2017-2018学年四川省遂宁市高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年四川省遂宁市高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．）‎ ‎1．（5分）从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）‎ A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 ‎2．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 ‎3．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l； ‎ ‎②若α⊥β，则m∥l；‎ ‎③若m⊥l，则α⊥β； ‎ ‎④若m∥l，则α⊥β．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①④ B．③④ C．①② D．②③‎ ‎6．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（　　）‎ A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B．12月份人均用电量不低于20度的有500人 C．12月份人均用电量为25度 D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为 ‎7．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎8．（5分）已知矩形ABCD，AB=4，BC=3．将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ的二面角B﹣AC﹣D，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积是（　　）‎ A．9π B．16π C．25π D．与θ的大小有关 ‎9．（5分）若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4‎ ‎10．（5分）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，5）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉　 　组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）‎ ‎14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为　 　‎ ‎15．（5分）若直线y=kx+3与函数y=+2的图象相交于A，B两点，且|AB|=，则k=　 　．‎ ‎16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且，则线段BQ的长度的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，﹣1），B（2，1），C（1，3）．‎ ‎（Ⅰ）求边AB高所在直线的点斜式方程；‎ ‎（Ⅱ）求边AB上的中线所在直线的一般式方程．‎ ‎18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差 x （℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数 y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．‎ ‎（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程 ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？‎ ‎（参考公式：，）‎ 参考数据：‎ ‎11×25+13×29+12×26+8×16=1092，‎ ‎112+132+122+82=498．‎ ‎19．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=‎ ‎（1）求证：OE∥平面ACD；‎ ‎（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．‎ ‎（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．‎ ‎（2）根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请求出甲船先停靠的概率．‎ ‎21．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．‎ ‎（1）证明：AC=AB1；‎ ‎（2）若，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．‎ ‎22．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点E（，n）．圆P：x2+（a+3）x+y2﹣ay+2a+2=0‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知a＞1，圆P与x轴相交于两点M，N（点M在点N的右侧）．过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．）‎ ‎1．（5分）从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）‎ A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样方法进行抽样．‎ ‎【解答】解：常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 事先了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生肺活量差异不大；‎ 最合理的抽样方法是按学段分层抽样．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，是基本题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 ‎【分析】利用根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，‎ ‎∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．‎ ‎∴l1⊥l2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；‎ 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个 故选D ‎【点评】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据图象的对称性知黑色部分为圆面积的一半，计算黑色部分的面积与正方形的面积比，用对立事件的概率值求出结果．‎ ‎【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，‎ 设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 则黑色部分的面积S=，‎ 正方形ABCD内的面积为22=4，‎ ‎∴所求的概率为P==1﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l； ‎ ‎②若α⊥β，则m∥l；‎ ‎③若m⊥l，则α⊥β； ‎ ‎④若m∥l，则α⊥β．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①④ B．③④ C．①② D．