2017-2018学年安徽省蚌埠市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年安徽省蚌埠市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：直接利用交集定义进行运算即可.‎ 详解：由集合，，.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查交集运算，属基础题.‎ ‎2．下列表述正确的是（ ）‎ ‎①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理；‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ①③⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：归纳推理是由部分到整体的推理，‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理，‎ 类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 故①③⑤是正确的 考点：归纳推理；演绎推理的意义 ‎3．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出复数z,再得到复数z对应的点所在的象限.‎ 详解：由题得，所以复数z对应的点为（2，-1），‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数 对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.‎ ‎4．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用回归方程，计算时，的值，进而可求方程在样本处的残差．‎ 详解：当时，，‎ ‎∴方程在样本处的残差是 ‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查线性回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由于程序是一个选择结构，故两部分都有可能输出，当；当，所以输入的数有种可能.‎ 考点：算法与程序框图.‎ ‎6．设，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．‎ 详解：‎ ‎．‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．‎ ‎7．已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出，计算可得结果.‎ 详解： ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属基础题.‎ ‎8．用反证法证明某命题时，对其结论“，都是正实数”的假设应为（ ）‎ A. ，都是负实数 B. ，都不是正实数 C. ，中至少有一个不是正实数 D. ，中至多有一个不是正实数 ‎【答案】C ‎【解析】分析：“都是”的否定为“不都是”，观察选项只有C符合.‎ 详解：“都是”的否定为“不都是”，故“，都是正实数”否定为“，中至少有一个不是正实数”.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查命题的否定，属基础题.‎ ‎9．已知函数，则在原点附近的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题可得，则在上恒成立，得到函数的单调性，进而判断函数的奇偶性推出结果即可．‎ 详解：由题可得，则在上恒成立，故函数在上单调递增，‎ 又， 即函数为奇函数，综上，‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题.‎ ‎10．设：实数，满足且；：实数，满足，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】且，,充分性不成立;,不满足且，所以选D.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎11．将函数 的图象向右平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得 由此根据求得的值，进而得到结论.‎ 详解：函数 的图象向左平移个单位后，得到函数 的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得，由得，故 ‎ 由题意 ‎，得 ‎ 故当时，取得最小值为， 故选：A.‎ 点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．‎ ‎12．函数满足，且当时，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意求出函数的周期，利用周期得到函数的图像，则问题转化为直线与函数图像交点问题，数形结合可得结论.‎ 详解：的周期为2． 当时，， ‎ 即当时．‎ 在同一坐标系下画出直线 的图像如图所示，当时，须满足 即 同理当时，‎ 综上所述，.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“，”的否定为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】分析：利用命题的否定的定义即可判断出．‎ 详解：根据命题的否定的定义知，命题“，”的否定为“，”.‎ 即答案为，.‎ 点睛：本题考查了命题的否定的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．‎ 详解：曲线，可得 ，．切线的斜率为：2． 曲线在点处的切线方程为，即．‎ 即答案为.‎ 点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力．属基础题.‎ ‎15．若，，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：解方程，求出，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简得到关于的表达式，代入求值即可.‎ 详解：由，，得到，由得，‎ 又 ‎ ‎ ‎ 即答案为.‎ 点睛：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简求值，属基础题.‎ ‎16．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第行、第行的数记为，如，.若，则__________．‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得的值.‎ 详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，，第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位，‎ 所以 当n=44时，第44个偶数为，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,‎ 由题得2018排在第45行的第27位，所以45+27=72.‎ 故答案为：72.‎ 点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式找到2018所在的行.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.‎ ‎（Ⅰ）求和；‎ ‎（Ⅱ）若集合且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（1）求解，，从而求出和；； （2）化简集合，由）可得不等式，从而解出实数的取值范围．‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ）由条件得， ，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）因为且，所以，得.‎ 点睛：本题考查了集合的化简与集合的运算，同时考查了函数的定义域的求法及集合的相互关系，属于中档题．‎ ‎18．如图，在四边形中，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）设，，由余弦定理求出，再由正弦定理能求出． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，而，得sin∠CBD=cos∠ABD，求出 ，，由此利用正弦定理能求出．‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以设，，其中，‎ 在中，由余弦定理，，‎ 所以，解得，则，‎ 而，‎ 在中，由正弦定理， .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，而，‎ 则 ，‎ 在中，，由正弦定理，‎ ‎.‎ 点睛：本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19．某数学兴趣小组为了研究人的脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 身高（厘米）‎ ‎192‎ ‎164‎ ‎172‎ ‎177‎ ‎176‎ ‎159‎ ‎171‎ ‎166‎ ‎182‎ ‎166‎ 脚长（码）‎ ‎48‎ ‎38‎ ‎40‎ ‎43‎ ‎44‎ ‎37‎ ‎40‎ ‎39‎ ‎46‎ ‎39‎ 序号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 身高（厘米）‎ ‎169‎ ‎178‎ ‎167‎ ‎174‎ ‎168‎ ‎179‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎162‎ ‎170‎ 脚长（码）‎ ‎43‎ ‎41‎ ‎40‎ ‎43‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎39‎ ‎41‎ ‎（Ⅰ）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成列联表，并根据列联表中数据说明能有多大的把握认为脚的大小与身高之间有关系.‎ 附表及公式：，，.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 列联表：‎ 高个 非高个 总计 大脚 非大脚 总计 ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（I）分别求出，的值，求出，的值，代入回归方程即可； （II） 根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表；求出，得到结论.‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ）“序号为5的倍数”的数据有4组，记：‎ ‎，；，；，；，，‎ 所以，，‎ 计算得 ‎ ，‎ ‎，‎ 关于的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅱ）列联表：‎ 高个 非高个 总计 大脚 ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ 非大脚 ‎1‎ ‎12‎ ‎13‎ 总计 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎，‎ 所以有超过的把握认为脚的大小与身高之间有关系.‎ 点睛：本题考查回归直线方程的求求法，看出独立性检验的应用，包括数据的统计，属中档题．‎ ‎20．如图1，已知中，，点在斜边上的射影为点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先分析得到，再由勾股定理得到，再化简即得 ‎.( Ⅱ)先类比猜想得到猜想：.再利用（Ⅰ）的结论证明.‎ 详解：（Ⅰ）由条件得，，所以，‎ 由勾股定理，，所以，‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ）猜想：.‎ 证明如下：‎ 连接延长交于点，连接，‎ 因为，，‎ 点，所以平面，又平面，得，‎ 平面，平面，则.‎ 在直角三角形中，由（Ⅰ）中结论，.‎ 平面，则，又平面，所以，‎ 而点，平面，所以平面，.‎ 又，由（Ⅰ）中结论，得.‎ 所以.‎ 点睛：（1）本题主要考查几何证明和类比推理及其证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有两个，其一是连接延长交于点，连接，证明，其二是证明都用到第1问的结论.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求证：当时，函数在上存在唯一的零点；‎ ‎（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)f求导得，，由，所以，则函数在单调递增，计算f，，即可证明结论． （Ⅱ）由（Ⅰ），，，‎ 当时，，在单调递增，‎ 当时，，在单调递减，当时，在时取最大值，最大值为.，“存在，使得成立”等价于“时，”，即可得出．‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ）函数，定义域为，，‎ 由，所以，则函数在单调递增，‎ 又，，‎ 函数在上单调递增，‎ 所以函数在上存在唯一的零点.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，，‎ 当时，，在单调递增，‎ 当时，，在单调递减，‎ 则在时取最大值，且最大值为.‎ ‎“存在，使得成立”等价于“时，”，所以，即，‎ 令，，则在单调递增，且，‎ 所以当时，，当时，，‎ 即的取值范围为.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，与的交点为，，求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（1）利用恒等式消参法得到的普通方程，再把极坐标公式代入求其极坐标方程,可以直接写出的直角坐标方程.(2) 设，，再求得，，再利用面积公式求得的面积.‎ 详解：（Ⅰ）消去参数，曲线的普通方程为，‎ 即，把，代入方程得 ‎，所以的极坐标方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，，分别将，代入，‎ 得，，‎ 则的面积为 ‎ .‎ 点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和转化分析能力.(2)本题解答的难点在第2问，直接用极坐标比较快捷，如果化成直角坐标就比较麻烦，注意灵活选择.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用分类讨论法解绝对值不等式.( Ⅱ）先放缩得到 ，再利用绝对值三角不等式得到 详解：（Ⅰ）当时，不等式，即，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以无解，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以，‎ 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎.‎ ‎：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力.(2)解答第2问的关键一是先要放缩 ，其二是要利用绝对值三角不等式.‎