2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学(文)试题

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2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学(文)试题

南昌十中2017-2018学年上学期期中考试试卷 高二数学试题(文科)‎ 一、 选择题(本大题共12题,每小题5分,共计60分)‎ ‎1.抛物线的焦点到其准线的距离是 (  )‎ A.    B. C. D.‎ ‎2.双曲线的渐近线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知椭圆的两个焦点为、,且,弦AB过点,则△的周长为( )‎ ‎ A.10 B.20 C.2 D.‎ ‎4.椭圆上一点到右准线的距离为,则到左焦点的距离为( ) ‎ A.  B.  C. D.‎ ‎5.已知双曲线的准线经过椭圆的焦点,则( )‎ A.3 B. C. D.‎ ‎6. 直线 (t是参数)被圆截得的弦长等于(   ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )‎ A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1‎ ‎8.已知是抛物线上一动点,则点到直线和轴的距离之和 ‎ 的最小值是(   ) ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎9.若实数、满足: ,则的取值范围是( )‎ A. , B. , C. , D. , ‎ ‎10.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则 的值等于(   ) ‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎11.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )‎ A. B. C.[ D. ‎ ‎12.设椭圆: 的右顶点为,右焦点为, 为椭圆在第二象限上的点,直线交椭圆于点, 为原点,若直线平分线段,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4题,每小题5分,共计20分)‎ ‎13.抛物线的焦点坐标是________________.‎ ‎14.曲线C1:y=|x|,C2:x=0,C3的参数方程为(t为参数),则C1,C2,C3围成的图形的面积为 .‎ ‎15.已知椭圆:,左右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为,则椭圆标准方程为___________.‎ ‎16.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.‎ 三、解答题(17题10分,18-22每题12分,共70分)‎ ‎17.(10分)焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.‎ ‎18.(12分)已知抛物线,过焦点F的弦的倾斜角为,且与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎19.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,点在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆相交于、两点,若的中点恰好为点,求直线的方程.‎ ‎20.已知椭圆C:,直线(t为参数).‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程;‎ ‎(2)设,若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等,求点P的坐标.‎ ‎21.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.(1)求双曲线方程;‎ (2) 若点在双曲线上,求证:点在以为直径的圆上;‎ (3) 在(2)的条件下求的面积.‎ ‎22.平面直角坐标系xOy中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,当时的斜率为.‎ ‎(1) 求的方程;‎ ‎(2)轴上是否存在点,使得变化时总有,若存在请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.‎ 南昌十中2016-2017学年上学期期中考试 高二文科数学答案 一、 选择题(本大题共12题,每小题5分,共计60分)‎ ‎1-5 B C D A C 6-10 D A D A C 11-12 C B 二.填空题(本大题共4题,每小题5分,共计20分)‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、简答题(本大题共6小题,17题10分,18-22题,每题12分)‎ ‎17. 设焦点在轴上的双曲线方程为,‎ 则渐近线方程为.‎ ‎①代入方程 得 ‎②代入方程 得 ‎18.(1)证明:如右图,焦点F的坐标为F(,0).‎ 设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·(x-),与抛物线方程联立,消去y并整理,得tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+=0...........................2分 此方程的两根应为交点A、B的横坐标,根据韦达定理,有x1+x2=....4分 设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|,根据抛物线的定义,有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.........................6分 ‎(2)解析:因|AB|=的定义域是0<θ<π,又sin2θ≤1,‎ 所以,当θ=时,|AB|有最小值2p................................12分 ‎19.【答案】(1);(2).‎ 解:(1)由题得,又 ,‎ 解得,∴椭圆方程为:............6‎ ‎(2)设直线的斜率为, ,∴ ,‎ 两式相减得,∵是AB中点,‎ ‎∴ ,代入上式得: ,解得 ,‎ ‎∴直线 ......12‎ ‎20.【答案】(1),x-y+9=0;(2).‎ 解:(Ⅰ)C:(θ为参数),l:x-y+9=0. ‎ ‎(Ⅱ)设,‎ 则,‎ P到直线l的距离.‎ 由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5,又sin2θ+cos2θ=1,得,.‎ 故. ‎ 19. ‎【答案】(1)(2)见解析(3)6‎ 试题解析:离心率为,双曲线为等轴双曲线,设双曲线方程为 点在曲线上,代入得,‎ (2) 证明:点在双曲线上,‎ 点在以为直径的圆上。‎ ‎(3)‎ ‎22.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)Q(2,0),使得∠AQO=∠BQO 解:(Ⅰ)因为l:y=kx﹣k过定点(1,0),所以c=1,a2=b2+1.‎ 当k=1时,直线l:y=kx﹣k,联立,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),化简得(2b2+1)x2﹣2(b2+1)x+1﹣b4=0,‎ 则,于是,‎ 所以AB中点P的坐标为,OP的斜率为,‎ 所以b=1,.从而椭圆C的方程为;‎ ‎(Ⅱ)假设存在点Q设坐标为(m,0),联立,‎ 化简得:(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,所以,,‎ 直线AQ的斜率,直线BQ的斜率.‎ 当时,‎ 所以存在点使得∠AQO=∠BQO ‎ ‎
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