数学理卷·2018届江西省九江市重点高中年高二下学期第一次段考（2017-03）

数学理卷·2018届江西省九江市重点高中年高二下学期第一次段考（2017-03）

江西九江市重点高中2016-2017学年高二下学期第一次段考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，其中为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.等于（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3.若直线与幂函数的图像相切于点，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设（为虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模为（ ）‎ A．1 B． C. D．2‎ ‎5.若函数，则等于（ ）‎ A．1 B．0 C. D．‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A． B． C.3 D．-3‎ ‎7.若方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设、、都是正数，则三个数（ ）‎ A．至少有一个不小于2 B．至少有一个大于2 C.都大于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎9.函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C.{，或} D．{，或}‎ ‎10.若关于的不等式在上的解集为，则实数的取值范围是（ ）‎ A．或 B．或 C. D．‎ ‎11.面积为的平面凸四边形的第条边的边长为，此四边形内任一点到第条边的距离为，若，则.根据以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.直线分别与直线，曲线交与点，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．2 C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为 ．‎ ‎14.若复数满足，其中为虚数单位，则 ．‎ ‎15.由曲线，直线，直线围成的封闭图形的面积为 ．‎ ‎16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设，，令，，.‎ ‎（1）写出的值，并猜出数列的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在，使，求实数的取值范围. ‎ ‎19. 已知函数在与时都取得极值.‎ ‎（1）求的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎20. 如图，四边形与均为菱形，，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎21. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于两点，求证：的周长是定值.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极小值；‎ ‎（Ⅱ）当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；‎ ‎（Ⅲ）设定义在上的函数在点处的切线方程为：，当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”.若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.91‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）因为，所以，，，猜想.‎ ‎（2）证明：①易知，时，猜想正确；‎ ‎②假设时，成立，‎ 则这说明，时成立.‎ 由①②知，对于任何，都有.‎ ‎18.【解析】（1），由得，的解集为.‎ ‎（2）由（1）知最大值为4，由题意，得，，即的取值范围是.‎ ‎19.【解析】：（1），‎ 由，得，‎ ‎，函数的单调区间如下表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以函数的递增区间是与，递减区间是；‎ ‎（2），，当时，为极大值，而，则为最大值，要使，恒成立，则只需要，得，或.‎ ‎20.【解析】（1）证明：设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，‎ 且为中点，又，所以，‎ 因为，所以平面.‎ ‎（2）证明：因为四边形与均为菱形，‎ 所以，，所以平面平面，‎ 又平面，所以平面.‎ ‎（3）解：四边形为菱形，且，所以为等边三角形，‎ 因为为中点，所以，故平面.‎ 由两两垂直，建立如图所示的空间坐标系.‎ 设，因为四边形为菱形，，则，所以，.‎ 所以，，，，.‎ 所以，.‎ 设平面的法向量，则有所以 取，得.‎ 易知平面的法向量为.‎ 由二面角是锐角，得，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎21.解析：（1）根据已知，椭圆的左右焦点分别是，，，‎ 在椭圆上，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 椭圆的方程是；‎ ‎（2）方法1：设，，则，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 在圆中，是切点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理，，‎ 因此的周长是定值6.‎ 方法2：设的方程为，‎ 由，得，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ 与圆相切，，即，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，，同理，‎ ‎，‎ 因此的周长是定值6.‎ ‎22.【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ）；（Ⅲ）参考解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）因为函数，当时，求函数的极小值，即对函数求导通过求出极值点，即可求出极小值.‎ ‎（Ⅱ）过曲线外一点作曲线的切线，是通过求导得到切线的斜率等于切点与这点斜率.建立一个等式，从而确定切点横坐标的大小，由于该方程不能直接求解，所以通过估算一个值，在证明该函数的单调性，即可得到切点的横坐标.‎ ‎（Ⅲ）因为根据定义在上的函数在点处的切线方程为：‎ ‎，当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”.该定义等价于切线穿过曲线，在的两边的图像分别在的上方和下方恒成立.当时，通过讨论函数的单调性即最值即可得结论.‎ 试题分析：（Ⅰ）当时，，‎ 当时；当时；当时.‎ 所以当时，取到极小值-2.‎ ‎（Ⅱ），所以切线的斜率，‎ 整理得，显然是这个方程的解，‎ 又因为在上是增函数，‎ 所以方程有唯一实数解，故.‎ ‎（Ⅲ）当时，函数在其图象上一点处的切线方程为，‎ 设，则，，‎ 若，在上单调递减，所以当时，此时；‎ 所以在上不存在“转点”.‎ 若时，在上单调递减，所以当时 ‎，此时，所以在上不存在“转点”.‎ 若时，即在上是增函数，‎ 当时，，‎ 当时，，即点为“转点”，‎ 故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标.‎ 考点：1.函数极值.2.函数的切线问题.3.新定义的问题.4.数形结合的思想.5.运算能力.‎