数学卷·2018届河南省郑州市七校联考高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

数学卷·2018届河南省郑州市七校联考高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

河南省郑州市七校联考 2016-2017 学年高二上学期期中考试 理数试题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.已知 ， ，且 ， 不为 0，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 考点：不等式的性质. 2.不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得，不等式可化为 ，解得 ，所以不等式的解集为 ，故选 A. 考点：解一元二次不等式. 3.在数列 中，若 ，且对任意的 有 ，则数列 前 10 项的 和为 （ ） A．2 B．10 C． D． a b> c d> c d ad bc> ac bd> a c b d− > − a c b d+ > + ( 1)(2 ) 0x x− − ≥ { }|1 2x x≤ ≤ { }| 1 2x x x≤ ≥或 { }|1 2x x< < { }| 1 2x x x< >或 ( 1)( 2) 0x x− − ≤ 1 2x≤ ≤ { }|1 2x x≤ ≤ { }na 1 2a = − *n N∈ 12 1 2n na a+ = + { }na 5 2 5 4 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得，对任意的 有 ，即 ，所以数列 表 示 首 项 为 ， 公 差 的 等 差 数 列 ， 所 以 ，故选 C. 考点：等差数列的定义及其求和. 4.已知等比数列 满足 ， ，则 等于（ ） A．21 B．42 C.63 D．84 【答案】B 考点：等比数列的通项公式. 5.已知△ 中， ， ， ，若三角形有两解，则 的取值范围是（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得， ，要使得三角形有两解，则满足 ， 解得 ，故选 C. 考点：三角形解的个数的判定. 6.在△ 中， , ,且 的面积为 ，则 的长为（ ） A． B． C. *n N∈ 12 1 2n na a+ = + 1 1 2n na a+ − = { }na 1 2a = − 1 2d = 10 1 10 9 1 510 10 ( 2) 452 2 2S a d ×= + = × − + × = { }na 1 3a = 1 3 5 21a a a+ + = 3 5 7a a a+ + ABC a x= 2b = 45B = ° x 2x > 2x < 2 2 2x< < 2 2 3x< < 0 2sin sin 45 2a B x x= = 2 22 x x< < 2 2 2x< < ABC 60A = ° 2AB = ABC∆ 3 2 BC 3 2 3 2 3 D． 【答案】B 【解析】 考点：正弦定理；余弦定理. 【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、 余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据三角形的面积公式，求得 ， 再利用正、余弦定理是解得关键. 7.若关于 的不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得，因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时等 号成立，又关于 的不等式 对任意实数 恒成立，则 ，即 ，解得 ，故选 A. 考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题. 8. 若变量 ， 满足约束条件 且 的最大值和最小值分别为 和 ，则 等于（ ） A．5 B．6 C.7 2 1b = x 24 3x a ax + ≥ − 0x > a [ 1,4]− ( , 2] [5, )−∞ − ∪ +∞ ( , 1] [4, )−∞ − ∪ +∞ [ 2,5]− 0x > 4 42 4x xx x + ≥ ⋅ = 4x x = 2x = x 24 3x a ax + ≥ − 0x > 2 3 4a a− ≤ 2 3 4 0a a− − ≤ 1 4a− ≤ ≤ x y , 1, 1, y x x y y ≤  + ≤  ≥ − 2z x y= + m n m n− D．8 【答案】B 【解析】 试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由 ，得 ，平移 直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大， 此时 有最大值，由 ，解得 ，所以 ，直线 经过点 时， 有最小值，由 ，解得 ，所以 ，所以 ，故选 B. 考点：简单的线性规划问题. 9.如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 , 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的 高度 是 60 ，则河流的宽度 等于（ ） A． B． C. D． 【答案】C 2z x y= + 2y x z= − + 2y x z= − + 2y x z= − + C 2y x z= − + z 1 1 x y y + =  = − (2, 1)C − max 3z = 2y x z= − + B z 1 y x y =  = − ( 1, 1)C − − min 3z = − 6m n− = A B C m BC 240( 3 1)m+ 180( 2 1)m− 120( 3 1)m− 30( 3 1)m+ 考点：三角形的实际应用. 