2017-2018学年宁夏育才中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年宁夏育才中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年宁夏育才中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．双曲线的焦距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由双曲线方程得即焦距为，答案为D ‎【考点】双曲线的应用.‎ ‎2．下列各式正确的是(　　)‎ A. (sin α)′＝cos α(α为常数)‎ B. (cos x)′＝sin x C. (sin x)′＝cos x D. (x－5)′＝－x－6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由导数运算法则易得，注意A选项中的α为常数，所以(sin α)′＝0. 选C ‎3．命题：“若，则”的逆否命题是( )‎ A.若则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。的否定是，的否定是，所以“若，则”的逆否命题是若，则。选D ‎【考点】四种命题及其关系 点评：逆否命题只需将原命题先变成否命题，然后再变成否命题的逆命题，理解清楚各个命题是解答此类题目的前提，否定过程中不等式的正确转化是易错点，本题属于容易题 ‎4．抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线标准方程为 ‎∴准线方程为 故选：B ‎5．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为( ）‎ A. －2 B. 2 C. －4 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为椭圆的右焦点坐标为，‎ 又的焦点为 所以，即 ‎6．△ABC的两个顶点为A（-4,0），B（4,0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）‎ A．（y≠0） B．（y≠0）‎ C． （y≠0） D． （y≠0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为（），故正确选项为A．‎ ‎【考点】椭圆的概念．‎ ‎【易错点睛】本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹．有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点．‎ ‎7．下列判断错误的是（ ）‎ A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“”‎ C. 若为假命题，则均为假命题 D. 是的充分不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，am2＜bm2⇒a＜b，但a＜b时am2＜bm2不一定成立（如m=0），所以A正确；‎ 对于B，命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”，所以B正确；‎ 对于C，p∧q为假命题，则p，q中至少一个是假命题，所以C错误；‎ 对于D，x=2⇒x2=4，但x2=4时x=2或x=﹣2，所以A正确 故选：C ‎8．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（ ）‎ A. （1，0） B. （2，8）‎ C. （1，0）或（﹣1，﹣4） D. （2，8）或（﹣1，﹣4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．‎ 解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，‎ 所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．‎ 因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，‎ 由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．‎ 当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．‎ 所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．‎ 故选C．‎ ‎9．已知命题；命题，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 命题是假命题 B. 命题是真命题 C. 命题是真命题 D. 命题是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】命题中， 的最大值为，所以为假命题；命题中，判别式小于，所以为真命题，所以命题是真命题，命题是假命题，命题是真命题，命题是假命题．故选C.‎ ‎10．有一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若当水面下降1m时，则水面宽为（ ）‎ A. B. C. 4.5m D. 9m ‎【答案】B ‎【解析】建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），由题意知，抛物线过点（2，﹣2），‎ ‎∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．‎ 当y0=﹣3时，得x02=6．‎ ‎∴水面宽为2|x0|= ．‎ 故选：B 点睛：本题充分体现了解析几何的基本思想：用代数方法处理平面几何问题，利用坐标系，把已知条件与未知条件都转化为代数问题来处理.‎ ‎11．设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ ‎【答案】B ‎【解析】通径|AB|=得，选B ‎12．若椭圆和双曲线有相同的左右焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则的值是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：PF1+PF2=‎2m，|PF1- PF2|=，‎ 所以+ +2 PF1•PF2=‎4m，-2 PF1•PF2+ =‎4a，两式相减得：‎ ‎4 PF1•PF2=‎4m-4a，∴PF1•PF2=m-a ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质 二、填空题 ‎13．双曲线的渐近线方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的标准方程为： .‎ 渐近线为： ，整理得： .‎ 答案： .‎ ‎14．过点Q(4,1)作抛物线的弦AB,恰被Q所平分,则弦AB所在直线方程为_________.