2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学（文）试题

2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学（文）试题

南昌十中2017-2018学年上学期期中考试试卷 高二数学试题(文科)‎ 一、 选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．抛物线的焦点到其准线的距离是 (　　)‎ A.　　　　B. C． D．‎ ‎2．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（ ）‎ ‎ A．10 B．20 C．2 D．‎ ‎4.椭圆上一点到右准线的距离为，则到左焦点的距离为( ) ‎ A.　 B.　 C. D.‎ ‎5．已知双曲线的准线经过椭圆的焦点，则( )‎ A.3 B. C. D.‎ ‎6. 直线 （t是参数）被圆截得的弦长等于（   ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )‎ A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1‎ ‎8.已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和 ‎ 的最小值是（   ） ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎9.若实数、满足： ，则的取值范围是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎10.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则 的值等于（   ） ‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎11．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C.[ D. ‎ ‎12．设椭圆： 的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点， 为原点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．抛物线的焦点坐标是________________.‎ ‎14．曲线C1：y＝|x|，C2：x＝0，C3的参数方程为(t为参数)，则C1，C2，C3围成的图形的面积为 ．‎ ‎15．已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则椭圆标准方程为___________．‎ ‎16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.‎ 三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）‎ ‎17.（10分）焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.‎ ‎18.（12分）已知抛物线，过焦点F的弦的倾斜角为,且与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎19.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆E上．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求直线的方程．‎ ‎20．已知椭圆C：，直线（t为参数）．‎ ‎（1）写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程；‎ ‎（2）设，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎21.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线方程；‎ （2） 若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；‎ （3） 在（2）的条件下求的面积.‎ ‎22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，当时的斜率为．‎ ‎（1） 求的方程；‎ ‎（2）轴上是否存在点，使得变化时总有，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ 南昌十中2016-2017学年上学期期中考试 高二文科数学答案 一、 选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1-5 B C D A C 6-10 D A D A C 11-12 C B 二．填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)‎ ‎17. 设焦点在轴上的双曲线方程为，‎ 则渐近线方程为.‎ ‎①代入方程 得 ‎②代入方程 得 ‎18.（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（,0）.‎ 设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+=0...........................2分 此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=....4分 设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.........................6分 ‎（2）解析：因|AB|=的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，‎ 所以，当θ=时，|AB|有最小值2p................................12分 ‎19．【答案】（1）；（2）.‎ 解：（1）由题得，又 ，‎ 解得，∴椭圆方程为：............6‎ ‎（2）设直线的斜率为， ，∴ ，‎ 两式相减得，∵是AB中点，‎ ‎∴ ，代入上式得： ，解得 ，‎ ‎∴直线 ......12‎ ‎20．【答案】（1），x－y＋9＝0；（2）．‎ 解：（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0． ‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则，‎ P到直线l的距离．‎ 由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得，．‎ 故． ‎ 19. ‎【答案】(1)（2）见解析（3）6‎ 试题解析：离心率为，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为 点在曲线上，代入得，‎ （2） 证明：点在双曲线上，‎ 点在以为直径的圆上。‎ ‎（3）‎ ‎22．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO 解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．‎ 当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，‎ 则，于是，‎ 所以AB中点P的坐标为，OP的斜率为，‎ 所以b=1，．从而椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，‎ 化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以，，‎ 直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．‎ 当时，‎ 所以存在点使得∠AQO=∠BQO ‎ ‎