数学理卷·2018届海南省海南中学高二上学期期中考试（2016-11）

数学理卷·2018届海南省海南中学高二上学期期中考试（2016-11）

海南中学2016-2017学年第一学期期中考试 高二理科数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）‎ 1. 已知命题，则为（ ）‎ A. B.‎ C． D．‎ 2. 空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标是（ ）‎ A. B. C． D．‎ 3. 已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能得到平面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 4. 已知，则方程与的曲线在同一坐标系中大致是（ ）‎ 5. 下列命题中为真命题的是（ ）‎ A．命题“若且,则”‎ B．命题“若，则”的逆命题 ‎ C．命题“若，则或”的否命题 D．命题“若，则”的逆否命题 1. 已知双曲线的一条渐近线的斜率是，则此双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 2. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是( )‎ A． B． C． D．‎ 3. 直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 4. 设直线经过椭圆的右焦点且倾斜角为，若直线与椭圆相交于两点，则（ ）‎ A． B. C． D. ‎ 5. 已知正四面体的棱长为，点分别是的中点，则的值为( )‎ A． B. C. D. ‎ 6. 已知的三顶点分别为，，.则边上的高等于（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 7. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过顶点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B. C． D. ‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ 1. 已知向量与向量分别是直线与直线的方向向量，则直线与直线所成角的余弦值为_______．‎ 2. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离等于_________．‎ 3. 已知过点且斜率为的直线与抛物线有且只有一个交点，则的值等于____________．‎ 4. 已知点和分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是___________．‎ 三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ 5. ‎（本小题满分10分）如图，在平行六面体中，分别在面对角线上且.记向量，用表示.‎ 6. ‎（本小题满分12分）设条件；条件.若是的必要不充分条件，求的取值范围．‎ 7. ‎（本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点.、分别是、的中点，.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 1. ‎（本小题满分12分）如图，四棱锥中，,，侧面为等腰直角三角形，，平面平面，为棱上的一点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 2. ‎（本小题满分12分）设椭圆过点，且离心率为，直线过点，且与椭圆交于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ 3. ‎（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点为一个定点，过点分别作斜率为、的两条直线、，直线交轨迹于、两点，直线交轨迹于、两点，线段、的中点分别是、.若，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ 海南中学2016-2017学年第一学期期中考试 高二理科数学参考答案 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B D C C B A D C A A 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 0或或 16. ‎ 三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ 1. ‎（本小题满分10分）如图，在平行六面体中，分别在面对角线上且.记向量，用表示.‎ 解析：∵ ‎ 1. ‎（本小题满分12分）设条件；条件.若是的必要不充分条件，求的取值范围．‎ 解析1：设A={x|}，B={x|}， 2分 化简得A={x|}，B={x|}． 6分 由于是的必要不充分条件，‎ 故是的充分不必要条件，即， 8分 ‎∴ 10分 解得，‎ 故所求实数a的取值范围是． 12分 解析2：， 2分 记， 4分 化简得， 6分 由于是的必要不充分条件，‎ 故是的充分不必要条件，即， 8分 ‎ 10分 解得 ．‎ 故所求实数a的取值范围是． 12分 1. ‎（本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点.、分别是、的中点，.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解析：以为原点，的方向分别作为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故.‎ 因为、分别是、的中点，所以.‎ 因为、分别是、的中点，所以.‎ ‎（1）.‎ 因为轴平面，所以是平面的一个法向量.‎ 由于，故.‎ 又平面，故平面.‎ ‎（2）.‎ 设平面的一个法向量为，则 ‎，即.‎ 取，得.‎ 设直线与平面所成的角为，则 因此直线与平面所成角的正弦值为.‎ 1. ‎（本小题满分12分）如图，四棱锥中，,，侧面为等腰直角三角形，，平面平面，为棱上的一点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解法1：（1）∵平面底面，‎ 平面底面，‎ ‎∴平面（面面垂直的性质定理） 2分 ‎∴（线面垂直的定义） 3分 又∵，，‎ ‎∴平面（线面垂直的判定定理）‎ ‎∴（线面垂直的定义） 6分 ‎（2）如图，取的中点，连接，，设与交于点.‎ 等腰直角三角形中，，‎ ‎∵平面底面，平面底面，‎ ‎∴平面（面面垂直的性质定理）.‎ ‎∴，（线面垂直的定义）‎ 易知四边形是正方形，，∴平面（线面垂直的判定定理），‎ ‎∴（线面垂直的定义），∴是二面角的平面角， 8分 ‎∴，∴，易知，，∴‎ 注意到直角△中，，‎ ‎∴，即 10分 ‎∴，∴，即. 12分 故棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，并且.‎ 解法2：（1）取的中点，连接，‎ ‎∵平面底面，平面底面，‎ ‎∴平面（面面垂直的性质定理），‎ 由题意易知四边形是正方形，‎ ‎∴可如图建立空间直角坐标系 2分 ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎∵为棱上的一点，∴可设.‎ ‎∴‎ ‎∴， 4分 ‎∴，即. 6分 ‎（2）易知平面的一个法向量为， 7分 设平面的法向量为，由（1），‎ ‎∴，‎ 令，则，，‎ 即面的一个法向量 9分 ‎∴， 10分 整理得，解得或.‎ ‎∵，∴. 12分 故棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，并且.‎ 1. ‎（本小题满分12分）设椭圆过点，且离心率为，直线过点，且与椭圆交于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ 解析：（1）由题意得：，解得.‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝3与椭圆无交点.‎ 故直线的斜率存在，设其方程为：y＝k(x－3).‎ 由得(3k2＋2)x2－18k2x＋27k2－12＝0，‎ 因为直线与椭圆交于不同的两点，‎ 所以△＝(18k2)2－4(3k2＋2)(27k2－12)＞0，即.‎ 设A(x1, y1), B(x2, y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝,‎ ‎∵＝(x1－3, y1), ＝(x2－3, y2)，‎ ‎∴·＝(x1―3)(x2―3)＋y1y2＝(x1―3)(x2―3)＋k2(x1―3)(x2―3)‎ ‎＝(k2＋1)[x1x2－3(x1＋x2)＋9]‎ ‎＝(k2＋1)( －＋9)‎ ‎＝‎ ‎＝2＋‎ ‎∵， ∴＜， ∴＜2＋3，‎ ‎∴·的取值范围是 1. ‎（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点为一个定点，过点分别作斜率为、的两条直线、，直线交轨迹于、两点，直线交轨迹于、两点，线段、的中点分别是、.若，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ 解析：（1）设动圆圆心为O1（x，y），动圆与y轴交于R，S两点.‎ 由题意，得|O1P|＝|O1S|.‎ 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点.‎ ‎∴|O1S|＝.‎ 又|O1P|＝，‎ ‎∴，化简得y2＝4x（x≠0）．‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为（0,0）也满足方程y2＝4x.‎ ‎∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2＝4x．‎ ‎（2）由，得.‎ 设，则.‎ 因为AB中点，所以.‎ 同理，点.‎ ‎∴‎ ‎∴直线：，即 ‎∴直线MN恒过定点．‎