②③‎ ‎【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系逐一核对四个命题得答案．‎ ‎【解答】解：对于①，m⊥α，若α∥β，则m⊥β，又l⊂β，则m⊥l，故①正确； ‎ 对于②，m⊥α，若α⊥β，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m∥l或m与l相交或m与l异面，故②错误；‎ 对于③，m⊥α，l⊂β，若m⊥l，则α∥β或α与β相交，故③错误； ‎ 对于④，m⊥α，若m∥l，则l⊥α，又l⊂β，则α⊥β，故④正确．‎ ‎∴正确的命题是①④．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的线面关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（　　）‎ A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B．12月份人均用电量不低于20度的有500人 C．12月份人均用电量为25度 D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为 ‎【分析】根据频率分布直方图，求出12月份人均用电量人数最多的一组，判断A正确；‎ 计算12月份人均用电量不低于20度的频率与频数，判断B正确；‎ 计算12月份人均用电量的值，判断C错误；‎ 计算从中任选1位协助收费，用电量在[30，40）一组的频率，判断D正确．‎ ‎【解答】解：根据频率分布直方图知，‎ ‎12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1000×0.04×10=400人，A正确；‎ ‎12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03+0.01+0.01）×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；‎ ‎12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；‎ 在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30，40）一组的频率为0.1，‎ 估计所求的概率为，∴D正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由题意得到所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域，再由三角形面积公式求解．‎ ‎【解答】解：由x，y满足条件作出可行域如图，‎ 作直线x+y=0，‎ 由图可知，平移直线x+y=0至A时，目标函数z=x+y有最小值，‎ 平移直线z=x+y至O时，使目标函数与直线y=﹣x重合时，目标函数z=x+y的值是0，‎ 所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域为△AOC及其内部区域的一半，‎ 面积为S==1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知矩形ABCD，AB=4，BC=3．将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ的二面角B﹣AC﹣D，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积是（　　）‎ A．9π B．16π C．25π D．与θ的大小有关 ‎【分析】根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，从而矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径R=AC，由此能求出折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵矩形ABCD，AB=4，BC=3．‎ 将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ的二面角B﹣AC﹣D ‎∴根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，‎ ‎∴矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，‎ ‎∴折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径R=AC==，‎ ‎∴折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积：‎ S=4=25π，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查四面体外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4‎ ‎【分析】先用待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在y轴上的截距大于且小于，‎ 求出整数b的值．‎ ‎【解答】解：设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+‎ c=0，把点（5，b）代入直线的方程解得 c=4b﹣15，∴过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+4b﹣15=0，由题意知，‎ ‎ 直线在y轴上的截距满足：＜＜，∴＜b＜5，又b是整数，∴b=4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查用待定系数法求平行直线的方程，以及直线在y轴上的截距满足的大小关系．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件总数n==10，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，由此能出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率．‎ ‎【解答】解：所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份，‎ 供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，‎ 甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件总数n==10，‎ 甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为：‎ ‎（1.72，1.83），（1.72，2.28），（1.72，1.55），（1.83，2.28），（1.83，1.55），（2.28，1.55），‎ 甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是p=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，‎ 正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，5）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【分析】求出⊙C的方程，过P，M，N的圆的方程，两圆内切时，m取得最大值．