数学卷·2018届广东省阳江市阳春一中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）（a卷）（解析版）

数学卷·2018届广东省阳江市阳春一中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）（a卷）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省阳江市阳春一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（A卷）‎ ‎　‎ 一.选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知实数a和b均为非负数，则下面表达正确的是（　　）‎ A．a＞0且b＞0 B．a＞0或b＞0 C．b≥0或b≥0 D．a≥0且b≥0‎ ‎2．不等式（x﹣50）（60﹣x）＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，50） B．（60，+∞） C．（50，60） D．（﹣∞，50）∪（60，+∞）‎ ‎3．不等式ax2+bx+c＜0的解集为空集，则（　　）‎ A．a＜0，△＞0 B．a＜0，△≥0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△≥0‎ ‎4．在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（　　）‎ A．13 B．26 C．52 D．56‎ ‎5．关于双曲线9y2﹣16x2=144，下列说法错误的是（　　）‎ A．实轴长为8，虚轴长为6 B．离心率为 C．渐近线方程为 D．焦点坐标为（±5，0）‎ ‎6．下列命题为真命题的是（　　）‎ A．∀x∈N，x3＞x2‎ B．函数f（x）=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0‎ C．∃x0∈R，x02+2x0+2≤0‎ D．“x＞3”是“x2＞9”的必要条件 ‎7．已知实数a、b、c满足b+c=6﹣4a+3a2，c﹣b=4﹣4a+a2，则a、b、c的大小关系是（　　）‎ A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b ‎8．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则|PF1|•|PF2|的值是（　　）‎ A． B． C．b﹣n D．a﹣m ‎9．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．直线L： +=1与椭圆E： +=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎11．从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程ax2+by2+c=0中的系数，则确定不同椭圆的个数为（　　）‎ A．20 B．18 C．9 D．16‎ ‎12．已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：‎ ‎①对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；‎ ‎②对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；‎ ‎③y=f（x+2）的图象关于y轴对称．‎ 则下列结论中，正确的是（　　）‎ A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7） B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） C．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5） D．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0的否定是　　．‎ ‎14．（文）已知椭圆的一条弦的中点为P（4，2），求此弦所在直线l的方程．‎ ‎15．设x，y满足，则z=x+y的最小值为　　．‎ ‎16．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知m∈R且m＜﹣1，试解关于x的不等式：（m+3）x2﹣（2m+3）x+m＞0．‎ ‎18．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．‎ ‎（1）求b．‎ ‎（2）若a=，求角C．‎ ‎19．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．‎ ‎（1）求证：PB∥平面AEC ‎（2）求证：PB⊥AC．‎ ‎20．设数列{an}的前n项和为Sn，点均在直线上．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，试求Tn．‎ ‎21．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．‎ ‎（每平方米平均综合费用=）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？‎ ‎22．已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省阳江市阳春一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知实数a和b均为非负数，则下面表达正确的是（　　）‎ A．a＞0且b＞0 B．a＞0或b＞0 C．b≥0或b≥0 D．a≥0且b≥0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．‎ ‎【分析】根据非负数的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：若实数a和b均为非负数，‎ 则a≥0且b≥0，‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．不等式（x﹣50）（60﹣x）＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，50） B．（60，+∞） C．（50，60） D．（﹣∞，50）∪（60，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】将不等式（x﹣50）（60﹣x）＞0转化为（x﹣50）（x﹣60）＜0即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣50）（60﹣x）＞0，‎ ‎∴（x﹣50）（x﹣60）＜0，‎ ‎∴50＜x＜60．‎ ‎∴原不等式的解集为（50，60）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．