2020_2021学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3

2020_2021学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3

3.3.1 　抛物线及其标准方程 激趣诱思 知识点拨 我们把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置 , 把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘 , 再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点 A , 取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长 ( 即点 A 到直线 l 的距离 ), 并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F. 用铅笔尖扣着绳子 , 使点 A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺 , 然后将三角尺沿着直尺上下滑动 , 笔尖就在图板上描出了一条曲线 . 这就是本节我们要学习的抛物线 , 这条曲线上的点有什么特征 ? 激趣诱思 知识点拨 一、抛物线的定义 1 . 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的焦点 , 直线 l 叫做抛物线的准线 . 2 . 数学表达式 : 抛物线是点的集合 P= { M||MF|=d } . 名师点析 1 . 抛物线的定义实质可以归结为 “ 一动二定一相等 ”:“ 一动 ” 即一个动点 , 设为 M ;“ 二定 ” 包括一个定点 F , 即抛物线的焦点 , 和一条定直线 l , 即抛物线的准线 ; 一相等 , 即 |MF|=d ( d 为 M 到准线 l 的距离 ) . 2 . 定义中 , 要注意强调定点 F 不在定直线 l 上 . 当直线 l 经过点 F 时 , 点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 若动点 P 到点 (3,0) 的距离和它到直线 x=- 3 的距离相等 , 则动点 P 的轨迹是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. 椭圆 B . 抛物线 C. 直线 D. 双曲线 解析 : 由抛物线定义知 , 动点轨迹为抛物线 . 答案 : B 微练习 2 平面内到点 A (2,3) 和直线 l : x+ 2 y- 8 = 0 距离相等的点的轨迹是 ( 　　 ) A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 圆 解析 : A ∈ l , 轨迹为过 A 且与 l 垂直的一条直线 . 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 二、抛物线的标准 方程 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 名师点拨 1 . 要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状 ( 焦点位置、开口方向等 ) . 抛物线的标准方程中 , 有一个一次项和一个二次项 , 二次项的系数为 1, 一次项的系数为 ± 2 p ; 若一次项的字母是 x , 则焦点就在 x 轴上 , 若其系数是正的 , 则焦点就在 x 轴的正半轴上 ( 开口向右 ), 若系数是负的 , 焦点就在 x 轴的负半轴上 ( 开口向左 ); 若一次项的字母是 y , 则焦点就在 y 轴上 , 若其系数是正的 , 则焦点就在 y 轴的正半轴上 ( 开口向上 ), 若系数是负的 , 焦点就在 y 轴的负半轴上 ( 开口向下 ) . 2 . 抛物线标准方程中参数 p 的几何意义 : 抛物线的焦点到准线的距离 , 所以 p 的值永远大于 0, 当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时 , 不要出现 p< 0 的错误 . 激趣诱思 知识点拨 3 . 焦点的非零坐标是一次项系数 的 . 4 . 准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打 “ √ ”, 错误的打 “ × ” . (1) 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 . ( 　　 ) (2) 抛物线实质上就是双曲线的一支 . ( 　　 ) (3) 若抛物线的方程为 y 2 =- 4 x , 则其中的焦参数 p=- 2 . ( 　　 ) (4) 抛物线 y= 6 x 2 的焦点在 x 轴的正半轴 . ( 　　 ) 答案 : (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 抛物线 x 2 = y 的开口向 　　　　　 , 焦点坐标为 　　　　　 , 准线方程是 　　　　　 .   (2) 若抛物线的准线方程是 x= 5, 则其标准方程为 　　　　　 , 焦点坐标为 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程 例 1 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程 : (1) y 2 =- 12 x ;(2)3 x 2 - 4 y= 0;(3) x= 32 y 2 ;(4) y 2 =ax ( a ≠0) . 