高考数学专题复习：知能优化训练必修一

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第一章 1.3.2 知能优化训练 必修一 一、选择题 1、函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区 间(a，b)内的极小值点有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2、函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取得极值，则 a＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 3、y＝x3－6x＋a 的极大值为________． 4、求函数 f(x)＝x＋1 x 的极值． 5、设 x0 为可导函数 f(x)的极值点，则下列说法正确的是( ) A．必有 f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在 C．f′(x0)＝0 或 f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为 0 6、下列函数存在极值的是( ) A．y＝1 x B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3 7、函数 f(x)＝－1 3 x3＋1 2 x2＋2x 取极小值时，x 的值是( ) A．2 B．2，－1 C．－1 D．－3 8、已知函数 y＝x－ln(1＋x2)，则 y 的极值情况是( ) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 9、已知函数 f(x)＝x3－ax2－bx＋a2 在 x＝1 处有极值 10，则 a、b 的值为( ) A．a＝－4，b＝11 B．a＝－4，b＝1 或 a＝－4，b＝11 C．a＝－1，b＝5 D．以上都不正确 10、“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11、函数 f(x)＝x3－6x2－15x＋2 的极大值是________，极小值是________． 12、设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则 a 的取值范围为________． 13、若函数 y＝－x3＋6x2＋m 的极大值等于 13，则实数 m 等于________． 三、解答题 14、求下列函数的极值． (1)f(x)＝ x3－2 2 x－1 2； (2)f(x)＝x2e－x. 15、设函数 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，00)有极大值－5 2 ，求 m 的值． 以下是答案 一、选择题 1、解析：选 A.函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1 个． 2、解析：选 D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3， ∵f(x)在 x＝－3 处取得极值， ∴f′(－3)＝0，即 27－6a＋3＝0 ∴a＝5. 3、a＋4 2 解析：y′＝3x2－6＝0，得 x＝± 2.当 x<－ 2或 x> 2时，y′>0；当－ 20，当 x>0 时， f′(x)<0.∴y＝f(x)在 x＝0 处取极大值，f(0)＝－1. C 中 f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y＝f(x)无极值．D 也无极值．故选 B. 7、解析： 选 C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)·(x＋1)， ∵在 x＝－1 的附近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0， ∴x＝－1 时取极小值． 8、解析：选 D.f′(x)＝1－ 2x 1＋x2＝ x－1 2 1＋x2 ≥0，∴函数 f(x)在定义域 R 上为增函数，故选 D. 9、解析：选 A.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在 x＝1 处 f′(x)有极值，∴f′(1)＝0，即 3－2a－b＝0.① 又 f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即 a2－a－b－9＝0.② 由①②得 a2＋a－12＝0，∴a＝3 或 a＝－4. ∴ a＝3， b＝－3， 或 a＝－4， b＝11. 当 a＝3 b＝－3 时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故 f(x)在 R 上单调递 增，不可能在 x＝1 处取得极值，所以 a＝3 b＝－3 舍去． 10、解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之成立．故 选 B. 二、填空题 11、10 －98 解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)， 在(－∞，－1)，(5，＋∞)上 f′(x)>0，在(－1,5)上 f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值 ＝f(5)＝－98. 12、(－∞，－1) 解析：y′＝ex＋a，由 y′＝0 得 x＝ln(－a)． 由题意知 ln(－a)>0，∴a<－1. 13、－19 解析：y′＝－3x2＋12x，由 y′＝0，得 x＝0 或 x＝4，容易得出当 x＝4 时函数取得极大值，所以－43＋ 6×42＋m＝13，解得 m＝－19. 三、解答题 14、解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f′(x)＝ x－2 2 x＋1 2 x－1 3 ， 令 f′(x)＝0， 得 x1＝－1，x2＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋ f(x) ↗ －3 8 ↘ ↗ 3 ↗ 故当 x＝－1 时，函数有极大值， 并且极大值为 f(－1)＝－3 8 . (2)函数的定义域为 R， f′(x)＝2xe－x＋x2·(1 ex)′ ＝2xe－x－x2e－x ＝x(2－x)e－x， 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 0 ↗ 4e－2 ↘ 由上表可以看出，当 x＝0 时，函数有极小值，且为 f(0)＝0；当 x＝2 时，函数有极大值，且为 f(2)＝4e －2. 15、解：由 f(x)＝sin x－cosx＋x＋1,0

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