江苏省启东市汇龙中学2013届高三高考最后一卷数学试题

江苏省启东市汇龙中学2013届高三高考最后一卷数学试题

‎ 2013届高三模拟考试数学试卷 2013.6‎ YCY 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1．已知全集R，集合≤0}∪＞2}，则A = ▲ ．‎ ‎2．若复数满足（是虚数单位），则其共轭复数=_ ▲ ．‎ I←2‎ S←0‎ While I＜m ‎ S←S+I ‎ I←I+3‎ End While Print S End 时速 ‎30‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎0.039‎ ‎0.028‎ ‎0.018‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎3．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为 ▲ ．‎ ‎（第4题）‎ ‎（第3题）‎ ‎4．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图上右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为___▲___ 辆. ‎ ‎5．一只口袋有形状，大小都相同的５只小球，其中２只白球，３只红球。从中一次随机摸出２只球，则２只球不同色的概率是　　　▲　　　。‎ ‎6．如图，为边长为a的正方体，分 别是的中点，过作正方体截面，若截面平 行于平面，则截面的面积为 ▲ ． ‎ ‎7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“ 为钝角三角形”的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）‎ ‎8．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎9．已知曲线恒过定点且成等差数列，‎ ‎ ▲ ．‎ ‎10．已知圆C：，点是直线l：上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎11．已知函数,若函数有两个不同的零点，则的取值范围为___▲ ___.‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x，y)都不 ‎ 在直线2mx＋(1－m2)y－4m－2＝0上，则集合A所对应的平面图形面积 的最大值为 ▲ ．‎ ‎13．设函数的定义域为，如果，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为，已知四个函数：①；②；③；④，上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是 ▲ ‎ ‎14．设实数，满足，则的取值范围是 ▲ ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15．（本题满分14分）设函数ab，向量a =，‎ b =，其中角的顶点与坐标原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边经过点,且0≤≤.‎ ‎(1)若点的坐标为,求的值；‎ ‎(2)若点为平面区域上的一个动点，试确定的取值范围，并求 A B C D E F ‎16．（本题满分14分）如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB=EF．‎ ‎（1）求证：BF∥平面ACE；‎ ‎（2）求证：BF⊥BD．‎ ‎17．（本题满分14分）交管部门遵循公交优先的原则，在某路段开设了一条仅供车身长为10的公共汽车行驶的专用车道，据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前，后亮亮公共汽车间的安全距离（）与车速（）之间满足二次函数关系，现已知车速为15时，安全距离为8，车速为45时，安全距离为38；出现堵车状况时，两车安全距离为2‎ ‎（1）试确定关于的函数关系式；‎ ‎（2）车速（）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？‎ ‎18．（本题满分16分）设椭圆方程，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设动点满足，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值．‎ ‎19．（本题满分16分）已知数列中，，，为正整数．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）设，，若数列的前项之和，并求使的的最小值．‎ ‎20．(本小题满分16分) 已知函数,.‎ ‎（1）若函数在其定义域内是单调增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数的图象被点分成的两部分为（点除外）,该函数图象在点处的切线为，求证：当时，分别完全位于直线的两侧.‎ ‎（3）试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点．‎ 加 试 题 考试时间30分钟；满分40分 ‎21．（本题共2小题；每题10分，共20分）‎ B．（选修4--2：矩阵与变换）在军事密码学中，发送密码时，先将英文字母数学化，对应如下表：‎ a b c d ‎…‎ z ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎26‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 如果已发现发送方传出的密码矩阵为，双方约定人可逆矩阵为，‎ ‎ 试破解发送的英文字母密码．‎ C．（选修4--4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为 ‎ (为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：（其中为常数）．‎ ‎（1）求曲线M的普通方程；‎ ‎（2）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．‎ ‎（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； ‎ ‎（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．‎ ‎23．（本小题满分10分）设是定义在R上的函数，‎ ‎（1）若，求g(x)；‎ ‎（2）若，求g(x)．‎ ‎2013届高三模拟考试数学试卷答案 2013.6‎ YCY 一、填空题：‎ ‎1．答案： 2．答案：-i 3．答案：2015 4．答案：20；‎ ‎5．答案：，由A{-1,0,1,2}得A的个数为，其中单元集有4个；‎ ‎6．答案：，截面与侧面相交于EF，E、F分别是的中点，‎ ‎7．答案：必要不充分，由得∠C=，故为钝角三角形，反之，‎ 为钝角三角形不只有 ‎8．答案：‎ ‎9．答案：6，曲线恒过定点，由成等差数列，所以 ‎10．答案：，因OAPB是棱形，故AB垂直平分OP，则当时，不存在，这时当时，，且直线AB过点，‎ 直线AB方程为，圆心到直线AB的距离，‎ 即，且，化为，‎ ‎11.答案：或；‎ 由图象可得或 ‎12．答案：；利用≥，‎ 得，，‎ ‎13．答案：-4令，，，，再令，，则是偶函数，先考虑（0,3]，利用二分法解决，关键是（0,]上的交点个数的判定，＜0，，‎ ‎，在（0,]上有两个交点，在（，3]上有2个交点，共有4个，在上有8个交点，其和为零，故答案是-4‎ ‎14．答案：；依题意由，，使，设，则有，，所以，令，则由，求得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，于是．‎ 二、解答题：‎ ‎15．解: (1) 由 且0≤≤得；-------------------------------2分 ‎ ab =‎ x+y-1=0‎ x y ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎ -------------- 6分 ‎ (2) 如图，作出平面区域 ‎ 由图形可得 ------------8分 因为 所以 ‎ 故的最小值 ; 的最大值----------14分 ‎16．（1）证明：设AC与BD的交于O，连结EO，‎ 在正方形ABCD中，BO=AB，∵AB=EF，∴BO=EF，-----2分 又∵EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，----------------------------------4分 ‎∵BF∥EO，BF平面ACE，EO平面ACE ‎∴BF∥平面ACE ---------------------------------------------------------7分 ‎（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，‎ 又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，‎ BD平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE=AC，‎ ‎∴BD⊥平面ACE， ---------------------------------------------------10分 ‎∵EO平面ACE ‎∴BD⊥EO， -------------------------------------------------------------12分 ‎∵EO∥BF，‎ ‎∴BF⊥BD -------------------------------------------------------------14分 ‎17．