不等式ax2+bx+c＜0的解集为空集，则（　　）‎ A．a＜0，△＞0 B．a＜0，△≥0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△≥0‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，结合不等式ax2+bx+c＜0的解集为空集，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质得，‎ 不等式ax2+bx+c＜0的解集为空集时，‎ 应满足．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（　　）‎ A．13 B．26 C．52 D．56‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】可得a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得a4+a10=4，而S13==，代入计算可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，‎ 代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，‎ 故数列的前13项之和S13=‎ ‎===26‎ 故选B ‎　‎ ‎5．关于双曲线9y2﹣16x2=144，下列说法错误的是（　　）‎ A．实轴长为8，虚轴长为6 B．离心率为 C．渐近线方程为 D．焦点坐标为（±5，0）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线9y2﹣16x2=144，知﹣=1，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵双曲线9y2﹣16x2=144，‎ ‎∴﹣=1，‎ ‎∴实轴长为8，虚轴长为6，离心率为，‎ 渐近线方程为，焦点坐标为（0，±5），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．下列命题为真命题的是（　　）‎ A．∀x∈N，x3＞x2‎ B．函数f（x）=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0‎ C．∃x0∈R，x02+2x0+2≤0‎ D．“x＞3”是“x2＞9”的必要条件 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由x=0，1可得x3=x2，即可判断A；由偶函数的定义和充分必要条件的定义，可判断B；‎ 由配方法和非负数，即可判断C；由充分必要条件的定义和不等式的解法即可判断D．‎ ‎【解答】解：对于A，当x=0或1时，x3=x2=0或1，则∀x∈N，x3＞x2为假命题；‎ 对于B，函数f（x）=ax2+bx+c为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），求得b=0，反之b=0，可得f（x）为偶函数 故充要条件是b=0，则B为真命题；‎ 对于C，x02+2x0+2=（x0+1）2+1＞0，则∃x0∈R，x02+2x0+2≤0为假命题；‎ 对于D，“x＞3”是“x2＞9⇔x＞3或x＜﹣3”的充分条件，故为假命题．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知实数a、b、c满足b+c=6﹣4a+3a2，c﹣b=4﹣4a+a2，则a、b、c的大小关系是（　　）‎ A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】把给出的已知条件c﹣b=4﹣4a+a2右侧配方后可得c≥‎ b，再把给出的两个等式联立消去c后，得到b=1+a2，利用基本不等式可得b与a的大小关系．‎ ‎【解答】解：由c﹣b=4﹣4a+a2=（2﹣a）2≥0，∴c≥b．‎ 再由b+c=6﹣4a+3a2①‎ c﹣b=4﹣4a+a2②‎ ‎①﹣②得：2b=2+2a2，即b=1+a2．‎ ‎∵，∴b=1+a2＞a．‎ ‎∴c≥b＞a．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则|PF1|•|PF2|的值是（　　）‎ A． B． C．b﹣n D．a﹣m ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆、双曲线的定义，结合|PF1|•|PF2|=，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=2，||PF1|﹣|PF2||=2，‎ ‎∴|PF1|•|PF2|==a﹣m．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用双曲线的通径与∠AF1B=90°，得到a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意可知，双曲线的通径为：，因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，‎ 所以2c=，‎ 所以2ca=c2﹣a2，‎ 所以e2﹣2e﹣1=0，解得e=1±，因为e＞1，所以e=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．直线L： +=1与椭圆E： +=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设出P1的坐标，表示出四边形P1AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P1AB的最大值，利用6√2﹣6＜3判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P，‎ ‎【解答】解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，‎ S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴Smax=6．‎ ‎∵S△OAB=×4×3=6为定值，‎ ‎∴S△P1AB的最大值为6﹣6．‎ ‎∵6﹣6＜3，‎ ‎∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程ax2+by2+c=0中的系数，则确定不同椭圆的个数为（　　）‎ A．20 B．18 C．9 D．16‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，先将方程为ax2+by2+c=0变形为+=1，由椭圆的标准方程分析可得a、b＞0，c＜0或a、b＜0，c＞0，进而分2种情况讨论：①当a、b＞0，c＜0时，‎ 分析可得a、b需要在1，2，3三个数中任取2个，由排列数公式计算可得其取法数目，c在﹣3，﹣2，﹣1三个数中任取1个，易得c有3种取法，由分步计数原理计算可得a、b、c三个数的取法数目，②当a、b＜0，c＞0时，此时得到的椭圆与①得到的椭圆重复，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，将方程为ax2+by2+c=0变形可得： +=1，‎ 若其表示椭圆，则必有﹣＞0，﹣＞0，即有a、b＞0，c＜0或a、b＜0，c＞0，‎ ‎①当a、b＞0，c＜0时，‎ a、b需要在1，2，3三个数中任取2个，有A32=3×2=6种取法，‎ c在﹣3，﹣2，﹣1三个数中任取1个，有3种取法，‎ 则a、b、c一共有6×3=18种取法，‎ 即一共可以确定18个椭圆，‎ ‎②当a、b＜0，c＞0时，同理，a、b、c也有18种取法，‎ 但此时得到的椭圆与①得到的椭圆重复，‎ 故一共可以确定18个椭圆，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：‎ ‎①对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；‎ ‎②对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；‎ ‎③y=f（x+2）的图象关于y轴对称．‎ 则下列结论中，正确的是（　　）‎ A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7） B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） C．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5） D．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）‎ ‎【考点】函数的周期性；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】求解本题需要先把函数的性质研究清楚，由三个条件知函数周期为4，其对称轴方程为x=2，在区间[0，2]上是增函数，观察四个选项发现自变量都不在已知的单调区间内故应用相关的性质将其值用区间[0，2]上的函数值表示出，以方便利用单调性比较大小．‎ ‎【解答】解：由①②③三个条件知函数的周期是4，在区间[0，2]上是增函数且其对称轴为x=2‎ ‎∴f（4.5）=f（0.5），‎ f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），‎ f（6.5）f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5）‎ ‎∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数 ‎∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0的否定是　∀x∈R，x2+2x+2＞0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】特称命题：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即∀x∈R，x2+2x+2≥0”．‎ ‎【解答】解：特称命题：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是全称命题：‎ ‎∀x∈R，x2+2x+2＞0‎ 故答案为：∀x∈R，x2+2x+2＞0．‎ ‎　‎ ‎14．（文）已知椭圆的一条弦的中点为P（4，2），求此弦所在直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】设弦的端点坐标为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，代入椭圆方程可得，①，，两式相减变形可求得直线斜率，利用点斜式可得直线方程，注意检验．‎ ‎【解答】解：设弦的端点坐标为（x1，y1），（x2，y2），‎ 则x1+x2=8，y1+y2=4，‎ 代入椭圆方程可得，①，②，‎ ‎①﹣②得，，‎ 整理可得=﹣=﹣，‎ 即kAB=﹣，‎ 由点斜式可得直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0，‎ 经检验符合题意，‎ 此弦所在直线l的方程：x+2y﹣8=0．‎ ‎　‎ ‎15．设x，y满足，则z=x+y的最小值为　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：‎ 由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是　m≤﹣5　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论 对称轴x=﹣＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围 ‎【解答】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．‎ 则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，‎ ‎①当图象对称轴x=﹣≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．‎ ‎②同理当﹣＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使 x∈（1，2）时f（x）＜0．‎ 由f（1）≤0解得m≤﹣5．综合①②得m范围m≤﹣5‎ 法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立 即解得即 m≤﹣5‎ 故答案为 m≤﹣5‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知m∈R且m＜﹣1，试解关于x的不等式：（m+3）x2﹣（2m+3）x+m＞0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】讨论m=﹣3时，原不等式变为3x﹣3＞0，求出解集；m≠﹣3时，原不等式（x﹣1）[（m+3）x﹣m]＞0，分﹣3＜m＜﹣1和m＜﹣3时，求出对应不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：当m=﹣3时，不等式（m+3）x2﹣（2m+3）x+m＞0变为3x﹣3＞0，‎ 解得x＞1； …‎ m≠﹣3时，不等式（m+3）x2﹣（2m+3）x+m＞0变为 ‎（x﹣1）[（m+3）x﹣m]＞0，‎ 当﹣3＜m＜﹣1时，1＞，解不等式得x＞1或x＜；…‎ 当m＜﹣3时，1＜，解不等式得1＜x＜；…‎ 综上，当m=﹣3时，原不等式的解集为（1，+∞）；‎ 当﹣3＜m＜﹣1时，原不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）；‎ 当m＜﹣3时，原不等式的解集为（1，）．