‎ ‎【答案】4x-y-15=0‎ ‎【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∵Q（4，1）是AB中点，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴x1+x2=8，y1+y2=2，‎ 又∵A（x1，y1），B（x2，y2）在y2=8x上，‎ ‎∴y12=8x1，y22=8x2，‎ 两式相减，得：y22﹣y12=2（y2﹣y1）=8（x2﹣x1），‎ 得到，‎ ‎∴直线AB的斜率k=4，‎ ‎∵直线经过Q（4，1），‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣1=4（x﹣4），‎ 整理，得AB所在的直线方程：4x﹣y﹣15=0；‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎15．已知函数f（x）=有两个极值点，则实数a的取值范围是__________ .‎ ‎【答案】（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【解析】函数f（x）=的导数f′（x）=x2+2ax+1‎ 由于函数f（x）有两个极值点，‎ 则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，‎ 即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎16．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题q： ，解得a≤x≤a+1．‎ ‎∵￢p是￢q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ ‎∴，且等号不能同时成立．‎ 解得．‎ 则实数a的取值范围是．‎ 三、解答题 ‎17．‎ 已知曲线 ‎（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；‎ ‎（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程；‎ ‎【答案】(1) 长轴18， ，焦点，（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆方程，明确a=9，b=3，c=6，从而求得长轴长，焦点坐标，离心率；（2）设出双曲线方程,利用条件布列的方程组，解之即可.‎ 试题解析：‎ 椭圆的标准方程为，∴a=9，b=3，c=6‎ ‎(1)由题意易得：长轴长2a=18，焦点坐标、离心率．‎ ‎(2)设双曲线方程为： ‎ 又双曲线与椭圆共焦点且离心率为 ‎∴，解得： ‎ ‎∴双曲线方程为： ‎ ‎18．已知函数 ‎（1）求这个函数的导数；‎ ‎（2）求这个函数的图像在处的切线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用函数乘积的求导法则求导即可；‎ ‎（2）先求得在1处的导数值得切线斜率，进而得切线方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）;‎ ‎（2）切线斜率， ‎ 所以切线方程.‎ ‎19．已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，点在上，并且 ，求点的轨迹 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：利用相关点法求轨迹方程.‎ 试题解析：‎ 根据题意，设P（m，n），‎ 则P'（m，0），‎ 设M（x，y），由可得，即 将P（x， ）代入x2+y2=9，可得x2+（ ）2=9，‎ 化简得，即为点M的轨迹方程．‎ 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④相关点法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ ‎20．给定两个命题， ：对任意实数都有恒成立； ：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：首先求得命题p,q为真命题时的a的取值范围，由与中有且仅有一个为真命题，分情况讨论两命题的真假得到a的取值范围 试题解析：对任意实数都有恒成立 ‎；………………………………………………3分 关于的方程有实数根；……………5分 如果正确，且不正确，有；……………8分 如果正确，且不正确，有．…………11分 所以实数的取值范围为……………………………………12分 ‎【考点】三个二次关系及复合命题真假的判定 ‎21．已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求常数k的值； ‎ ‎（2）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（3）设，且， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）极大值为极小值为；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为函数两个极值点已知，令，把0和4代入求出k即可． （2）利用函数的导数确定函数的单调区间， 大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x值代到f（x）中，通过表格，判断极大、极小值即可． （3）要使命题成立，只需，由（2）得： 和其中较小的即为g（x）的最小值，列出不等关系即可求得c的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1），由于在处取得极值，‎ ‎∴ ‎ 可求得 ‎ ‎（2）由（1）可知， ，‎ 的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎∴当为增函数， 为减函数； ‎ ‎∴极大值为极小值为 ‎ ‎(3) 要使命题， 恒成立，只需使,即即可.只需 由（2）得在单增，在单减.‎ ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ ‎22．已知椭圆： 的 一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当的面积为时，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2）k= ‎ ‎【解析】试题分析：（I）由已知条件可得和的值，利用可得的值，进而可得椭圆的方程；（II）先设、的坐标，再联立直线的方程和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，‎ 的值，由弦长公式求|MN|，由点到直线的距离公式求△AMN的高，再根据三角形的面积求．‎ 试题解析：（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由得．‎ 设点M，N的坐标分别为，，则，，，．‎ 所以|MN|===．‎ 由因为点A（2,0）到直线的距离，‎ 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以．‎ ‎【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．解题时要注意运用弦长公式和点到直线的距离公式，最后注意验证．‎