北京市十一学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市十一学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市十一学校 2019-2020 学年高二上学期期中考试数 学试题 一、选择题（本大题共 8 小题） 1. 下列叙述中，错误的一项为（　　） A. 棱柱的面中,至少有两个面相互平行 B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形 C. 棱柱的两底面是全等的多边形 D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 2. 下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+∞）上为减函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的 2 倍，则它的体积是原来体积的 （　　） A. B. C. D. 4. 设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是 F1，F2， 过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点， 若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 6. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A=60°，b=10，则结合 a 的值解 三角形有两解的为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图， 则该三棱锥的正视图可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为底面 ABCD 上 的动点，PE⊥A1C 于 E，且 PA=PE，则点 P 的轨迹是 （　　） A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 二、填空题（本大题共 7 小题） 9. 圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 3x+4y+8=0 的最大距离是______． 10. 若将函数 f（x）=sin（2x+）的图象向左平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称， 则 φ 的最小正值是______． 11. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与 DE 平行； ②CN 与 BE 是异面直线； ③CN 与 BM 成 60°角； ④DM 与 BN 垂直． 以上四个结论中，正确的是______． 12. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物 线准线的距离之和的最小值为______． 13. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BC=CC1=1，∠AD1B=，则直线 AB1 与 BC1 所成角的 余弦值为______ 14. 已知函数 f（x）=ax2-1 的图象在点 A（1，f（1））处的切线与直线 x+8y=0 垂直， 若数列{}的前 n 项和为 Sn，则 Sn=______． 15. 如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x，其余棱长均为 1， 记四面体 ABCD 的体积为 F（x），则函数 F（x）的单调 增区间是______；最大值为______． 三、解答题（本大题共 5 小题） 16. 已知函数 f（x）=sin2ωx+sinωx•sin（ωx+）-1（ω＞0）的相邻两条对称轴之间的距 离为． （1）求 ω 的值； （2）当 x∈[-，]时，求函数 f（x）的值域． 17. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，满足 a1=b1=2， 2a2=b2，S2+T2=13． （1）求数列{an}，{bn}通项公式； （2）设 cn=an+bn，求数列{cn}的前 n 项和 Hn． 18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥底 面 ABCD，且 PA=AD，点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的 中点． （1）证明：EF∥平面 PAC； （2）证明：AF⊥PC． 19. 已知椭圆 C：的右焦点，点在椭圆 C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）直线 l 过点 F，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，过原点 O 作直线 l 的垂线，垂 足为 P，如果△OAB 的面积为（λ 为实数），求 λ 的值． 20. 已知函数 f（x）=a（x-2lnx）-x2+2x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个不同的零点，求 a 的取值范围． 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：定义 1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱． 定义 2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱； 正 4 棱柱，正 6 棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故 D 错； 故选：D． 根据棱柱的定义可知 ABC 对，正 4 棱柱，正 6 棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平 面，故 D 错； 考查棱柱的定义，以及对空间几何体棱柱的理解； 2.【答案】D 【解析】解：A．f（x）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数； B．f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），则 f（x）是偶函数，不满足条件； C．f（x）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数； D．f（-x）=-==-f（x），则 f（x）是奇函数，当 x＞0 时，函数 f（x）为减函数，满足 条件． 故选：D． 根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可． 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的单调性和奇偶性的性质是解 决本题的关键． 3.【答案】C 【解析】解：设一个圆锥的底面半径为 r，高为 h，则其体积 V=； 圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的 2 倍，则所得圆锥的底面半径为 2r，高 为， 体积为． ∴． ∴它的体积是原来体积的． 故选：C． 设一个圆锥的底面半径为 r，高为 h，利用圆锥体积公式求其体积，再求出变换后的圆 锥的体积，则答案可求． 本题考查圆锥体积的求法，是基础的计算题． 4.【答案】B 【解析】解：m⊂α，m∥β 得不到 α∥β，因为 α，β 可能相交，只要 m 和 α，β 的交线平行 即可得到 m∥β； α∥β，m⊂α，∴m 和 β 没有公共点，∴m∥β，即 α∥β 能得到 m∥β； ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件． 