10.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，2 ， 2 ， 2 成等比数列，则 （ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 ， ， 成 等 差 数 列 ， 则 ， 又 因 为 ， 所 以 ，又由 成等比数列，得 ，由余弦定理得 ， 代入可得 ， 即 ，所以 ，所以 ，故选 A. 考点：等差数列的性质及余弦定理. 11.已知数列 : , , ,…, ,…,若 ，那 么数 列 的前 项和 为（ ） A． B． C. D． 【答案】B ABC A B C a b c A B C a b c cos cosA B = 1 4 1 6 1 2 2 3 A B C 2B A C= + A B C π+ + = 3B π= 2 ,2 ,2a b c 2b ac= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2a c ac ac+ − = 2( ) 0a c a c− = ⇒ = 3A B C π= = = cos cosA B = 1 4 { }na 1 2 1 2 3 3 + 1 2 3 4 4 4 + + 1 2 3 9 10 10 10 10 + + + 1 1 n n n b a a + = ⋅ { }nb n nS 1 n n + 4 1 n n + 3 1 n n + 5 1 n n + 考点：数列的求和. 【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前 项和公式、 数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力， 以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到 ， 进而得到 的通项公式是解答的关键. 12.已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 ， 使得 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得，设等比数列的公比为 ，由等比数列 满足 ，则 ， 即 ， 解 得 ， 又 因 为 存 在 两 项 ， 使 得 ， 即 ， 解 得 ， 所 以 ，当且仅当 ， 即 时等号是成立的，所以 的最小值为 ，故选 A. 考点：数列与不等式的综合问题. n 2 na n = nb { }na 7 6 52a a a= + ma na 14m na a a= 1 4 m n + 3 2 5 3 9 4 25 6 q { }na 7 6 52a a a= + 2 5 5 52a q a q a= + 2 2 0q q− − = 2q = ma na 14m na a a= 2 2 1 12 4m n m na a a a+ −= ⋅ = 6m n+ = 1 4 1 1 4 1 4 1 4 3( )( ) (5 ) (5 2 )6 6 6 2 n m n mm nm n m n m n m n + = + + = + + ≥ + ⋅ = 4n m m n + 2, 4m n= = 1 4 m n + 3 2 【方法点晴】本题主要考查了数列与不等式的综合问题，其中解答中涉及到等比数列的通项 公式、等比数列的性质以及基本不等式求最值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力， 以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据等比数列的通 项公式，得到 的值，进而使用基本不等式求解最值是解答的关键. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13.已知数列 中， 且 ，则 ． 【答案】 考点：等差数列的通项公式. 14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 则角 = ． 【答案】 考点：正弦定理. m n+ { }na 1 1a = * 1 1 1 1( )3n n n Na a+ = + ∈ 10a = 1 4 ABC A B C a b c cos 3 sin 0b C b C a c+ − − = B 3 π 15.设实数 ， 满足约束条件 若目标函数 （ ， ）的 最大 值为 10，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：由 ，得 ，作出约束条件表示的平面区域，如图所示，因 为 ，所以直线 的斜率为负，且截距最大时， 也最大，平移直线 ，由图象可知当 经过 时，由 ，解得 ，此 时 ，即 ，又 的几何意义为直线上的点到圆的距离的平 方，则圆心到直线的距离 ，则 的最小值为 . 考点：简单的线性规划问题. 【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、 线性规划求最值等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结 合思想的应用，属于中档试题，本题的解答中画出约束条件所表示的平面区域，利用 的几何意义为直线上的点到圆的距离的平方是解答的关键. 