5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题10 圆锥曲线

5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题10 圆锥曲线

‎【2012年高考真题精选】‎ ‎1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 3.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 ‎ (A) 　(B) 　　(C)　　(D)[来源:学&科&网]‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为，不妨取，即 ‎，焦点到渐近线的距离为，即，所以双曲线的离心率为，所以，所以，所以抛物线方程为，选D.‎ ‎4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎ 5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B‎.2 C. D. ‎ ‎ 7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）‎ A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 ‎ 【答案】B ‎【解析】本题可用排除法，，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又时，方程出现重复，重复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.‎ ‎9.【2012高考上海文16】对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）[来源:学科网]‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 ‎ C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】∵＞0，∴或。‎ 方程=1表示的曲线是椭圆，则一定有故“＞0”是“方程=1表示的是椭圆”的必要不充分条件。‎ ‎10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F‎1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎ 11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.com@]‎ 又，，C的方程为-=1.‎ ‎12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A B C D ‎ ‎ 13.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。‎ ‎ 【答案】，‎ ‎【解析】当直线过右焦点时的周长最大，最大周长为；‎ ‎，即，‎ ‎14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的方程可知 ‎15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽 米.‎ ‎ 17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得，又垂直于轴，所以，即离心率为 ‎。‎ ‎18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设及；则点到准线的距离为，‎ 得： 又。‎ ‎19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则 ‎ ‎ 20.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ （2）根据已知条件，用待定系数法求解。‎ ‎21.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.‎ ‎ ‎ ‎ 22.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)‎ 如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.‎ ‎ ‎ ‎ 23.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。‎ ‎（1）求p,t的值。‎ ‎（2）求△ABP面积的最大值。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得，得.‎ ‎（2）设，线段AB的中点坐标为 ‎ 24.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）‎ 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得 ‎　　，‎ 即　　　　　‎ 同理可得　　.‎ 从而是方程的两个实根，于是 ‎　　　　　　　　　　　　　　①‎ 且 由得解得或 由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 ‎，或，或，或.‎ ‎【2011年高考真题精选】‎ ‎1. （2011年高考海南卷文科9)已知直线过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则的面积为( )‎ A.18 B‎.24 C.36 D.48‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB是抛物线的通径,长为,所以 ‎,又点P到AB的距离为焦参数,所以的面积为,故选C.‎ ‎2. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线的实轴长是 ‎（A）2 (B) (C) 4 (D) 4‎ ‎ 3.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则 ‎（A） （B） （C） (D) ‎ ‎【答案】 C ‎【解析】：由恰好将线段AB三等分得由 又，故选C.‎ ‎4. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A. B. C. D. ‎ ‎ 5. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.‎ ‎6. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ‎ ‎ （A） （B） (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C ‎7．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。‎ ‎8．（2011年高考湖北卷文科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 A. B. C. D.‎ 答案：C ‎ 解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设 ‎ ‎，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.‎ ‎9.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线 的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ‎ (A) (B)1 (C) (D) ‎ ‎ 10. （2011年高考四川卷文科14)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 .‎ ‎ 11.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .‎ 已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，由角平分线的性质得 又 ‎ ‎12.（2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.‎ 线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.‎ ‎13. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分）‎ 已知过抛物线的焦点，斜率为的直 线交抛物线于（）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ ‎ 14. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分）‎ 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。‎ （1） 求实数b的值；‎ ‎（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程 ‎【解析】（I）由得 ()‎ 因为直线与抛物线C相切,所以,解得.‎ ‎（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,‎ 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.‎ ‎15．（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ ‎ ．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ ‎16. （2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C: 过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 ‎ 17. （2011年高考四川卷文科21)（本小题共12分）‎ 过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.‎ ‎（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值.‎ ‎ 18.