2017-2018学年重庆一中高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年重庆一中高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年重庆一中高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.‎ ‎1. 命题“，”的否定是（ ）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题的否定是 故选B ‎2. “,”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵若方程表示双曲线，则或 ‎∴“,”是“方程表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件 故选A ‎3. 设，为直线与圆的两个交点，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D.‎ 考点：直线与圆的交点弦长 视频 ‎4. 在中，分别为角的对边，若，，，则（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴根据正弦定理，即 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴或 故选C ‎5. 设、是两条不见的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】对于，若∥，∥，则∥或，故错误；对于，若∥，，则，故正确；对于，，，则∥或者，故错误；对于，若，∥，则∥或或与相交，故错误.‎ 故选B ‎6. 已知命题若，则；命题若，则，下列命题为真的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于命题，若，则，故命题为假命题，为真命题；对于命题，若，则时，故命题为假命题，为真命题 故选C ‎7. 若在定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知 若在上为单调递增函数，则在上恒成立 ‎∴，即 故选D 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：‎ ‎（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；‎ ‎（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.‎ ‎8. 圆心在抛物线上的动圆始终过点，则直线与动圆的位置关系为（ ）‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】为抛物线焦点，圆心在抛物线上，由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线的距离，因此刚好相切.‎ 故选B ‎9. 平面内一动点到直线的距离与它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则由题意得，整理得 故选A 点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程，属于中档题. 求轨迹方程的常见方法有: ① 直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；② 定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③ 参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④ 逆代法，将代入.本题就是利用方法①动点的轨迹方程的.‎ ‎10. 一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎=‎ 故选A．‎ 考点：三视图．‎ ‎11. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，若，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由知，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵由椭圆得定义知 ‎∴‎ 故选C ‎12. 若函数满足：对，均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间上的“小囧囧函数”。则下列四个函数：，；，；，；，中，“小囧囧函数”的个数（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】若函数是区间上的“小囧囧函数”，则函数的最大值和最小值应满足 对于，，，则对，，，，显然不满足；对于，，对，，，，不满足题意；对于，，，则对，，，，且，故满足题意；对于，，，则在上为增函数，在是为减函数，故对，，，，且，故满足题意.‎ 故选B 点睛：本题考查新定义题型“小囧囧函数”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及导数的合理运用，本题解题的关键是函数的最大值和最小值应满足．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13. 设是等差数列，且，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】设等差数列的公差为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为6‎ ‎14. 一个正方体的内切球的表面积为，则该正方体的棱长等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设内切球的半径为 ‎∵球的表面积为 ‎∴该球的半径为 ‎∴正方形的棱长为 故答案为 ‎15. 已知函数的图像与轴恰有两个不同公共点，则负数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知 令则，令，则 ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减 ‎∴函数在处取极大值，在处取极小值 ‎∵函数的图像与轴恰有两个不同公共点 ‎∴极大值等于或者极小值等于 ‎∴或 ‎∴‎ 故答案为 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．‎ ‎16. 已知抛物线的焦点为，过点与抛物线恰有一个交点的直缘至多有2条，则直线被抛物线所截得的弦长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵点 ‎∴点在直线上 又∵过点与抛物线恰有一个交点的直线至多有2条 ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∵‎ ‎∴直线的方程为 ‎∴联立，得或 ‎∴直线被抛物线所截得的弦长为 故答案为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） ‎ ‎17. 等比数列中，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列位的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设的公比为，由等比数列的通项公式，可得公比，即可得到所求通项公式。（Ⅱ）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和首项，再由等差数列得求和公式，计算即可得到所求和。‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公比为，由已知得，解得.‎ 又，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，.‎ 设的公差为，则有解得 则数列的前项和.‎ ‎18. 在锐角中，分别为角的对边，已知，，且的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）求边.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，根据，可得，再由的面积为及锐角三角形，即可求出角；（Ⅱ）由余弦定理可得边.‎ 试题解析：（Ⅰ），‎ ‎∵‎ ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎∴,∴；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得 ‎∴.‎ ‎19. 已知函数在点处的切线的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在上的极值.‎ ‎【答案】（1）（2）极小值为，无极大值。‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，再由切线方程分别求出，，即可求出函数解析式；（Ⅱ）对函数求导后，分别求出和，得出函数的单调性，即可求出在上的极值.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵‎ ‎∴‎ ‎∵函数在点处的切线的方程为 ‎∴，即，，即 ‎∴‎ ‎（Ⅱ），‎ 当, ,单调递减 ‎，，单调递增，‎ 所以极小值为，无极大值。‎ 点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.‎ ‎20. 等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面，连结、（如图2）.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面：‎ ‎（Ⅱ）若是线段的中点，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析(2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由等边三角形的边长为3及可得，，再根据，可得，从而推出，结合二面角为直二面角即可证明平面：（Ⅱ）求出四边形的面积，再由是线段的中点，即可求出四棱锥的体积.‎ 试题解析：（Ⅰ）等边三角形的边长为3，且 ‎∴ ，‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又二面角为直二面角，平面平面 ‎∴，平面 ‎(2）‎ ‎21. 在平面直角坐标系中，已知，，且，记动点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的动直线与曲线相交两点，试问在轴上是否存在与点不同的定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，，且，结合椭圆的定义即可求出曲线方程；（Ⅱ）当直线与轴垂直时，求出的坐标，然后再证明对任意的直线，均有，考虑直线斜率是否存在，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可证明.‎ 试题解析：（1）∵，，且 ‎∴动点的轨迹为椭圆，即椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于，两点.‎ 则,，由，有，解得或.‎ 所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为.‎ 下面证明：对任意的直线，均有.‎ 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.‎ 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，的坐标分别为.‎ 联立，得.‎ 其判别式，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎22. 已知函数 ‎（Ⅰ）若函数在处取得极值，求证：；‎ ‎（Ⅱ），，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，即可求出，再对求导，判断单调性，即可证明；（Ⅱ）由题意，分离参数可得：，使成立，令，求出的单调性，从而求出实数的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知:‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵ ‎ ‎∴, , ,,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由题意，分离参数可得：，使成立，令，‎ ‎∴‎ 令 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴在为增函数，‎ ‎∴在为增函数 ‎∴‎ ‎∴‎ 点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若或恒成立，只需满足或即可，然后利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而问题得解．‎ 利用导数研究不等式恒成立或存在性问题，首先要构造函数，利用导数研究研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题.‎