2017-2018学年湖南省五市十校高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖南省五市十校高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.‎ 详解：由中不等式变形得，‎ 解得，即，‎ 因为，，故选C.‎ 点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.‎ ‎2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.‎ 详解：因为，‎ 复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．‎ 详解：模拟程序的运行，可得，‎ 不满足结束循环的条件，执行循环体，； ‎ 不满足结束循环的条件，执行循环体，；‎ 不满足结束循环的条件，执行循环体，；‎ 满足结束循环的条件，退出循环，输出的值为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) ‎ 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎4．在等差数列中， 是函数的两个零点，则的前10项和等于（ ）‎ A. B. 15 C. 30 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选B．‎ ‎5．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为( )‎ A. [，] B. [，3]‎ C. [，] D. [，3]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.‎ 详解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即在区间上的值域为，故选B.‎ 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.‎ ‎6．已知，且，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.‎ 详解：，且， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 向量在向量方向上的投影为，故选C. ‎ 点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为： ‎ ‎8．设，则二项式展开式的常数项是（ ）‎ A. 1120 B. 140 C. -140 D. -1120‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.‎ 详解：由题意，‎ 二项式为，设展开式中第项为，‎ ‎，‎ 令，解得，‎ 代入得展开式中可得常数项为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎9．函数的图像恒过定点，若定点在直线 上，则的最小值为（ ）‎ A. 13 B. 14 C. 16 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：利用指数型函数的性质可求得定点，将点的坐标代入，结合题意，利用基本不等式可得结果.‎ 详解：时，函数值恒为，‎ 函数的图象恒过定点，‎ 又点在直线上，，‎ 又 ‎ ‎ ‎，（当且仅当时取“=”），‎ 所以，的最小值为，故选D.‎ 点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎10．抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：设，则 ‎，由利用韦达定理求解即可.‎ 详解：设，‎ 的焦点，‎ 设过点的直线为，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ 点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.‎ ‎11．已知圆 ，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.‎ 详解： ‎ 画出可行域如图，‎ 由圆的标准方程可得圆心，半径为，‎ 因为圆与轴相切，‎ 所以，直线分别与直线与交于点，‎ 所以，‎ 圆心与点连线斜率为 时， ；‎ 时 ，‎ 所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.‎ 点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.‎ ‎12．已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性与极值，利用数形结合进行求解即可.‎ 详解：‎ 当时，，则不成立，‎ 即方程没有零解，‎ ‎①当时，，‎ 即，则，‎ 设，则，‎ 由得，此时函数递增；‎ 由得，此时函数递减，‎ 故当时，函数取得极小值，‎ 当时，，当时，.‎ ‎②当时，，‎ 即，则，‎ 设，‎ 则，‎ 由得（舍去）或，此时函数递增；‎ 由得，此时函数递减，‎ 故当时，函数取得极大值，‎ 当时，，当时，，‎ 作出函数和图象如图，‎ 要使方程在有三个实数，‎ 则或，故选B.‎ 点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ 二、填空题 ‎13．3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.‎ ‎【答案】10080‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个安排医生和护士，为第三个安排医生和护士，根据分步计数乘法原理可得结果.‎ 详解：为第一个学校安排医生和护士有种结果；‎ 为第二个安排医生和护士种结果；‎ 为第三个安排医生和护士种结果，‎ 根据分步计数原理可得 ，故答案为.‎ 点睛：本题考查组合式的应用、分步计数乘法原理的应用以及分组与分配问题，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎14．现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.‎ 详解：所发红包的总金额为元，‎ 被随机分配为元，元，元，元，元，共份，‎ 供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，‎ 基本事件总数，‎ 其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有， 种，‎ 甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.‎ 点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎15．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出两点坐标，再由的面积为，列出方程列方程求解即可.‎ 详解：双曲线的两条渐近线方程，‎ 又抛物线的准线方程是，‎ 故两点的横坐标坐标分别是，‎ 又的面积为1，，‎ 得，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系 ‎16．已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得边的最小值.‎ 详解：成等差数列，‎ ‎，‎ 又，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 因为，‎ ‎，解得，‎ 的最小值为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．等比数列的各项均为正数，且，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）根据，列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.‎ 详解：设数列的公比为.由=得，所以. ‎ 由条件可知，故.由得，所以.