利用圆与圆的位置关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若，‎ 则•=0，即⊥，则∠MPN=90°，‎ 由题意，∴A（3，5）是⊙C上一点，‎ 折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，‎ 两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，‎ ‎∴圆上不相同的两点为B（2，4），D（4，4），‎ ‎∵直线x﹣y+1=0和x+y﹣7=0互相垂直，‎ ‎∴BA⊥DA ‎∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，‎ ‎∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．‎ 圆上存在点P，使得∠MPN=90°，‎ 则过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，（设m＞0），与圆C有交点，‎ 若两圆内切时，m取得最大值，‎ 此时为=m﹣1，‎ 即5=m﹣1，‎ 则m=6，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，利用数形结合以及对称性是解决本题的关键．，有一定的难度．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉　D　组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）‎ ‎【分析】根据线性相关的意义知：当所有的数据在一条直线附近排列时，‎ 这些事件具有很强的线性相关关系，由此得出结论．‎ ‎【解答】解：A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，‎ D点离得较远；‎ ‎∴去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大．‎ 故答案为：D．‎ ‎【点评】本题考查了两个变量的线性相关型与散点图的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为　15　‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=3‎ y=7‎ 不满足条件|x﹣y|＞7，执行循环体，x=7，y=15‎ 满足条件|x﹣y|＞7，退出循环，输出y的值为15．‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若直线y=kx+3与函数y=+2的图象相交于A，B两点，且|AB|=，则k=　2或　．‎ ‎【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，（y≥2），分析可得其图象是以（1，2）为圆心，半径为3的圆的上半部分，设圆心到直线的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得d2+（）2=r2，即可得（）2+=9，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，y=+2即（y﹣2）=，‎ 变形可得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，（y≥2），‎ 其图象是以（1，2）为圆心，半径为3的圆的上半部分，‎ 若直线y=kx+3与函数的图象相交于A，B两点，且|AB|=，‎ 设圆心到直线的距离d，‎ 则有d2+（）2=r2，‎ 即（）2+=9，‎ 解可得：k=2或，‎ 故答案为：2或．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是分析函数y=+2的图象．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且，则线段BQ的长度的最大值为　6　．‎ ‎【分析】在正方形ABCD所在平面内建立平面直角坐标系，设Q（x，y），由，可得（x+2）2+y2=4．即可得点Q的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，半径为2的圆，从而求解．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD所在平面内建立平面直角坐标系，设Q（x，y）‎ 则有PQ2=3+x2+（1﹣y）2，QC2=（x﹣2）2+（y﹣2）2．‎ ‎∵，可得（x+2）2+y2=4．‎ ‎∴点Q的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，半径为2的圆，‎ ‎∴线段BQ的长度的最大值为2×2+2=6．‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题考查了空间动点轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，﹣1），B（2，1），C（1，3）．‎ ‎（Ⅰ）求边AB高所在直线的点斜式方程；‎ ‎（Ⅱ）求边AB上的中线所在直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得AB的斜率，可得边AB高所在直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求方程；‎ ‎（Ⅱ）求得AB的中点坐标，可得中线的斜率，再由点斜式方程可得一般式方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）AB边上的高所在的直线为直线CH，H为垂足，‎ 由已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），‎ 得：，而kABkCH=﹣1，‎ 则kCH=﹣2，而C（1，3），‎ 所以直线CH的方程为y﹣3=﹣2（x﹣1）；‎ ‎（Ⅱ）AB边上的中线所在的直线为直线CE，E为AB中点，‎ 由已知A（﹣2，﹣1），B（2，1）‎ 得：E（0，0），而C（1，3），‎ 得：，‎ 所以直线CE的方程为y=3x 即3x﹣y=0．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及线段中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差 x （℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数 y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．‎ ‎（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程 ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？‎ ‎（参考公式：，）‎ 参考数据：‎ ‎11×25+13×29+12×26+8×16=1092，‎ ‎112+132+122+82=498．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．‎ ‎（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．‎ ‎【解答】解：（1）由数据求得=11，=24，‎ 由公式求得b=，再由=﹣b，‎ 求得a=﹣，‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为=x﹣；‎ ‎（2）当x=10时，y=，x=6时，y=，‎ ‎|﹣22|=＜2，|﹣12|=＜2．‎ ‎∴该小组所得线性回归方程是理想的．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=‎ ‎（1）求证：OE∥平面ACD；‎ ‎（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）连结OE，证明OE∥CD，然后证明OE∥平面ACD．‎ ‎（2）连结OC，证明AO⊥BD．CO⊥BD．通过AO2+CO2=AC2，推出AO⊥OC，然后证明AO⊥平面BCD．由VA﹣ODC=VO﹣ADC，有 ‎，得．