16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3， 5，8,13，……， x y 3 6 0, 2 0, 0, 0, x y x y x y − − ≤  − + ≥ ≥  ≥ z ax by= + 0a > 0b > 2 2a b+ 25 13 z ax by= + a zy xb b = − + 0, 0a b> > a zy xb b = − + z a zy xb b = − + a zy xb b = − + A 3 6 0 2 0 x y x y − − =  − + = (4,6)A 4 6 10z a b= + = 2 3 5 0a b+ − = 2 2a b+ 2 2 5 5 132 3 d −= = + 2 2a b+ 2 25 13d = 2 2a b+ 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数 列 称为“斐 波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数 的增加，前一 项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887.若把该数列 的每一项除以 4 所得的 余数按相对应 的顺序组成新数列 ，在数列 中第 2016 项的值是 ． 【答案】 考点：数列的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的递推关系式的 应用、数列的周期性的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力， 试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中仔细审题，根据数列的递推关系，得到数 列为周期数列是解答的关键. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分） 已知关于 的不等式 . （1）若不等式的解集为 ，求 的值； （2）若不等式的解集为 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ． { }na { }na { }nb { }nb 0 x 2 2 3 0kx x k− + < { }| 3 1x x x< − > −或 k φ k 1 2k = − 30, 3      试题解析：（1）由不等式的解集为 ， 可知 ，-3 和-1 是一元二次方程 的两根，（2 分） 所以 ，解得 . （4 分） （2）因不等式 的解集为 ， 若 ，则不等式 ，此时 ，不合题意； （6 分） 若 ，则 ，解得 （9 分） 综上实数 的取值范围为 . （10 分） 考点：一元二次不等式的应用. 18.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 . （1）求 的值； （2）若 ,△ 的周长为 5，求 的长. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得 ，即求解 的值；（2） 由（1）可知 ，∴ ，再由余弦定理和三角形周长，即可求解 的长. 试题解析：（1）由正弦定理 知， ， （2 分） 即 ， { }| 3 1x x x< − > −或 0k < 2 2 3 0kx x k− + = ( 3) ( 1 =3 2( 3) ( 1 = k − × − − × − ） ） 1 2k = − 2 2 3 0kx x k− + < φ 0k = 2 0x− < 0x > 0k ≠ 0 4 4 3 0 k k x > ∆ = − × ≥ 30 3k< ≤ k 30, 3      ABC A B C a b c cos 2cos 2 cos A C c a B b − −= sin sin C A 1cos 4B = ABC b 2 2b = sin 2sinC A= sin sin C A sin 2sin C A = 2c a= ,a b 2sin sin sin a b c RA B C = = = cos 2cos 2 2 sin 2 sin cos 2 sin A C R C R A B R B − ⋅ −= cos sin 2cos sin 2cos sin cos sinA B C B B C B A− = − 即 ， （4 分） 又由 知， ，所以 . （6 分） 考点：正弦定理；余弦定理. 19.已知数列 的前 项和 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）当 时， ；当 时， ，即可求解数列 的通项公式；（2）由（1）知 ，故 ，即可利用裂项求解数列的和. 试题解析：（1）当 时， ； （2 分） 当 时， . （4 分） 也满足 ， 故数列 的通项公式为 . （6 分） sin( ) 2sin( )A B B C+ = + A B C+ + =π sin 2sinC A= sin 2sin C A = { }na n 2 2n n nS += *n N∈ { }na 2 ( 1)na n n nb a= + − { }nb 2n na n= 2 1 2 2 2n nT n+= + − 1n = 1 1 1a S= = 2n ≥ 1n n na S S −= − { }na na n= 2 ( 1)n n nb n= + − 1n = 1 1 1a S= = 2n ≥ 2 2 1 ( 1) ( 1) 2 2n n n n n n na S S n− + − + −= − = − = 1a na n= { }na na n= 考点：数列的求和及 与 的关系. 20.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求使△ 面积最大时， ， 的值. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 由 题 意 及 正 弦 定 理 ， 得 ， 进 而 化 简 得 出 ，即可求解角 的大小；（2）由余弦定理 ，得出 ，利用基本不等式，得到 ，进而利用三角形的面积公式，求 ， 的 值. 