湖北省武汉外国语学校2019届高三3月份模拟质量检测数学（文）试题（解析版）
湖北省武汉外国语学校2019届高三3月份模拟质量检测数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A={x|x2-4x-5≥0}，B={x|2x<8}，则(∁RA)∩B=( )
A. (-5,3) B. (-∞,3) C. (-1,3) D. (0,3)
【答案】C
【解析】解：集合A={x|x2-4x-5≥0}={x|x≤-1或x≥5}，
B={x|2x<8}={x|x<3}，
∴∁RA={x|-1
log33=12，
z=lg10=12，
∴x>y>z；
∴输出的结果为x．
故选：A．
分析程序的运行知该程序运行后输出x、y、z中最大的数，比较x、y与z的大小即可．
本题考查了程序语言的应用问题，也考查了函数值大小比较问题，是基础题．
2. 抛物线C：x2=2py(p>0)焦点F与双曲线2y2-2x2=1一个焦点重合，过点F的直线交C'于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于M、N，若△OMN的面积为4，则|AF|的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】解：∵双曲线2y2-2x2=1，
∴a2=b2=12，
∴c2=a2+b2=1，
∴c=1，
∴p2=1，
解得p=2，F(0,1)．
设点A的坐标为(m,14m2)，
∵y=14x2，
∴y'=12x，
∴点A处的切线的斜率k=12m，
∴切线方程为y-14m2=12m(x-m)，
当x=0时，y=14m2，即N(0,-14m2)，
当y=0时，x=12m，即M(12m,0)，
∵△OMN的面积为4，
∴12×14m2×12|m|=4，
解得m=±4，
∵A=(4,4)或(-4,4)，
∴|AF|=42+(4-1)2=5，
故选：C．
先根据双曲线的焦点求出p的值，再根据导数的几何意义求出切线方程，根据面积求出点A的坐标，即可求出|AF|．
本题考查了双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质和导数的几何意义，属于中档题．
1. 函数f(x)=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的范围为( )
A. (-∞,-2) B. (-∞,2) C. (2,+∞) D. (-2,+∞)
【答案】A
【解析】解：(i)当a=0时，f(x)=-3x2+1，令f(x)=0，解得x=±33，函数f(x)有两个零点，舍去．
(ii)当a≠0时，f'(x)=3ax2+6x=3ax(x+2a)，令f'(x)=0，解得x=0或-2a．
①当a<0时，-2a>0，当x>-2a或x<0，f'(x)<0，此时函数f(x)单调递减；
当00，此时函数f(x)单调递增．
∴故x=-2a是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)
的极小值点．
∵函数f(x)=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x0<0，则f(-2a)=-8a2+12a2-1=4a2-1<0，
即a2>4得a>2(舍)或a<-2．
②当a>0时，-2a<0，当x<-2a或x>0时，f'(x)>0，
此时函数f(x)单调递增；
当-2abm2，则a>b；②若a>b，则a|a|>b|b|；③若b>a>0，m>0，则a+mb+m>ab；④若a>b>0且|lna|=|lnb|，则2a+b∈(3,+∞)
正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】解：对于实数a，b，m，①若am2>bm2，则m≠0，m2>0，a>b成立；
②若a>b，由f(x)=x|x|为奇函数，且x≥0时，f(x)递增，可得f(x)在R上递增，
则a|a|>b|b|成立；
③若b>a>0，m>0，则a+mb+m-ab=ab+bm-ab-amb(b+m)=m(b-a)b(b+m)>0，
可得a+mb+m>ab成立；
④若a>b>0且|lna|=|lnb|，则lna>lnb，即有a>1，0=MO⋅MA|MO|⋅|MA|=4-22cosθ22(4-22cosθ)+2．
令4-22cosθ=t(t∈[4-22,4+22])，
则cos=t22t-2=122⋅t2t-1=122⋅1-1t2+1t．
当1t=12，即t=2时，cos有最小值为22，则∠OMA的最大值为π4．
故答案为：π4．
设动点M的坐标为(x,y)，再由P和Q的坐标，利用两点间的距离公式分别表示出|PM|及|QM|，由距离之比为列出关系式，整理后即可得到动点M轨迹方程，设M(2cosθ,2sinθ)，则MO=(-2cosθ,-2sinθ)，MA=(2-2cosθ,-2sinθ)，利用数量积求夹角，再由换元法及配方法求最值．
本题考查轨迹方程的求法，训练了利用三角函数的应用，训练了利用换元及配方法求最值，是中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
1. 已知向量m=(cosx,1)，n=(sinx,32).