即可得直线OC与平面ACD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：连结OE，∵O、E分别是BD、BC的中点，‎ ‎∴OE∥CD，又OE⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，‎ ‎∴OE∥平面ACD．‎ ‎（2）证明：连结OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．‎ ‎∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．‎ 在△AOC中，由已知可得AO=1，OC=．‎ 而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴AO⊥OC．‎ ‎∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．‎ ‎ 设O到平面ACD的距离为d，由VA﹣ODC=VO﹣ADC，‎ 有，得．‎ 故直线OC与平面ACD所成角的正弦值为：．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用，考查空间线面角，属于中档题．．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．‎ ‎（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．‎ ‎（2）根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请求出甲船先停靠的概率．‎ ‎【分析】（1）设甲先停靠为事件A，基本事件总数为5×‎ ‎5=25种，甲先停靠即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个，从而甲先停靠的概率，乙先停靠的概率为，这种游戏规则不公平．‎ ‎（2）设甲船先停靠为事件C，甲船到达的时刻为x，乙船到达的时刻为y，（x，y）可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω={（x，y）|7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，这是一个正方形区域，面积SΩ=1×1=1，事件C所构成的区域为A={（x，y）|y＞x，7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，由此利用几何概率型能求出甲船先停靠的概率．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ ‎（1）这种规则是不公平的．‎ 理由如下：‎ 设甲先停靠为事件A，基本事件总数为5×5=25种，…（1分）‎ 则甲先停靠即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个，分别为：‎ ‎（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），‎ ‎（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5），…（3分）‎ ‎∴甲先停靠的概率，乙先停靠的概率为…（5分）‎ ‎∴这种游戏规则不公平． …（6分）‎ ‎（2）设甲船先停靠为事件C，甲船到达的时刻为x，乙船到达的时刻为y，（x，y）‎ 可以看成是平面中的点，‎ 试验的全部结果构成的区域为Ω={（x，y）|7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，这是一个正方形区域，‎ 面积SΩ=1×1=1，事件C所构成的区域为A={（x，y）|y＞x，7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，‎ ‎，‎ 这是一个几何概型，所以…（12分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．‎ ‎（1）证明：AC=AB1；‎ ‎（2）若，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．‎ ‎【分析】（1）连接BC1，交B1C于点O，连接AO，证明B1C⊥BC1，结合AB⊥B1C，证明B1C⊥平面ABO．推出B1C⊥AO．然后证明AC=AB1．‎ ‎（2）OA，OB，OB1两两相互垂直，O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面AA1B1的法向量，平面A1B1C1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，‎ 所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点，又AB⊥B1C，AB∩BC1=B 所以B1C⊥平面ABO．由于AO⊂平面ABO，‎ 故B1C⊥AO．又B1O=CO，故AC=AB1． …（5分）‎ ‎（2）解：因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，‎ 所以AO=CO．又因为AB=BC，‎ 所以△BOA≌△BOC，故OA⊥OB，‎ 从而OA，OB，OB1两两相互垂直，‎ O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，‎ 建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz 因为，所以△CBB1为等边三角形，又AB=BC，‎ 则，． ‎ ‎ ，‎ ‎，…（6分）‎ 设是平面AA1B1的法向量，则，即，‎ 所以可取…（8分）‎ 设是平面A1B1C1的法向量，则，‎ 同理可取…（10分）‎ ‎…（11分）‎ 所以二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点E（，n）．圆P：x2+（a+3）x+y2﹣ay+2a+2=0‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知a＞1，圆P与x轴相交于两点M，N（点M在点N的右侧）．过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据直线和圆相切的性质求出a的值即可 ‎（2）联立直线和圆的方程，利用设而不求的思想进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设圆心C的坐标为（t，0），由点E在直线l上，知：E（，）． …（1分）‎ 则，又kl=﹣，kCE•kl=﹣1，则t=﹣1 …（3分）‎ 故C（﹣1，0），所以|CE|=2，即半径r=2．‎ 故圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4…（4分）‎ ‎（2）假设这样的a存在，在圆P中，令y=0，得：x2+（a+3）x+2（a+1）=0‎ 解得：x1=﹣2或x2=﹣a﹣1，又由a＞1知﹣a﹣1＜﹣2‎ 所以：M（﹣2，0），N（﹣a﹣1，0）…（6分）‎ 由题可知直线AB的倾斜角不为0，设直线AB：x=my﹣2，A（x1，y1）、B（x2，y2）‎ 由，得（m2+1）y2﹣2my﹣3=0‎ ‎∵点M（﹣2，0）在圆C内部，‎ ‎∴有△＞0恒成立，‎ 则 …（8分）‎ 因为∠ANM=∠BNM，所以kAN=﹣kBN，即+=0，‎ 则+=0，‎ 得2my1y2+（a﹣1）（y1+y2）=0，‎ 得2m•+（a﹣1）=0，‎ 得m（a﹣4）=0，因为对任意的m∈R都要成立，所以a=4‎ 由此可得假设成立，存在满足条件的a，且a=4 …（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆位置关系的应用，联立方程组，利用设而不求思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