…‎ ‎　‎ ‎18．在△‎ ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．‎ ‎（1）求b．‎ ‎（2）若a=，求角C．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=，由题意可得 ‎，结合B范围可求B，求得解析式，即可得解b=f（）的值．‎ ‎（2）由已知及正弦定理得，结合大边对大角及A的范围可求A，利用三角形内角和定理即可得解C的值．‎ ‎【解答】（本题满分为10分）‎ 解：（1）f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）=，‎ ‎∵f（x）是偶函数，‎ ‎∴…‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴…‎ ‎∴，‎ ‎∴．…‎ ‎（2）∵，由正弦定理得：，…‎ ‎∵a＜b，‎ ‎∴，‎ ‎∴从而．…‎ ‎　‎ ‎19．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．‎ ‎（1）求证：PB∥平面AEC ‎（2）求证：PB⊥AC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接BD交AC于点O，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．‎ ‎（2）设AD中点为F，连接BF、PF，推导出AC⊥BF，PF⊥AD，从而PF⊥AC，由此能证明AC⊥PB．‎ ‎【解答】证明：（1）连接BD交AC于点O，‎ ‎∵ABCD是矩形，∴O是BD中点，…‎ 又∵E是PD中点，‎ ‎∴OE是△DBP的中位线，‎ ‎∴OE∥PB，…‎ ‎∵OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，…‎ ‎∴PB∥平面AEC． …‎ ‎（2）设AD中点为F，连接BF、PF．‎ ‎∵PA=PD=AB=a，‎ ‎∴AD=BC=，AF=，∴．‎ ‎△△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…‎ 又PA=PD，F是AD的中点，∴PF⊥AD，…‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PF⊂平面PAD，‎ ‎∴PF⊥面ABCD，…‎ ‎∵AC⊂平面ABCD，∴PF⊥AC，‎ ‎∵PF∩BF=F，…‎ ‎∴AC⊥平面PBF，∵PB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥PB．…‎ ‎　‎ ‎20．设数列{an}的前n项和为Sn，点均在直线上．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，试求Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由点均在直线上，代入可得Sn的表达式，进而根据an与Sn的关系（n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1，an=Sn），得到数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）中数列{an}的通项公式结合，求出数列{bn}的首项和公式，代入等比数列前n项和公式可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得，，即．…‎ 当n≥2时，； …‎ 当n=1时，．…‎ 所以．…‎ ‎（2）由（1）得，…‎ 由，可知{bn}为等比数列．…‎ 由，…‎ 故．…‎ ‎　‎ ‎21．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．‎ ‎（每平方米平均综合费用=）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k的值；‎ ‎（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．‎ ‎【解答】解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，‎ 所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，‎ ‎1270=，‎ 解之得：k=50．‎ ‎（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知 f （n）=‎ ‎=+25n+825≥2+825=1 225（元）．‎ 当且仅当=25n，即n=8时等号成立．‎ 答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．‎ ‎　‎ ‎22．已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆的方程为： =4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，进而求出C点坐标，代入求出b2的值后，可得椭圆的方程．‎ ‎（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为﹣k，联立PC与椭圆方程，结合C在椭圆上，求出求xP=，同理xQ=，代入斜率公式可得kPQ=，由对称性求出B点坐标，可得kAB=，即kPQ=kAB，即与共线，再由向量共线的充要条件得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，‎ 则A（2，0），设所求椭圆的方程为： =4（0＜b＜1），由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，‎ 由•=0得AC⊥BC，‎ ‎∵|BC|=2|AC|，‎ ‎∴|OC|=|AC|，‎ ‎∴△AOC是等腰直角三角形，‎ ‎∴C的坐标为（1，1），‎ ‎∵C点在椭圆上 ‎∴=4，‎ ‎∴b2=，所求的椭圆方程为x2+3y2=4．‎ ‎（Ⅱ）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），‎ 不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为﹣k，‎ 直线PC的方程为：y=k（x﹣1）+1，直线QC的方程为y=﹣k（x﹣1）+1，‎ 由得：（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0（*）‎ ‎∵点C（1，1）在椭圆上，‎ ‎∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），xP=，同理xQ=，‎ kPQ==‎ 而由对称性知B（﹣1，﹣1），又A（2，0），‎ ‎∴kAB=，‎ ‎∴kPQ=kAB，‎ ‎∴与共线，且≠0，即存在实数λ，使=λ．‎