试题解析：（1）因为 ， 由题意及正弦定理，得 ， （2 分） 即 . （4 分） 因为 ，所以 . na nS ABC A B C a b c 2 cos( ) cos a b A C c C + += C 2c = ABC a b 2 3C = π 2 3 3a b= = 2sin sin cos sin cos A B B C C + −= 1cos 2C = − C 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 24 a b ab= + + 4 3ab ≤ a b cos( ) cos( cosA C B+ = − = −π B) 2sin sin cos sin cos A B B C C + −= 2sin cos (sin cos cos sin ) sin( ) sinA C B C B C B C A= − + = − + = − (0, )A∈ π sin 0A > 所以 ,又因为 ，所以 . （6 分） 考点：解三角形的综合应用. 21.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售 （万件）与广告费 （万 元）之间的函数关系为 .已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生产 1 万元此产品 仍需再投入 32 万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占广 告费的 50%” 之和. （1）试将年利润 （万元）表示为年广告费 （万元）的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） ；（2）当年广告费为 万元时，企业利润最大，最 大值为 万元． 1cos 2C = − (0, )C ∈ π 2 3C = π Q x 3 1( 0)1 xQ xx += ≥+ W x 2 98 35 ( 0)2( 1) x xW xx − + += ≥+ 7 42 【解析】 试题分析：（1）由题意可得，产品的生产成本为 万元，得到每万件销售价，进而 得到年销售输入，即求解年利润的表达式；（2）令 ，则 ， 利用基本不等式求解最值，即可得到结论. 试题解析：（1）由题意可得，产品的生产成本为 万元，每万件销售价为 ， （2 分） ∴年销售收入为 ， （4 分） ∴年利润 . （6 分） 考点：实际应用问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到函数的解析式的求解、 基本不等式求最值的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力， 以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确审题，根据题设条件列出函数的解 析式，构造基本不等式，利用基本不等式求解最值是解答的关键. (32 3)Q + 1 ( 1)x t t+ = ≥ 3250 2 tW t  = − +   (32 3)Q + 32 3 150% 50%Q x Q Q + × + × 32 3 150% 50%Q x QQ Q  + × + × ⋅   3 1(32 3)2 2Q x= + + 3 1(32 3) (32 3)2 2W Q x Q x= + + − + − 21 98 35(32 3 ) ( 0)2 2( 1) x xQ x xx − + += + − = ≥+ 22.已知函数 满足 且 . （1）当 时，求 的表达式； （2）设 ， ，求证： … ； （3）设 ， ， 为 的前 项和，当 最大时，求 的值. 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） 或 时 取得最大 值． 试题解析：（1）令 ，则 ， ∴ ，即 ，∴ （3 分） （2）证明： 设 ，则 （5 分） ( )f x ( ) ( ) (f x y f x f y+ = ⋅ ） 1(1) 2f = *n N∈ ( )f n ( )na n f n= ⋅ *n N∈ 1 2 3a a a+ + + 2na+ < ( 1)(9 ) ( )n f nb n f n += − *n N∈ nS { }nb n nS n *1( ) ( )2 n f n n N = ∈   8n = 9 nS 1y = ( 1) ( ) (1)f x f x f+ = ⋅ ( 1) ( ) (1)f n f n f+ = ⋅ ( 1) 1 ( ) 2 f n f n + = *1( ) ( )2 n f n n N = ∈   1 2 n na n  = ⋅   1 2 3 1+n n nT a a a a a−= + + + + 2 3 11 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2 n n nT n n −       = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − + ⋅               2 3 1 11 1 1 1 1 11 2 ( 2) ( 1)2 2 2 2 2 2 n n n nT n n n − +         = ⋅ + ⋅ + + − + − + ⋅                   ∴ ∴ 即 （8 分） 考点：数列的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到抽象函数的性质的应 用，等比数列的通项公式、数列的乘公比错位相减法求和和数列的性质等知识点的综合考查， 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属 于难题，其中合理赋值、准确计算是解答本题的关键. 2 3 1 1 1 1(1 )1 1 1 1 1 1 1 12 2 112 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n nT n − +  −             = + + + + + − ⋅ = = −                      − 112 22 n nT − = − <   1 2 3 1+ 2n na a a a a−+ + + + <