b b bbbbbbb
23450 1 22 23 24 25 26 (10063)
480 ．
19．解：
（1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 2SO 浓度不超过 150 的天数为
32186864 ,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 浓度不超过 150 的概率的估计值
为 64 0.64100 ．
（2）根据抽查数据，可得 22 列联表：
2SO
PM 2.5
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
（3）根据（2）的列联表得
2
2 100 (64 10 16 10) 7.48480 20 74 26K
．
由于 7.484 6.635 ，故有99% 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关．
20．解：
（1）因为 PD 底面 A B CD ，所以 P D A D ．
又底面 为正方形，所以 AD D C ，因此 AD 底面 PDC ．
因为 AD BC∥ ， AD 平面 PBC ，所以 AD ∥ 平面 ．
由已知得 l AD∥ ．因此 l 平面 PDC ．
（2）以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D x y z ．
则 (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)DCBP ， ( 0 , 1,0 )DC ， (1, 1, 1)PB ．
由（1）可设 ( ,0 ,1)Qa ，则 ( ,0 , 1)D Q a ．
设 (,,)xyzn 是平面 QCD 的法向量，则 0,
0,
DQ
DC
n
n
即 0,
0.
axz
y
可取 ( 1,0, )an ．
所以 2
1cos,
|| || 31
PBaPB
PB a
nn
n
．
设 PB 与平面 所成角为 ，则 22
3 | 1| 3 2sin 13 3 11
aa
aa
．
因为 2
3 2 613 1 3
a
a
，当且仅当 1a 时等号成立，所以 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值
为 6
3
．
21．解：
()fx的定义域为 (0, ) ， 1 1( ) exf x a x
．
（1）当 ea 时， ( )eln1xfxx ， (1) e 1f ，
曲线 ()yfx 在点 (1,(1))f 处的切线方程为 (e1)(e1)(1)yx ，即 (e1)2yx ．
直线 在 x 轴， y 轴上的截距分别为 2
e1
， 2 ．
因此所求三角形的面积为 2
e1 ．
（2）当 01a时， (1)ln1faa ．
当 1a 时， 1( ) e l n xf x x ， 1 1( ) exfx x
．
当 (0,1)x 时， ( ) 0fx ；当 (1, )x 时， ( ) 0fx ．
所以当 1x 时， ()fx取得最小值，最小值为 (1) 1f ，从而 ( ) 1fx ．
当 1a 时， 11()elnlneln1xxfxaxax ．
综上， a 的取值范围是[1, ) ．
22．解：
（1）由题设得 22
411ab，
22
2
1
2
ab
a
，解得 2 6a ， 2 3b ．
所以 C 的方程为
22
163
xy．
（2）设 11( , )M x y ， 22( , )N x y ．
若直线 MN 与 x 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 ykxm，
代入 得 222(12)4260kxkmxm ．
于是
2
1 2 1 222
4 2 6,1 2 1 2
km mx x x xkk
．①
由 AM AN 知 0AMAN，故 1212(2)(2)(1)(1)0xxyy ，
可得 22
1 212(1)(2)()(1)40kx xkmkxxm ．
将①代入上式可得
2
22
22
264(1)(2)(1)401212
mkmkkmkm kk
．
整理得 (231)(21)0kmkm ．
因为 (2 ,1 )A 不在直线 MN 上，所以 2 1 0km ，故 2 3 1 0km ， 1k ．
于是 MN 的方程为 21()(1)33yk xk .
所以直线 MN 过点 21( , )33P .
若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 11( , )N x y .
由 0AM AN得 1 1 1 1( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y .
又
22
11163
xy，可得 2
113 8 4 0xx .解得 1 2x （舍去）， 1
2
3x .
此时直线 MN 过点 21( , )33P .
令 Q 为 AP 的中点，即 41( , )33Q .
若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是 Rt ADP△ 的斜边，故 122|||| 23DQAP.
若 D 与 P 重合，则 1| | | | 2D Q A P .
综上，存在点 41( , )33Q ，使得 ||DQ 为定值.