故选：B． m∥β 并得不到 α∥β，根据面面平行的判定定理，只有 α 内的两相交直线都平行于 β，而 α∥β，并且 m⊂α，显然能得到 m∥β，这样即可找出正确选项． 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理， 以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念． 5.【答案】B 【解析】解：如图在 Rt△MF1F2 中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c ∴， ∴ ∴， 故选：B． 先在 Rt△MF1F2 中，利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2，进而根据双曲线的定义求得 a，最后根据 a 和 c 求得离心率． 本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题． 6.【答案】B 【解析】解：由正弦定理，有， ∴=， ∵三角形有两解，∴sinB＜1 且 b＞a， ∴， 因此由选项知，只有 a=9 时符合条件， 故选：B． 根据正弦定理可得，然后根据三角形有两解可得 sinB＜1 且 b＞a，从而得到 a 的范 围． 本题考查了正弦定理和三角形中大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属中档 题． 7.【答案】A 【解析】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥， 由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图 P-ABC 所示： 顶点 P 在以 BA 和 BC 为邻边的平行四边形 ABCD 上的射影为 CD 的中点 O， 故该锥体的正视图是： 故选 A 由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图． 本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中根据已知中的三视图，画出直观图 是解答的关键． 8.【答案】A 【解析】解：连接 A1P，由题意知 A1A⊥AP， 因为 PE⊥A1C，且 PA=PE， 所以△A1AP≌△A1EP， 所以 A1A=A1E，即 E 为定点． 因为 PA=PE， 所以点 P 位于线段 AE 的中垂面上， 又点 P 在底面上， 所以点 P 的轨迹为两平面的交线，即点 P 的轨迹是线段． 故选 A． 由 PE⊥A1C 于 E，且 PA=PE，得到点 E 是定点，然后根据 PA=PE，得到点 P 位于 A，E 的中垂面上，从而得到点 P 的轨迹． 本题主要考查空间直线的位置关系的判断，以及空间点的轨迹的求法，综合性较强，难 度较大． 9.【答案】4 【解析】解：由题意可得，圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1， 圆心的坐标为（1，1），半径 r=1， ∴圆心到直线的距离 ， 所以所求最大距离是 4， 故答案为：4． 根据图象可知，最大距离是圆心到直线的距离与半径长之和． 本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 10.【答案】 【解析】解：将函数 f（x）=sin（2x+）的图象向左平移 φ 个单位，可得 y=sin （2x++2φ）的图象， 再根据所得图象关于 y 轴对称，可得+2φ=+kπ，k∈Z， 则 φ 的最小正值为， 故答案为：． 利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出 φ 的最小 正值． 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于 基础题． 11.【答案】③④ 【解析】【分析】 本题考查正方体的结构特征，异面直线的判定，异面直线 及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何 体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题． 将展开图复原为几何体，如图，容易判断选项的正误， 得出结果． 【解答】 解：展开图复原的正方体如图，不难看出： ①BM 与 ED 平行；错误的，是异面直线； ②CN 与 BE 是异面直线，错误；是平行线； ③从图中连接 AN，AC，由于几何体是正方体，故三角形 ANC 是等边三角形，所以 AN 与 CN 的夹角是 60°，又 AN∥BM，故 CN 与 BM 成 60°；正确； ④DM⊥NC，DM⊥BC，所以 DM⊥平面 BCN，所以 DM 与 BN 垂直．正确 判断正确的答案为③④． 故答案为：③④． 12.【答案】 【解析】解：依题设 P 在抛物线准线的投影为 P'，抛物线的焦点为 F，则， 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点 P 到点 A（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 ． 故答案为：． 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得 d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即 可． 本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数 形结合等数学思想． 13.【答案】 【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系． ∵长方体中，BC=CC1=1，∠AD1B=， ∴AD1=，AB=AD1tan=． ∴A（1，0，0），B1（1，，1），B（1，，0），C1 （0，，1）． ∴=（0，，1），=（-1，0，1）， ∴cos===． 故答案为：． 如图所示，建立空间直角坐标系．根据长方体中， BC=CC1=1，∠AD1B=，可得 AD1=， AB=AD1tan=．利用向量夹角公式即可得出． 本题考查了长方体的性质、向量夹角公式、空间线 面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14.【答案】 【解析】解：函数 f（x）=ax2-1 的导数为 f′（x）=2ax， 可得 f（x）在 x=1 处的切线斜率为 2a， 切线与直线 x+8y=0 垂直，可得 2a=8，即 a=4， 则 f（x）=4x2-1， ==（-）， 可得 Sn=（1-+-+…+-） =（1-）=． 故答案为：． 求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得 a=4，再由裂项相消 求和，可得所求和． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，数列的裂项相消求和，两直线垂直的条件，考查 运算能力，属于基础题． 15.【答案】，； 【解析】解：如图所示，设 BC=x， AB=AC=AD=CD=BD=1． 取 AD 的中点 O， 连接 OB，OC，则 OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=． 又 OB∩OC=O，则 AD⊥平面 OBC， 取 BC 的中点 E，连接 OE，则 OE⊥BC， OE==． ∴S△OBC==． ∴F（x）= =×1 =（0＜x＜）． F′（x）=， 令 F′（x）≥0，解得，此时函数 F（x）单调递增；令 F′（x）＜0，解得，此时函数 F （x）单调递减法． 