思路分析 : 先将所给方程转化为标准方程的形式 , 确定其开口方向 , 求出 p 的值 , 再写出焦点坐标和准线方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时 , 一般先将所给方程化为标准形式 , 由标准方程得到参数 p , 从而得焦点坐标和准线方程 , 要注意 p> 0, 焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定 , 系数为正 , 焦点在正半轴 ; 系数为负 , 焦点在负半轴 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : (1)C 　 ( 2)D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求抛物线的标准方程 例 2 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程 : (1) 准线方程为 y = ; (2) 焦点在 y 轴上 , 焦点到准线的距离为 5; (3) 经过点 ( - 3, - 1); (4) 焦点为直线 3 x- 4 y- 12 = 0 与坐标轴的交点 . 思路分析 : (1)(2) 由题意可确定方程形式 → 求出 p → 写出抛物线的标准方程 (3) 设出抛物线的标准方程 → 代入点的坐标求参数 → 写出抛物线 的标准方程 (4) 写出焦点坐标 → 分情况讨论焦点的位置 → 写出抛物线的标准方程 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 已知抛物线的焦点在 y 轴上 , 可设方程为 x 2 = 2 my ( m ≠0), 由焦点到准线的距离为 5, 知 |m|= 5, m= ± 5, 所以满足条件的抛物线有两条 , 它们的标准方程分别为 x 2 = 10 y 和 x 2 =- 10 y. (3) ∵ 点 ( - 3, - 1) 在第三象限 , ∴ 设所求抛物线的标准方程为 y 2 =- 2 px ( p> 0) 或 x 2 =- 2 py ( p> 0) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (4) 对于直线方程 3 x- 4 y- 12 = 0, 令 x= 0, 得 y=- 3; 令 y= 0, 得 x= 4, ∴ 抛物线的焦点为 (0, - 3) 或 (4,0) . ∴ 所求抛物线的标准方程为 x 2 =- 12 y 或 y 2 = 16 x . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 用待定系数法求抛物线标准方程的 步骤 2 . 求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1) 把握开口方向与方程间的对应关系 . (2) 当抛物线的类型没有确定时 , 可设方程为 y 2 =mx 或 x 2 =ny , 这样可以减少讨论情况的个数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 将本例 (4) 改为焦点为圆 x 2 +y 2 = 4 与坐标轴的交点 , 抛物线方程为什么 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 根据下列条件确定抛物线的标准方程 . (1) 关于 y 轴对称且过点 ( - 1, - 3); (2) 过点 (4, - 8); (3) 焦点在 x- 2 y- 4 = 0 上 . 解 : (1)( 方法 1) 设所求抛物线方程为 x 2 =- 2 py ( p> 0), 将点 ( - 1, - 3) 代入方程 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2)( 方法 1) 设所求抛物线方程为 y 2 = 2 px ( p> 0) 或 x 2 =- 2 p'y ( p'> 0), 将点 (4, - 8) 代入 y 2 = 2 px , 得 p= 8; 将点 (4, - 8) 代入 x 2 =- 2 p'y , 得 p'= 1 . 所以所求抛物线方程为 y 2 = 16 x 或 x 2 =- 2 y. ( 方法 2) 当焦点在 x 轴上时 , 设抛物线的方程为 y 2 =nx ( n ≠0), 又抛物线过点 (4, - 8), 所以 64 = 4 n , 即 n= 16, 抛物线的方程为 y 2 = 16 x ; 当焦点在 y 轴上时 , 设抛物线的方程为 x 2 =my ( m ≠0), 又抛物线过点 (4, - 8), 所以 16 =- 8 m , 即 m=- 2, 抛物线的方程为 x 2 =- 2 y. 综上 , 抛物线的标准方程为 y 2 = 16 x 或 x 2 =- 2 y. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 利用抛物线的定义解决轨迹 问题 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 直线 D. 抛物线 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 定义法解决轨迹问题 根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时 , 要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式 , 对所给方程进行适当变形 , 分析其几何意义 , 然后结合有关曲线的定义作出判定 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 一个动圆经过点 A (2,0), 并且和直线 l : x=- 2 相切 , 则动圆圆心 M 的轨迹方程是 　　　　　 .   解析 : 设动圆的半径为 R. 因为动圆经过点 A (2,0), 所以 |MA|=R. 又因为动圆和直线 l : x=- 2 相切 , 所以圆心 M 到直线 l : x=- 2 的距离 d=R , 即圆心 M 到定点 A 的距离与到定直线 l 的距离相等 , 故其轨迹是抛物线 , 且 A 是焦点 , l 是准线 , 并且 有 = 2, 所以 p= 4, 故动圆圆心 M 的轨迹方程是 y 2 = 8 x. 答案 : y 2 = 8 x 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 抛物线的实际应用 例 4 一辆卡车高 3 m, 宽 1 . 6 m, 欲通过断面为抛物线形的隧道 , 已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍 , 若拱口宽为 a m, 求使卡车通过的 a 的最小整数值 . 