‎ 故数列的通项公式为 ‎(2)‎ 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎18．如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.‎ ‎(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；‎ ‎(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析( 2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.‎ 详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,, 又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,‎ 又 平面, 平面,∴∥平面.‎ ‎(2)取中点,连结、,∵ 是以 为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴ ,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又 平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,‎ 则,设 ,‎ 则:,. ‎ 设平面ABF的法向量为,则,‎ ‎∴,令,则 ‎,∴. ‎ 又平面的法向量为,由二面角成角得:,‎ ‎∴,解得:,或不合题意,舍去 ‎.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.‎ 点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：‎ 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；‎ 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；‎ 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；‎ 第四，破“应用公式关”.‎ ‎19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年宣传费（万元）‎ ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 年销售量（吨）‎ ‎16.8‎ ‎18.8‎ ‎20.7‎ ‎22.4‎ ‎24.0‎ ‎25.5‎ 经电脑拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：‎ ‎75.3‎ ‎24.6‎ ‎18.3‎ ‎101.4‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。现从这6年中任选2年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中为自然对数的底数， ）‎ 附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）由数据可得：, 从而求可得公式 中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得回归方程；（2），结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.‎ 详解：（1）由令得，由数据可得：‎ ‎,,于是 ‎， ‎ 得故所求回归方程为 ‎（2）条件，于是求出， ‎ 即6年中有3年是“效益良好年”， ，‎ 由题得，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以 的分布列如表所示，且 。‎ 点睛：本题主要考查非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于难题. 是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程.‎ ‎20．如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即， 由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，‎ 由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.‎ 详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，‎ ‎∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|， ‎ ‎∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，‎ ‎∴，∴M的轨迹C的方程为． ‎ ‎（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：‎ ‎，即， ‎ 由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ‎ ‎∵直线与椭圆交于两个不同点，‎ ‎∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=， ‎ 又，∴，∴，‎ ‎ ‎ 设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，‎ ‎∴△AOB的面积的取值范围是 ‎ 点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.‎ 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.‎ ‎21．设,函数.‎ ‎(1) 若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)求函数单调区间 ‎(3) 若有两个零点,求证: .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令，可得函数增区间，，可得函数的减区间；（3）原不等式等价于 令,则,于是，，利用导数可证明，从而可得结果.‎ 详解：在区间上,. ‎ ‎（1）当时，则切线方程为，即 ‎（2）若,则,是区间上的增函数, ‎ 若,令得: .‎ 在区间上, ,函数是增函数; ‎ 在区间上, ,函数是减函数; ‎ ‎ (3)设 ‎ ‎,‎ 原不等式 ‎ 令,则,于是.（9分）‎ 设函数 ,‎ 求导得: ‎ 故函数是上的增函数, ‎ 即不等式成立,故所证不等式成立.‎ 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）由曲线的参数方程，利用代入法消去参数，可得的普通方程，由曲线的极坐标方程得，利用互化公式可得的直角坐标方程；（2）设曲线上任意一点为，，利用点到直线距离公式结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.‎ 详解：（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．‎ 由曲线的极坐标方程得，， ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．‎ ‎∵，∴，，‎ 当时，即； ‎ 当时， ．∴或． ‎ 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23．已知函数，，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，.对解析分类讨论，可求不等式的解集；‎ ‎（2）当时， 的最大值为，‎ 要使，故只需；‎ 当时， 的最大值为，‎ 要使，故只需，由此可求实数的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，.‎ ‎ ‎ ‎①当时，恒成立，∴； ‎ ‎②当时，，即，即或.‎ 综合可知：； ‎ ‎③当时，，则或，综合可知：.‎ 由①②③可知：或. ‎ ‎（Ⅱ）当时， 的最大值为，‎ 要使，故只需，‎ 则，∴； ‎ 当时， 的最大值为，‎ 要使，故只需，‎ ‎∴，从而.‎ 综上讨论可知：.‎