专题10-3 二项式定理（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题10-3 二项式定理（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布 第三节 二项式定理 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1．【2017届 “超级全能生”浙江省高三3月联考】在二项式的展开式中，常数项是（ ）‎ A. -240 B. 240 C. -160 D. 160‎ ‎【答案】C ‎2．【2017届四川巴中市高中高三10月零诊】设为虚数单位，则的展开式中含的项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】由二项展开的通项公式，令，故的系数是，故选A.‎ ‎3.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】二项式展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】展开式的通项为，令得，所以展开式中的常数项为 ‎，故选B.‎ ‎4．【2017届江西南昌市高三上学期摸底】展开式中第3项的二项式系数为（ ）‎ A．6 B．-6 C．24 D．-24‎ ‎【答案】A ‎【解析】第3项的二项式系数为,选A.‎ ‎5．【2017届湖北武汉市部分学校高三上学期起点】若二次项的展开式中常数项为280，则实数（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎6．【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为（ ）‎ A．15 B．45 C．135 D．405‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，，令，，．故选C．‎ ‎7．【2017届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上入学摸底数学理试卷】二项式展开式中的常数项是 A．360 B．180 C．90 D．45‎ ‎【答案】B ‎【解析】，令，则．所以常数项为 ‎．故选B．‎ ‎8．【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】二项式的展开式中含项的系数是( )‎ A. 21 B. 35 C. 84 D. 280‎ ‎【答案】C ‎【解析】的系数为： ，故选C．‎ ‎9．【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下联考】的展开式中， 的系数为 （ ）‎ A. 240 B. 241 C. -239 D. －240‎ ‎【答案】C ‎10．【2018届云南省名校月考（一）】的展开式中的系数为（ ）‎ A. 4 B. -4 C. 6 D. -6‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以的项为，故的系数为，故选B.‎ ‎11．【2017届江西新余一中高三上开学】已知函数的图象过定点,则的展开式中, 的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】法一：的图象过定点（2,1）,故b=2,‎ 所以 ‎ ‎∴展开式中的系数为.‎ 法二：的图象过定点（2,1）,故b=2,‎ 所以 ，展开式中含x的项可采取以下办法获得：,从上述5个因式中取一个－3x，其他4个因式中均取常数项，于是得x的系数为 ‎ ‎12.【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13．【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】展开式中，的系数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式的通项为，‎ 所以展开式中的系数为。‎ 答案：.‎ ‎14.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】二项式中，所有的二项式系数之和为___________；系数最大的项为_________．‎ ‎【答案】 32 ‎ ‎【解析】所有的二项式系数之和为，展开式为，系数最大的项为和.‎ ‎15．【2017届上海市复旦大学附属中学高三上第一次月考】若二项式 展开式中含有常数项，则的最小取值是________‎ ‎【答案】‎ ‎16.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月】若 的展开式各项系数之和为64，则___；展开式中的常数项为___．‎ ‎【答案】 6 -540‎ ‎【解析】令,易得：；‎ 通项公式为 令,得常数项为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．求的展开式中的常数项，其中是除以的余数．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将变形为，借助以二项展开式可得到余数为10，从而得到的展开式的通项公式，由的次数为0可得到常数项 试题解析：除以的余数是，所以．‎ 设是展开式中的常数项，‎ 则 令得，所以．‎ 所以展开式中的常数项为．‎ ‎18．【2017届北京市大兴区第一次综合练习】已知数列满足， ， 表示不超过的最大整数（如），‎ 记，数列的前项和为.‎ ‎①若数列是公差为的等差数列，求；‎ ‎②若数列是公比为的等比数列，求．‎ ‎【答案】 6 ； .‎ ‎，则，‎ ‎ ‎ ‎；故答案为.‎ ‎19.设．‎ ‎（1）当时，若，求的值；‎ ‎（2）展开式中的系数是，当变化时，求系数的最小值．‎ ‎【答案】（1）244（2）16‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过赋值法令代入二项展开式可得到系数和的两个关系式，两式结合可求得的值；（2）由二项展开式的通项公式可由的系数是9得到，将系数转化为用 ‎ 系数为 又 因为，所以当或时最小，最小值为 ‎20．已知，‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求中含项的系数；‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）99；（Ⅲ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求展开式中奇数项与偶数项系数和问题，可用计算；（Ⅱ）由题意，由二项式定理可求得展开式中某项的系数；（Ⅲ）这类组合恒等式的证明，通常用构造法，把构造成一个多项式中某项的系数，由（Ⅱ）的提示可得是中的系数，另一方面对求和可得，这个展开式中的系数应该为，这样就能证得结论.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以 中含项的系数为 ‎ ‎（Ⅲ）设 （1）‎ 则函数中含项的系数为 ‎ ‎ （2）‎ ‎（1）-（2）得 中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 ‎ .‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎21.对于给定的函数，定义如下：，其中．‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当时，比较与的大小；‎ ‎（3）当时，求的不为0的零点．‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 令得，（舍去），‎ 所以的零点为0和． ‎ ‎22.在的展开式中，把叫做三项式系数．‎ ‎（1）当时，写出三项式系数的值；‎ ‎（2）类比二项式系数性质，给出一个关于三项式系数的相似性质，并予以证明；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎ 因为，‎ 所以．‎ 上式左边的系数为,而上式右边的系数为,‎ 由为恒等式,‎ 得 ‎ ‎