江苏省启东中学2019-2020学年高二下学期期初考试数学试题

江苏省启东中学2019-2020学年高二下学期期初考试数学试题

江苏省启东中学2019-2020学年度第二学期期初考试 高二数学 命题人： ‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．与曲线相切且过原点的直线的斜率为（ ）‎ A．2 B．‎-5 ‎C．-1 D．-2‎ ‎2．已知等差数列中，，则的值是（ ）‎ A．4 B．‎16 ‎C．2 D．8‎ ‎3．已知复数满足，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知随机变量，若，则，分别是（ ）‎ A．4和2.4 B．2和‎2.4 ‎C．6和2.4 D．4和5.6‎ ‎5．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）‎ A．4 B．‎2 ‎C．1 D．8‎ ‎6．展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．‎24 ‎C．32 D．56‎ ‎7．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（ ）‎ A．可以是等差数列 B．可以是等比数列 C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列 ‎10．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的增区间是 B．函数的增区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 ‎11．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）‎ A．直线与垂直；‎ B．若点坐标为，则直线方程为；‎ C．若直线方程为，则点坐标为 D．若直线方程为，则.‎ ‎12．下列说法中，正确的命题是（ ）‎ A．已知随机变量服从正态分布，，则．‎ B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．‎ C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．‎ D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 ‎ 位置上。‎ ‎13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.‎ ‎14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.‎ ‎15．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.‎ ‎16．已知函数在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为_________；若p>0，在[1,e]上至少存在一点，使得成立，则实数p的取值范围为_________．(本题第一空2分，第二空3分)‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．(本小题满分10分) ‎ 已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：‎ 车型 A型 B型 C型 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎40‎ 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．‎ ‎（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；‎ ‎（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：‎ 优秀 合格 合计 男司机 ‎10‎ ‎38‎ ‎48‎ 女司机 ‎25‎ ‎27‎ ‎52‎ 合计 ‎35‎ ‎65‎ ‎100‎ 问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．‎ ‎（参考公式：）‎ 附表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ K ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 设函数.‎ ‎（1）当时，求在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为.‎ ‎（1）求甲对以4:3获胜的概率；‎ ‎（2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列及数学期望.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎ 在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数是常数），此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的值，并求的最大值；‎ ‎（2）设，函数，若对任意的，总存在，使 ，求实数的取值范围.‎ ‎2019～2020学年第二学期第一次月考试题 高二数学参考答案及评分建议 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．与曲线相切且过原点的直线的斜率为（ ）‎ A．2 B．‎-5 ‎C．-1 D．-2‎ ‎【答案】B ‎2．已知等差数列中，，则的值是（ ）‎ A．4 B．‎16 ‎C．2 D．8‎ ‎【答案】D ‎3．已知复数满足，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎4．已知随机变量，若，则，分别是（ ）‎ A．4和2.4 B．2和‎2.4 ‎C．6和2.4 D．4和5.6‎ ‎【答案】A ‎5．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）‎ A．4 B．‎2 ‎C．1 D．8‎ ‎【答案】C ‎6．展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．‎24 ‎C．32 D．56‎ ‎【答案】D ‎7．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过 作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎8．直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎C． D．‎ ‎【答案】D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（ ）‎ A．可以是等差数列 B．可以是等比数列 C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列 ‎【答案】ABD ‎10．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的增区间是 B．函数的增区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 ‎【答案】BD ‎11．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）‎ A．直线与垂直；‎ B．若点坐标为，则直线方程为；‎ C．若直线方程为，则点坐标为 D．若直线方程为，则.‎ ‎【答案】BD ‎12．下列说法中，正确的命题是（ ）‎ A．已知随机变量服从正态分布，，则．‎ B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．‎ C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．‎ D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．‎ ‎【答案】BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 ‎ 位置上。‎ ‎13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.‎ ‎【答案】240‎ ‎15．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎16．已知函数在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为_________；若p>0，在[1,e]上至少存在一点，使得成立，则实数p的取值范围为_________．(本题第一空2分，第二空3分)‎ ‎【答案】1， ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．(本小题满分10分) ‎ 已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【解】‎ ‎(1)设等差数列的公差为，‎ ‎ 是与的等比中项.‎ ‎ 即 ‎ 或； ……………2分 ‎ ‎ ‎ ……………4分 ‎(2)由（1）知 ‎ ……………7分 ‎ ‎ ‎.‎ ‎……………10分 ‎18．(本小题满分12分)‎ 某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：‎ 车型 A型 B型 C型 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎40‎ 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．‎ ‎（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；‎ ‎（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：‎ 优秀 合格 合计 男司机 ‎10‎ ‎38‎ ‎48‎ 女司机 ‎25‎ ‎27‎ ‎52‎ 合计 ‎35‎ ‎65‎ ‎100‎ 问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．‎ ‎（参考公式：）‎ 附表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ K ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解】‎ ‎ （1）A、B、C型汽车抽取数目分别为，，， ‎ ‎ ……………3分 ‎（2）根据题意，‎ ‎ ……………8分 所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系．‎ ‎ ……………10分 答：（1）A、B、C型汽车抽取数目分别为2，4，4‎ （2） 在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系 ‎ ……………12分 ‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 设函数.‎ ‎（1）当时，求在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.‎ ‎【解】‎ 函数的定义域为.‎ ‎（1）当时，，‎ 又，切点坐标为，切线斜率为，‎ 所以切线方程为； ……………4分 ‎ ‎（2）当时，，‎ 所以在上单调递减， ……………6分 ‎ 当时，，‎ 又 ‎， ……………10分 ‎ 所以函数在上存在零点. ……………12分 ‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为.‎ ‎（1）求甲对以4:3获胜的概率；‎ ‎（2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列及数学期望.‎ ‎【解】‎ ‎（1）设甲队以获胜的事件分别为B ‎∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，‎ ‎∴‎ ‎ ∴甲队以获胜的概率分别为 ……………4分 ‎（2）随机变量X的可能取值为5，6，7‎ ‎∴‎ ‎ ……………7分 ‎∴随机变量X的分布列为 X ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎ ‎ ‎ ……………9分 ‎∴ ……………12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎ 在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.‎ ‎【解】‎ （1） 设圆的切线为，点.‎ 由方程组 所以，‎ 得. ……………2分 因为，‎ 所以，即.‎ 又因为点在直线上，‎ 所以，‎ 即.‎ 所以，‎ 化简得， ……………4分 所以圆的半径，所以圆的方程为.‎ ‎……………5分 当切线AB为时，易得圆的方程为 ……………6分 （2） 设点，点，‎ 由，得. ……………7分 代入椭圆和圆得 ‎ ‎ 解得或者 所以点或. ……………10分 故直线的方程为或． ……………12分 ‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数是常数），此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的值，并求的最大值；‎ ‎（2）设，函数，若对任意的，总存在，使 ，求实数的取值范围.‎ ‎【解】‎ ‎（1）对求导，得，‎ 由题意可得，‎ 解得， ……………1分 故，‎ 又定义域为，且，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减， ……………2分 所以当时，有极大值，也为最大值且.‎ ‎ ……………3分 ‎（2）设的值域为的值域为,‎ 由题意“对于任意的，总存在使得”，等价于， ……………4分 由（1）知，‎ 因为，所以，故在上单调递减，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以， ……………7分 因为，‎ 所以，‎ 因为，故，‎ 所以在上是增函数，‎ 所以，‎ 即，‎ 故 ……………10分 由，得，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是. ……………12分