2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

‎2.3 等腰三角形的性质定理(二)‎ A组 ‎1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为__32°__．‎ ‎,(第1题))　　,(第2题))‎ ‎2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．‎ ‎3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C)‎ A． 35° B． 45°‎ C． 55° D． 60°‎ ‎,(第3题))　　,(第4题))‎ ‎4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B)‎ A． 18 B． 20‎ C． 22 D． 24‎ ‎(第5题)‎ ‎5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．‎ ‎【解】　连结AD．‎ ‎∵AB＝AC，D为BC的中点，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD．‎ ‎∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．‎ ‎(第6题)‎ ‎6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，‎ 5‎ 连结AE．求证：AB平分∠EAD．‎ ‎【解】　∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴BD＝DC，AD⊥BC．‎ 又∵BE＝DC，∴BD＝BE．‎ 又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，‎ ‎∴△ABD≌△ABE(SAS)，‎ ‎∴∠BAD＝∠BAE，‎ 即AB平分∠EAD．‎ ‎(第7题)‎ ‎7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF＝ED．‎ ‎【解】　∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．‎ 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．‎ B组 ‎(第8题)‎ ‎8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)‎ A． 当∠B为定值时，∠CDE为定值 B． 当α为定值时，∠CDE为定值 C． 当β为定值时，∠CDE为定值 D． 当γ为定值时，∠CDE为定值 ‎【解】　∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．‎ ‎∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．‎ ‎∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，‎ 即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，‎ ‎∴2∠CDE＝α．‎ ‎9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A‎1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A‎2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．‎ ‎(第9题)‎ 5‎ ‎【解】　由题意可知：AO＝A‎1A，A‎1A＝A‎2A1，…，‎ 则∠AOA1＝∠OA‎1A，∠A1AA2＝∠A‎1A2A，…．‎ ‎∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．‎ 同理可得∠A‎2A1C＝27°，∠A‎3A2B＝36°，∠A‎4A3C＝45°，∠A‎5A4B＝54°，∠A‎6A5C＝63°，∠A‎7A6B＝72°，∠A‎8A7C＝81°，∠A‎9A8B＝90°，‎ ‎∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：△AEF≌△BCF．‎ ‎(第10题)‎ ‎【解】　过点F作FG⊥AB于点G．‎ ‎∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，‎ ‎∴∠ABF＝45°．‎ ‎∵FG⊥AB，‎ ‎∴∠AGF＝∠BGF＝90°．‎ 在△AGF和△BGF中，‎ ‎∵ ‎∴△AGF≌△BGF(AAS)，‎ ‎∴AF＝BF．‎ ‎∵AB＝AC，D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∴∠EAF＋∠C＝90°．‎ ‎∵BF⊥AC，‎ ‎∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，‎ ‎∴∠EAF＝∠CBF．‎ 在△AEF和△BCF中，‎ ‎∵ ‎∴△AEF≌△BCF(ASA)．‎ ‎(第11题)‎ 5‎ ‎11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．‎ ‎(1)求证：DE＝DF．‎ ‎(2)问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，那么它们还相等吗？‎ ‎【解】　(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，‎ ‎∴AD平分∠BAC．‎ ‎∵DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴DE＝DF．‎ ‎(2)相等．理由如下：‎ 由(1)知AD⊥BC，∠DAE＝∠DAF，‎ ‎∴∠ADB＝∠ADC＝90°．‎ ‎∵DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，‎ ‎∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，‎ ‎∴∠ADE＝∠ADF．‎ 在△ADE和△ADF中，‎ ‎∵ ‎∴△ADE≌△ADF(ASA)，‎ ‎∴DE＝DF．‎ 数学乐园 ‎(第12题)‎ ‎12．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，求∠CEF的度数．‎ ‎【解】　连结BO．‎ ‎∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，‎ ‎∴∠OBA＝∠OAB＝∠BAC＝25°．‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝50°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝65°．‎ ‎∴∠OBC＝65°－25°＝40°．‎ 根据等腰三角形的对称性，得∠OCB＝∠OBC＝40°．‎ ‎∵点C沿EF折叠后与点O重合，‎ ‎∴EO＝EC，∠CEF＝∠OEF，‎ ‎∴∠EOC＝∠ECO＝40°，‎ 5‎ ‎∴∠CEF＝∠OEF＝＝50°．‎ 5‎