数学理卷·2018届福建省泉港一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届福建省泉港一中高二下学期期中考试（2017-04）

泉港一中2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 ‎ ‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．在的展开式中，各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为 （ ）‎ A、6 B、9 C、12 D、18 ‎ ‎3．我们知道，“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在中选一个数，甲选的数记为，乙选的数记为，若，则称甲乙两人“心有灵犀”，由此可得甲乙两人“心有灵犀”的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的关系，算出了对应的相关指数R2的值如下表：‎ 拟合曲线 直 线 指数曲线 抛物线 二次曲线 回归方程 相关指数R2‎ ‎0.746‎ ‎0.996‎ ‎0.902‎ ‎0.002‎ 则这组数据的回归方程的最佳选择应是 A. B. C. D. ‎ ‎5．已知随机变量ξ服从正态分布．若，则（ ）‎ A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1‎ ‎6．（其中n∈N且n≥6）的展开式中与的系数相等，则n=（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．11‎ ‎ ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m ‎7．设随机变量的概率分布列如右表，则（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8．考察正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（ ）‎ A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都小于60°‎ C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个小于60°‎ ‎10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有( )‎ A.30种 B.36种 C.42种 D.48种 ‎11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）‎ A．72 B．120 C．192 D．240‎ ‎12．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）‎ A．0．998 B．0．046 C．0．002 D．0．954‎ 二、填空题（每小题5分，共20分。答案请写在答题卡上）‎ ‎13．复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为 .‎ ‎14．在的展开式中含项的系数是______（用数字作答）．‎ ‎15．如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自由曲线与直线及 轴所围成的曲边梯形内”， 表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则=_____‎ ‎16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名。‎ 比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是______．‎ ‎ ‎ 三、解答题（6大题，共70分。解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题10分）.已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，‎ ‎（1）求没有抓到白球的概率；‎ ‎（2）记抓到球中的红球数为，求的分布列和数学期望. ‎ ‎ ‎ ‎18．（本题12分）如图，四棱锥的底面是正方形，‎ 侧棱⊥底面，，是的中点．‎ ‎(1)证明：∥平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎19．（本题12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：‎ 员工编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年薪（万元）‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6.5‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎51‎ ‎（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；‎ ‎（2）从该单位中任取2人，其中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望；‎ ‎（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？‎ 附：线性回归方程中系数计算公式分别为：‎ ‎， ，其中为样本均值.‎ ‎ ‎ ‎20．（本题12分）2016世界特色魅力城市强新鲜出炉，包括泉州市在内的个中国城市入选。美丽的泉州风景和人文景观迎来众多宾客。现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在泉州旅游节期间，随机抽取了人，得如下所示的列联表：‎ 赞成“自助游”‎ 不赞成“自助游”‎ 合计 男性 女性 合计 ‎（1）若在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，女性应抽人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？‎ ‎（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取人赠送精美纪念品，记这人中赞成“自助游”人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（本题12分）已知函数 ‎（Ⅰ）若求在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎22．（本题12分）巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程； ‎ ‎(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案 一、选择题（共12题，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B D A B D B C B D 二、填空题（共4题，共20分）‎ ‎13． 14．-10 15． 16．3‎ 三、解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是；…3分 ‎（2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分 ‎= ， ，………7分 ‎∴X的分布列为………………………………………………………8分 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎。………………………………………………………10分 ‎18．【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OE；‎ 在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，‎ 而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE. ……………………4分 ‎ ‎ ‎(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.‎ ‎ ‎ 则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0),‎ ‎∴ ＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，……………………5分 设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，‎ 则由 得取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，‎ 又＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．……………………9分 ‎∴cos〈n，〉＝＝.……………………11分 故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为……………………12分 ‎19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分 ‎（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；取值为0，1，2.‎ ‎， ， ，………6分 ‎∴的分布列为 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ P 数学期望为.……………………8分 ‎（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，‎ ‎ ，‎ 得线性回归方程： .………………………………11分 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分 ‎20．【解析】 (1)‎ 赞成“自助游”‎ 不赞成“自助游”‎ 合计 男性 女性 合计 将列联表中的数据代入计算，得的观测值：‎ ‎， ‎ 在犯错误概率不超过前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分 ‎ ‎ ‎(2) 的所有可能取值为0,1,2,3,‎ 依题意，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎. ………………………………………………………………………12分 ‎21．（Ⅰ）当 ‎ ‎ 在处的切线方程为，即……………4分 ‎（Ⅱ）由 ‎ 由及定义域为，令 ‎ ‎①若在上，，在上单调递增， ‎ 因此，在区间的最小值为． ‎ ‎②若在上，，单调递减;在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为 ‎ ‎③若在上，，在上单调递减， ‎ 因此，在区间上的最小值为． ‎ 综上， ………………………………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点． ‎ 当时，要使在区间上恰有两个零点，则 ‎ ‎∴ 即，此时，．所以，的取值范围为 …12分 ‎ ‎22．【解析】 ‎ ‎(I )椭圆的长轴长为，故，‎ 又与椭圆有相同的离心率,故 ‎ 所以椭圆M的方程为 ………………………………………………4分 ‎(II)若的斜率存在，设因与C相切，‎ 故， 即. ①……………………………………5分 又将直线方程代入椭圆M的方程得…………6分 设由韦达定理得+=，‎ 由得到+++=0‎ 化简得，② ……………………………………………………8分 联立①②得。 综上所述，存在圆.…………………9分 由得 ‎=‎ 当时，,；………………………………11分 又当k不存在时，,故为所求. …………………12分