思路分析 : 建立适当的坐标系 , 通过确定点的坐标确定出抛物线的方程 , 把卡车的宽度坐标化 , 利用抛物线解决问题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤 (1) 建 : 建立适当的坐标系 . (2) 设 : 设出合适的抛物线标准方程 . (3) 算 : 通过计算求出抛物线标准方程 . (4) 求 : 求出所要求出的量 . (5) 还 : 还原到实际问题中 , 从而解决实际问题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4 如图是抛物线形拱桥 , 当水面在 l 处时 , 拱顶离水面 2 米 , 水面宽 4 米 . 水位下降 1 米后 , 水面宽为 　　　　　 米 .   探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 建立如图所示的平面直角坐标系 , 设抛物线方程为 x 2 =my , 将 A (2, - 2) 代入 x 2 =my , 得 m=- 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 与抛物线定义有关的最值问题 典例 设 P 为抛物线 y 2 = 4 x 上的一个动点 . (1) 求点 P 到点 A ( - 1,1) 的距离与点 P 到直线 x=- 1 的距离之和的最小值 ; (2) 若 B (3,2), 求 |PB|+|PF| 的最小值 . 思路分析 : 本题主要考查与抛物线有关的最值问题 , 利用数形结合的思想寻求解题思路 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 抛物线的焦点为 F (1,0), 准线方程为 x=- 1 . 因为点 P 到准线 x=- 1 的距离等于点 P 到 F (1,0) 的距离 , 所以问题转化为在抛物线上求一点 P , 使点 P 到 A ( - 1,1) 的距离与点 P 到 F (1,0) 的距离之和最小 . 连接 AF , 如图 ① 所示 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 同理 , |PF| 与点 P 到准线 x=- 1 的距离相等 . 如图 ② 所示 , 过点 B 作 BQ 垂直于准线交准线于点 Q , 交抛物线于点 P 1 . 由题意知 |P 1 Q|=|P 1 F| , 所以 |PB|+|PF| ≥ |P 1 B|+|P 1 Q|=|BQ|= 4 . 所以 |PB|+|PF| 的最小值为 4 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法总结 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时 , 通常有两种情况 :(1) 当两定点在曲线两侧时 , 连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点 ;(2) 当两定点在曲线同侧时 , 由圆锥曲线定义作线段的等量转换 , 转换为 (1) 的情形即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 已知抛物线 y 2 = 4 x 上一点 P 到准线的距离为 d 1 , 到直线 l :4 x- 3 y+ 11 = 0 的距离为 d 2 , 则 d 1 +d 2 的最小值为 　　　　　 .   解析 : 抛物线上的点 P 到准线的距离等于到焦点 F 的距离 , 所以过焦点 F 作直线 4 x- 3 y+ 11 = 0 的垂线 , 则 F 到直线的距离为 答案 : 3 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 若抛物线 y 2 = 4 x 上的点 M 到焦点的距离为 10, 则点 M 到 y 轴的距离是 ( 　　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 : 抛物线 y 2 = 4 x 的准线方程为 x=- 1, 抛物线 y 2 = 4 x 上的点 M 到焦点的距离为 10, 可得 x M = 9, 则点 M 到 y 轴的距离是 9 . 故选 D. 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 已知抛物线方程为 x 2 =- 2 y , 则其准线方程为 ( 　　 ) A. y=- 1 B. y= 1 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 若点 P ( x , y ) 到点 F (0,2) 的距离比它到直线 y+ 4 = 0 的距离小 2, 则 P ( x , y ) 的轨迹方程为 ( 　　 ) A. y 2 = 8 x B. y 2 =- 8 x C. x 2 = 8 y D. x 2 =- 8 y 解析 : 依题意得点 P ( x , y ) 到点 F (0,2) 的距离与它到直线 y+ 2 = 0 的距离相等 , 并且点 F (0,2) 不在直线 y+ 2 = 0 上 , 所以点 P 的轨迹是抛物线 , 并且 F 是焦点 , y+ 2 = 0 是准线 , 于是抛物线方程为 x 2 = 8 y. 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知抛物线关于 x 轴对称 , 顶点在原点 O , 且过点 P (2,4), 则该抛物线的方程是 　　　　　 .   解析 : 由题意可设抛物线方程为 y 2 = 2 ax. 因为点 P (2,4) 在抛物线上 , 所以 4 2 = 4 a , 故 a= 4, 即所求抛物线的方程为 y 2 = 8 x. 答案 : y 2 = 8 x 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 a 2 + 10 a+ 9 = 0, 解得 a=- 1 或 a=- 9 . 当焦点为 F ( - 1,0) 时 , p= 2, 抛物线开口方向向左 , 其方程为 y 2 =- 4 x ; 当焦点为 F ( - 9,0) 时 , p= 18, 抛物线开口方向向左 , 其方程为 y 2 =- 36 x.