解(1)不妨设，依题意,‎ 且 由，---------------------------------3分 ‎ 若三条道路建设的费用相同，‎ ‎ 则 所以，，所以，，-------------------------------------5分 由两倍角的正切公式得，‎ 即---------------------------------------------6分 答：该文化中心建在离N村的距离为km；------------------------7分 ‎(2)总费用，，‎ 即---------------------------------------------------9分 ‎，得，------------------------11分 当时，当时，‎ 所以，当时，有最小值，‎ ‎ 这时，，-----------------------13分 ‎ 答：该文化中心建在离N村的距离为km．-------------------14分 ‎（本题可建立直角坐标系用解析法来解决）‎ ‎17．（备用题）分析：（1）--4分 ‎（2） -------------------------------8分 ‎（3）分层抽样的比例为2：5：3：7：3，现共抽取20人，在，‎ 在．共有10种可能结果．列举为：‎ ‎---------------------------------------12分 满足条件的结果有：，‎ 设满足的事件为A，则-------------------14分 ‎18．解：（1）因为，即，---------------------------------2分 ‎∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．‎ ‎∴由椭圆的对称性知，椭圆过点，即--------------------4分 ‎，解得，‎ ‎ 椭圆方程为 ------------------------------------------------------------7分 ‎（2）证明：设，，‎ 则，化简为 ----------------------9分 ‎∵M，N是椭圆C上的点，∴， ‎ 由得-----------------------------------------11分 所以 ‎（定值）------------------------------------------------------16分 ‎19．解析：（1）由条件an＋1＝2an2＋2an，得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．‎ ‎∵lg(‎2a1＋1)＝lg3≠0，--------------------------------------------------------3分 ‎∴＝2．‎ ‎∴{lg(2an＋1)}为等比数列．------------------------------------------------7分 ‎（2）∵lg(‎2a1＋1)＝lg3，∴lg(2an＋1)＝2n－1×lg3，‎ ‎∴2an＋1＝3，∴an＝(3－1)．------------------------------------9分 ‎∵lgTn＝lg(‎2a1＋1)＋lg(‎2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝(2n－1)lg3．‎ ‎∴Tn＝3．----------------------------------------------------------------11分 ‎＝＝＝2-，‎ ‎∴Sn＝2n－‎ ‎＝2n－2＋ ----------------------------------------------13分 由Sn＞2014得2n－2＋＞2014，n+＞1008，‎ 当n1007时，n+＜1008，‎ 当n≥1008时，n+＞1008，‎ ‎∴n的最小值为1008．-------------------------------------------------------16分 ‎20．解析：（1），------------2分 只需要，即，‎ 所以．------------------------------------------------------------------------4分 ‎（2）证明：因为．‎ 所以切线的方程为．--------------------------------------------6分 令，则．‎ ‎≥0，------------- --------------------------8分 是单调增函数，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以分别完全位于直线的两侧.--------------------------10分 ‎ （3）设点,‎ 则曲线在点处的切线为 令,则 ‎,，‎ ‎，‎ ‎①当时 在上单调递增,在上单调递减 只有唯一解，而是任意选取的值,故不满足题意；----12分 ‎②当时 ‎,记,则.‎ ‎(i)若,则在上单调递减,在上单调递增 ‎，在上单调递增 只有唯一解 ‎(ii)若 ，则 在上单调递减,在上单调递增 此时存在,使得 在和上单调递增,在上单调递减 此时存在,使得，有两个零点.‎ ‎(iii)若 ‎ 则 在上单调递减,在上单调递增 此时存在,使得 在和上单调递增,在上单调递减 此时存在,使得，有两个零点.‎ 综上所述,当时,曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.----------------------------16分 加 试 题 考试时间30分钟；满分40分 ‎21．‎ B．令，则A=，‎ 由题意AX=X==B， ----------------------------------5分 ‎ 故=，‎ ‎ 发送方所传出的密码对应的数字是4、5、19、11，‎ ‎ 故破解发送的密码是desk． ------------------------------------------------10分 ‎（此题也可以用待定系数法求解）‎ C．（1）----------------2分 得普通方程为（|x|≤）-----------------------------------5分 ‎（2）曲线M是抛物线的一部分；‎ 对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线，‎ 若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点（-，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以-+1＜t≤+1满足要求，-----8分 相切时仍然只有一个公共点，由t-x=x2-1,得x2+x-1-t=0,‎ ‎，得，‎ 的取值范围为-+1＜t≤+1或-------------------------------10分 ‎22．（1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB， ‎ 因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， ‎ 所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，‎ 所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别 为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 所以 ，，，．所以 ，‎ ‎，所以，‎ 即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．------------------------------5分 ‎ ‎（2）解：因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．‎ 设P点坐标为，在平面APC中，，，‎ 所以 平面APC的法向量为， ‎ 所以 ， ‎ 解得，或（舍）． 所以．--------------------------10分 ‎ ‎23．解（1）若，则，‎ 所以 ‎ ---------------------------------------------------------------------3分 又无意义，即R，且）---------------------------5分 ‎ （2）若，则 所以 因为--------------8分 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以R，且）-----------------------------------------10分