(1)当m//n时，求sinx+3cosx3sinx-cosx的值；
(2)已知钝角△ABC中，角A为钝角，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且c=2asin(A+B)，若函数f(x)=m2-n2，求f(A)的值．
【答案】解：(1)向量m=(cosx,1)，n=(sinx,32)；
当m//n时，32cosx-sinx=0，即tanx=32，
所以sinx+3cosx3sinx-cosx=tanx+33tanx-1=32+33×32-1=33；
(2)△ABC中，c=2asin(A+B)，
由正弦定理得sinC=2sinAsinC，
又sinC≠0，
所以sinA=12，
又A为钝角，所以A=5π6；
所以函数f(x)=m2-n2=cos2x+1-sin2x-34=cos2x+14，
所以f(A)=cos5π3+14=12+14=34．
【解析】(1)根据平面向量的共线定理与坐标表示列方程求出tanx的值，再利用弦化切计算sinx+3cosx3sinx-cosx的值；
(2)根据正弦定理和三角恒等变换求得A的值，再化简函数f(x)，从而求得f(A)的值．
本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，也考查了三角恒等变换与正弦定理的应用问题，是中档题．
1. 近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积y(单位：平方公里)的数据如表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
绿化面积y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积，并计算2017年年初至2022年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少．
(附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1n(ti-t-)(yi-y-)i=1n(ti-t-)2，a=y--bt-，lg3≈0.477，lg2≈0.301，100.0352≈1.084)
【答案】解：(1)t-=1+2+3+4+5+6+77=4，
y-=2.4+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.97=4.3．
b=i=1n(ti-t-)(yi-y-)i=1n(ti-t-)2=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+…+3×1.6(-3)2+(-2)2+⋯+32=0.5，
a=y--bt-=2.3，………………(4分)
线性回归方程为：y=0.5t+2.3. ………………(6分)
(2)将2022年年号11代入，预测绿化面积为7.8平方公里 ………………(9分)
设年平均增长率为x，则(1+x)5=7.85.2，5lg(1+x)=lg32，x=10lg3-lg25-1≈0.084．
年平均增长率约为8.4%.………………(12分)
【解析】(1)计算t-、y-，求出回归系数b、a，即可写出线性回归方程；
(2)设年平均增长率为x，则(1+x)5=7.85.2，求解x即可．
本题考查了计算平均数与线性回归方程的应用问题，是中档题．
2.
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA=AB=BC=4，∠ABC=90∘，PC=43，D为线段AC的中点，E是线段PC上一动点．
(1)当DE⊥AC时，求证：PA//面DEB；
(2)当△BDE的面积最小时，求三棱锥E-BCD的体积．
【答案】证明：(1)直角△ABC中，AC=42，
△PAC中，由PA2+AC2=PC2，知PA⊥AC，………………(3分)
∴PA//ED，又PA⊄面EDB，∴PA//面EDB.………………(6分)
解：(2)等腰直角△ABC中，由D为AC中点知，DB⊥AC，
又由PA⊥AC，PA⊥AB，AB∩AC=A，知PA⊥面ABC，
由DB⊂面ABC，得PA⊥DB，
又DB⊥AC，PA∩AC=A，知DB⊥面PAC，
由DE⊂面PAC，得DE⊥DB，
即△EBD为直角三角形，………………(9分)
∴DE最小时，△BDE的面积最小
过点D作PC的垂线时，当E为垂足时，DE最小为263，
∴VE-BCD=13×S△BDE×EC=169.………………(12分)
【解析】(1)推导出PA⊥AC，PA//ED，由此能证明PA//面EDB．
(2)由D为AC中点知，DB⊥AC，由PA⊥AC，PA⊥AB，知PA⊥面ABC，从而PA⊥DB，再由DB⊥AC，知DB⊥面PAC，从而DE⊥DB，进而△EBD为直角三角形，由此得到DE最小时，△BDE的面积最小过点D作PC的垂线时，当E为垂足时，DE最小为263，由此能求出三棱锥E-BCD的体积．
本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
1. 在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P(1,32)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率存在，纵截距为-2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若直线AP，BP的斜率均存在，求证：直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列．
【答案】解：(1)由ca=12，1a2+94b2=1，
知a=2，b=3，c=1，
故C：x24+y23=1…………………(5分)
(2)设l：y=kx-2，代入知(3+4k2)x2-16kx+4=0，
∵△>0∴k2>14，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2 ………………(7分)
KAP+KBP=y1-32x1-1+y2-32x2-1=2kx1x2-(k+72)(x1+x2)+7x1x2-(x1+x2)+1=8k-16k(k+72)+7(3+4k2)4-16k+3+4k2
=12k2-48k+214k2-16k+7=3，
∴KAP+KBP=2KOP直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列.
