数学文卷·2018届河南省师范大学附属中学高二2月月考（2017-02）

数学文卷·2018届河南省师范大学附属中学高二2月月考（2017-02）

高二年级2017年2月月考 数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设集合，则集合中元素的个数为 ‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎2.已知角的终边经过点，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎4.设是向量，则“”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.函数的零点所在的大致区间是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的点，若以为直径的圆与直线相切，则圆的面积的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的图象的一条对称轴是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前项和为 ‎ A. 63 B. 64 C. 127 D. 128‎ ‎9.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图，正四棱柱中，,则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.设函数，则使得成立的取值范围是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎12.在锐角中，角的对边分别是，若，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.执行如图所示的程序框图，若输入的，那么输出的S的最大值为 . ‎ ‎14.函数在内有极小值，则的取值范围是 .‎ ‎15.直线与曲线有四个交点，则的取值范围为 .‎ ‎16.已知直线与圆心为C的圆相交于A,B两点，且为等边三角形，则实数 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分10分）已知函数三个内角的对边分别是，且 ‎ （1）求角B的大小；‎ ‎ （2）若，求的值.‎ ‎18.（本题满分12分）已知函数在处有极值，且其图象在处的切线斜率为-3.‎ ‎ （1）求函数的单调区间；‎ ‎ （2）求函数的极大值与极小值的差.‎ ‎19.（本题满分12分）设是数列的前项和，已知（1）求，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求证：平面平面；‎ ‎ （3）求三棱锥的体积.‎ ‎21.（本题满分12分）某车间共有工人12名，随机抽取6人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.‎ ‎ （1）根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎ （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？‎ ‎ （3）从抽取的6名工人中，任取2人，求恰好有1名优秀工人的概率.‎ ‎22.（本题满分12分）‎ ‎ 如图，椭圆经过，且其离心率为.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点A）,证明：直线与斜率之和为2.‎ 高二年级201702月考数学（文科）答案 一． 选择题答案 B A B D B A D C B D B A 二． 填空题答案 ‎13.2 14.（0,1） 15. 16.‎ 一． 解答题答案 ‎17. 解　(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 所以f(B)＝sin＝1，‎ 又2B＋∈，‎ 所以2B＋＝，所以B＝.‎ ‎(2)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 得c2－3c＋2＝0，所以c＝1或c＝2.‎ 法二：由正弦定理＝，‎ 得sin A＝，所以A＝或A＝，‎ 当A＝时，C＝，所以c＝2；‎ 当A＝时，C＝，所以c＝1.所以c＝1或c＝2.‎ ‎18.解：(1)∵ y ′＝3 x ‎2 ＋6 ax ＋3 b ，‎ 由题意得 y ′| x ＝2 ＝12＋12 a ＋3 b ＝0，‎ y ′| x ＝1 ＝3＋6 a ＋3 b ＝－3，‎ 解得 a ＝－1， b ＝0，所以 y ＝ x ‎3 －3 x 2 ＋ c ，‎ y ′＝3 x ‎2 －6 x .‎ 令 y ′＞0，得 x ＜0 或 x ＞2，‎ ‎∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；‎ 单调递减区间是(0，2)．‎ ‎(2)由(1)可知函数在 x ＝0 处取得极大值 c ，‎ 在 x ＝2 处取得极小值 c －4，‎ ‎∴函数的极大值与极小值的差为 c －( c －4)＝4.‎ ‎19．解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，‎ ‎∵a1≠0，∴a1=1，‎ 令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，‎ 当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1，‎ 两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn，‎ 则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①‎ ‎2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②‎ ‎①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n ‎=2n﹣1﹣n•2n，‎ ‎∴Tn=1+（n﹣1）2n．‎ ‎20.（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ ‎∴VB∥平面MOC；‎ ‎（2）∵AC=BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，‎ ‎∵OC⊂平面MOC，‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，‎ ‎∴S△VAB=，‎ ‎∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴VC﹣VAB=•S△VAB=，‎ ‎∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．‎ ‎21.解：（1）样本均值为；‎ ‎（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；‎ ‎（3）设“从抽取的6名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，‎ 所以p(A)=‎ 即恰有1名优秀工人的概率为．‎ ‎22.解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，‎ 结合a2=b2+c2，解得a=，‎ 所以+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），‎ 代入椭圆方程+y2=1，‎ 可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，‎ 由已知得（1，1）在椭圆外，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．‎ 则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+‎ ‎=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•‎ ‎=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．‎ 即有直线AP与AQ斜率之和为2．‎