（2011年高考全国卷文科22) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎∴‎ ‎∴则的中垂线为：‎ 则的中垂线与的中垂线的交点为∴‎ 到直线的距离为 ‎∴即 ‎∴、、、四点在同一圆上。‎ ‎19. （2011年高考湖北卷文科21) （本小题满分13分）‎ 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加 上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；‎ ‎(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，‎ 设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面 积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.‎ 解析：（1）设动点为M，其坐标（x, y）.‎ ‎ 当时，由条件可得 即又的坐标满足 ‎ 故依题意，曲线C的方程为[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；‎ ‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ ‎ 当时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.‎ ‎（2）由（1）知，当时，C1的方程为；‎ ‎ 当时，C2的两个焦点分别为.‎ ‎ 对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ ‎ 由①得，由②得 ‎ 当即，或时.‎ ‎ 存在点N, 使 ‎ ‎ 当即，或时，‎ ‎ 不存在满足条件的点N.‎ ‎ 当时，‎ ‎ 由，‎ ‎ 可得 ‎ 令 ‎ 则由可得，‎ ‎ 从而于是由 ‎ 可得，即 ‎ 综上可得：‎ ‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且 ‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且；‎ ‎ 当时，在C1上，不存在满足条件的点N.‎ ‎20. (2011年高考天津卷文科18)（本小题满分13分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.‎ N M P A x y B C ‎21. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎ 22. （2011年高考辽宁卷文科21) (本小题满分12分)‎ 如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，‎ C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.‎ ‎（I）设e=，求|BC|与|AD|的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由.‎ 因为，又，所以，解得。‎ 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN。‎ ‎23.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）‎ 设直线 ‎（I）证明与相交；‎ ‎（II）证明与的交点在椭圆上.‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 证明两数不等可采用反证法的思路。‎ 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。‎ ‎24．（2011年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ 题（21）图 ‎【解析】解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 ‎【2010年高考真题精选】‎ ‎1.（2010陕西文数）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 [C]‎ ‎（A） （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎2.（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线 的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 3.（2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，‎ ‎，解得，‎ ‎4.（2010浙江文数）（10）设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为 ‎（A）x±y=0 （B）x±y=0‎ ‎（C）x±=0 （D）±y=0‎ 答案：D 解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 ‎5.（2010福建文数）11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．8‎ ‎ 6.（2010全国卷1文数）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则 ‎(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8‎ ‎【答案】B ‎【解析1】.由余弦定理得 cos∠P=‎ ‎4‎ ‎【解析2】由焦点三角形面积公式得：‎ ‎4‎ ‎7.（2010四川文数）（10）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 ‎（A）（0，] （B）（0，] （C）[，1） （D）[，1）‎ ‎【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，w_w w. k#s5_u.c o*m 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|＝‎ ‎ |PF|∈[a－c,a＋c]‎ 于是∈[a－c,a＋c]‎ 即ac－c2≤b2≤ac＋c2‎ ‎∴‎ Þ 又e∈(0,1)‎ 故e∈‎ 答案：D ‎8.（2010四川文数）(3)抛物线的焦点到准线的距离是 ‎(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8‎ ‎ 9.（2010上海文数）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 y2=8x 。‎ ‎ 10.（2010全国卷2文数）(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________‎ ‎【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质 设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）‎ ‎11.（2010安徽文数）(12)抛物线的焦点坐标是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线，所以，所以焦点.‎ ‎12.（2010重庆文数）（13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则____________ .‎ 解析：由抛物线的定义可知 ‎ ‎ 故2‎ ‎13.（2010天津文数）（13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。‎ ‎ 14.（2010福建文数）13． 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意知，解得b=1。‎ ‎15.（2010全国卷1文数）(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ 16.（2010湖北文数）15.已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为，故范围为.因为 在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.‎ ‎17.（2010上海文数）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.‎ ‎（1）若点满足，求点的坐标；‎ ‎（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；‎ ‎（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.‎ 解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， ‎ ‎18.（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分） K^S*5U.C#‎ 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的焦距；‎ ‎（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.‎ ‎ 得 故椭圆的方程为 ‎19.（2010全国卷2文数）（22）（本小题满分12分已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）‎ ‎（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。‎ ‎ 20.（2010北京文数）（19）（本小题共14分）‎ 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；‎ ‎（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）因为，且，所以 所以椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆P的半径为 解得 所以点P的坐标是（0，）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以 设，则 当，即，且，取最大值2.‎ ‎21.（2010天津文数）（21）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.