………………(12分)
【解析】(1)根据椭圆的离心率以及点在椭圆上，椭圆的性质求出a，b，c的值即可；
(2)联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理求出KAP+KBP的值，结合KOP，从而证明结论．
本题考查了椭圆的性质，考查直线和椭圆的关系以及二次函数的性质，考查转化思想，等差数列，是一道综合题．
1. 已知函数f(x)=a+12x2-ax-lnx(a∈R)．
(1)当a=-3时，求f(x)的单调递减区间；
(2)对任意的a∈(-3,-2)，及任意的x1，x2∈[1,2]，恒有|f(x1)-f(x2)|1
∴f(x)的递减区间为(0,12)，(1,+∞)；
(2)f'(x)=(a+1)x-a-1x=(a+1)x2-ax-1x=(x-1)[(a+1)x+1]x
由a∈(-3,-2)，知-1a+1∈(12,1)，
∴f(x)在区间[1,2]上递减，
∴f(1)-f(2)32a+12对a∈(-3,-2)恒成立，
∵y=32a+12在区间(-3,-2)上为减函数，
∴y<-12+12=0，
∴t≥0．
【解析】(1)求导函数，利用f'(x)<0，确定函数单调减区间；
(2)确定f(x)在[1,2]上单调递减，可得f(x)的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得
t>32a+12对a∈(-3,-2)恒成立，从而可求实数t的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想，属中档题．
1. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x=1+tcosθy=3+tsinθ，t为参数，θ∈[0,π).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ=8sin(θ+π6).
(1)在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标；
(2)设点P(1,3)，若直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|⋅|PB|为定值，并求出该定值．
【答案】解：(1)圆C的极坐标方程为：ρ=8sin(θ+π6).
转换为直角坐标方程为：x2+y2-4x-43y=0，
转换为标准式为：圆(x-2)2+(y-23)2=16，
所以圆心的直角坐标为(2,23).
(2)将直线l的参数方程为：x=1+tcosθy=3+tsinθ，t为参数，θ∈[0,π)．
代入(x-2)2+(y-23)2=16，
所以：t2-(23sinθ+2cosθ)t-12=0，(点A、B对应的参数为t1和t2)，
则：t1t2=-12，
故：|PA||PB|=|t1t2|=12．
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
2. 设函数f(x)=|x+1|+|x-a|(x∈R)
(1)当a=2时，求不等式f(x)>5的解集；
(2)对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=|x+1|+|x-2|>5，
当x≥2时x+1+x-2>5，可得x>3；
当-1≤x<2时x+1-x+2>5，解得x∈⌀，
当x<-1时-x-1+x-2>5，解得x<-2；
综上：x∈(-∞,-2)∪(3,+∞) ………………(5分)
(2)|x+1|+|x-a|≥|a+1|，对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，
∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤-4.………………(10分)
【解析】(1)通过a=2，结合x的取值，去掉绝对值符号化简求解不等式即可．
(2)利用绝对值的几何意义，转化不等式求解即可．
本题考查不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，考查转化思想以及计算能力．