‎ ‎（i）若，求直线l的倾斜角；‎ ‎ （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.‎ ‎ ‎ ‎，‎ 整理得。故。所以。‎ 综上，或 ‎【2009年高考真题精选】‎ ‎1．(2009·山东文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )． ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 2．（2009·安徽文）下列曲线中离心率为的是 ‎ A． B． C． D． ‎ 解析：依据双曲线的离心率可判断得．．选B。‎ 答案：B ‎3．（2009·安徽文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是 A． B． ‎ C． D． ‎ 解析：可得斜率为即，选A。‎ 答案：A ‎4．（2009·天津文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A B C D 答案：C ‎ 解析：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为 ‎5．（2009·宁夏海南文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ‎（A）+=1 （B）+=1‎ ‎（C）+=1 （D）+=1‎ ‎ 6．（2009·福建文）若双曲线的离心率为2，则等于 A． 2 B． ‎ C． D． 1‎ 答案：D 解析：由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D．‎ ‎7．（2009·浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ 答案：D ‎ 解析：对于椭圆，因为，则 ‎ ‎8．（2009·天津文）若圆与圆的公共弦长为，则a=________．‎ 答案：1‎ 解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1‎ ‎9．（2009·宁夏海南文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。‎ 答案：‎ 解析：设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故．‎ ‎10．(2009·年广东文)（本小题满分14分）‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12．圆:的圆心为点．‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G．‎ ‎11．（2009·浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．‎ ‎ （I）求与的值；‎ ‎ （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．‎ ‎ 12． (2009·山东文)（本小题满分14分）‎ 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点 的轨迹为E．‎ ‎（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; ‎ ‎（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;‎ ‎(3)已知,设直线与圆C:(10，|Ax1＋By1＋C|>|Ax2＋By2＋C|，则(　　)‎ A．直线l与直线P1P2不相交 B．直线l与线段P2P1的延长线相交 C．直线l与线段P1P2的延长线相交 D．直线l与线段P1P2相交 ‎ 2．（2013·温州模拟）已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)‎ A．4 B．2 C．2 D. ‎【答案】C　【解析】因为四边形PACB的最小面积是2，此时切线长为2，圆心到直线的距离为，d＝＝，k＝2.‎ ‎3．（2013·洛阳模拟）设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)‎ A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)‎ B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)‎ C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)‎ D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)‎ ‎【答案】A　【解析】设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．‎ ‎4．（2013·辽宁省本溪一中模拟）椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|值为________．‎ ‎ 5．（2013·许昌一中模拟）设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝(　　)‎ A．2 B. C．4 D．2 ‎ 6.椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为( ) ‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎ 7.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。因为点到轴的距离为，所以到准线的距离为，又,所以 ‎，焦点到直线的距离，而，所以，选D.‎ ‎8.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有 （ ）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎ 9.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有 ，即，所以，解得，选C.‎ ‎10.在抛物线上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：两点坐标为，两点连线的斜率k=‎ 对于，，‎ ‎∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1‎ 在抛物线上的切点为，切线方程为 直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即 解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为顶点坐标为，故选A．‎ ‎11.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 12.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ ‎ A.（0， B.（） C.（0，） D.（，1）‎ ‎ 13.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 14.设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足 ‎，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意|PF2|=|F‎1F2|，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由 15.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 ．‎ ‎ 16.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则= .‎ ‎ 17.已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当时，的最小值是 。‎ 外侧，延长PM交直线，由抛物线的定义可知,当，三点共线时，最小，此时为，又焦点坐标为,所以，即的最小值为，所以的最小值为。‎ ‎18.过椭圆左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为 ‎ ‎ 19.如图4，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B 分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图知，，整理得，即，解得，故.‎ ‎20．（2013·银川一中模拟）设抛物线C：y2＝16x的焦点为F，过点Q(－4,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若|QA|＝2|QB|，则直线l的斜率k＝________.‎ ‎ 21．（2013·安阳模拟）以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e1，e2，则当它们的实轴、虚轴都在变化时，e＋e的最小值是________．‎ ‎【答案】4　【解析】e＝，e＝，则e＋e＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时等号成立)．‎ ‎22．（2013·郑州质检）设椭圆M：＋＝1(a>)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若＋2＝0(其中O为坐标原点)．‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求·的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ 23.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分 ‎。解得，则椭圆方程为 ……………4分 ‎ 24.如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点 ‎（1）写出抛物线的标准方程； （2）若，求直线的方程；‎ ‎（3）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆 的长轴长的最小值. ‎ ‎ ‎