因此当 x=时，F（x）取得最大值，==． 故答案分别为：，． 如图所示，设 BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取 AD 的中点 O，连接 OB，OC，则 OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又 OB∩OC=O，则 AD⊥平面 OBC．取 BC 的中点 E，连 接 OE，则 OE⊥BC，可得 OE，可得 F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可 得出． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直 的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 16.【答案】解：（1）=， ∵函数 f（x）的最小正周期为 π，且 ω＞0， ∴=π， ∴解得 ω=1， （2）∵x∈[-，]， ∴2x-∈[-，]，根据正弦函数的图象可得： 当 2x-=，即 x=时，g（x）=sin（2x-）取最大值 1． 当 2x-=-，即 x=-时，g（x）=sin（2x-）取最小值-， ∴，即 f（x）的值域为． 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可得 f（x）=，利用正弦函数的周期公式即 可求解 ω 的值． （2）由已知可得 2x-∈[-，]，根据正弦函数的图象即可解得函数 f（x）的值域． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，正弦函数的图象和性 质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题． 17.【答案】解：（1）设公差为 d 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比为 q 的等比数列 {bn}的前 n 项和为 Tn，满足 a1=b1=2，2a2=b2，S2+T2=13． 所以：，解得，所以 an=2+（n-1）=n+1，． （2）由于 cn=an+bn=n+1+2•3n-1， 所以 Hn=（1+2+…+n）+n+2（30+31+…+3n-1）==． 【解析】（1）首先利用已知条件求出数列的通项公式． （2）利用分组法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18.【答案】证明：（1）点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点． ∴EF∥PC， ∵EF⊄平面 PAC，PC⊂平面 PAC， ∴EF∥平面 PAC． （2）∵在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA⊥底面 ABCD，且 PA=AD，点 F 是棱 PD 的中点， ∴AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD， ∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面 PAD， ∵AF⊂平面 PAD，∴CD⊥AF， ∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面 PCD， ∵PC⊂平面 PCD，∴AF⊥PC． 【解析】（1）推导出 EF∥PC，从而 EF∥平面 PAC． （2）推导出 AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而 CD⊥平面 PAD，进而 CD⊥AF，AF⊥平 面 PCD，由此能证明 AF⊥PC． 本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知：c=，左焦点 F′（-，0）． 根据椭圆的定义得：2a=|MF′|+|MF|=+， 解得 a=2，∴b2=a2-c2=4-3=1， ∴椭圆 C 的标准方程为：+y2=1； （Ⅱ）由题意知，S△ABC=|AB|•|OP|=， 整理得：λ=|OP|2-． ①当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为：x=， 此时|AB|=1，|OP|=， ∴λ=|OP|2-=-1； ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：y=k（x-）， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去 y 整理得：（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0， 显然△＞0，则 x1+x2=-，x1x2=， ∵y1=k（x1-），y2=k（x2-）， ∴|AB|= =• =4•， ∴|OP|2=（）2=， 此时，λ=-=-1； 综上所述，λ 为定值-1． 【解析】（Ⅰ）通过右焦点可知：c=，左焦点 F′（-，0），利用 2a=|MF′|+|MF|可得 a=2，进而可得结论； （Ⅱ）通过 S△ABC=，可得 λ=|OP|2-，对直线 l 的斜率存在与否进行讨论．当直线 l 的斜 率不存在时，易得 λ=-1；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程并与椭圆 C 方程联立， 利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得 λ=-1． 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的 能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 20.【答案】解：（1）函数 f（x）=a（x-2lnx）-x2+2x．定义域为（0，+∞）， f′（x）=a（1-）-x+2=（x-2）（a-x），（x＞0） ①a≤0 时，a-x＜0， 当 x∈（0，2）．f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当 x∈（2，+∞）．f′（x）＜0，f（x）单调递减； ②0＜a＜2 时，f′（x）=0，解得 x=2 或 x=a， 当 x∈（0，a），f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当 x∈（a，2），f（x）＞0，f（x）单调递增， 当 x∈（2，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减； ③a=2 时，f′（x）=-（x-2）2≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减； ④a＞2 时，f′（x）=0，解得 x=2 或 x=a， 当 x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）单调递减； x∈（2，a），f′（x）＞0，f（x）单调递增； x∈（a，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减； （2）由（1）得当 a=0 时，f（x）=-x2+2x 在定义域上只有一个零点， 当 a＜0 时，由（1）可得， 要使 f（x）有两个零点，则 f（2）＞0，即 f（2）=a（2-2ln2）+2＞0， 所以＜a＜0， 下证 f（x）有两个零点， 取 x=，f（）=a（-2×）-（）2+2 =a-（-2）2＜0， 满足 f（）•f（2）＜0，故 f（x）在（0，2）有且只有一个零点； 因为 f（4）=a（4-2ln4）＜0， 满足 f（2）•f（4）＜0，故 f（x）在（2，+∞）有且只有一个零点； 当 0＜a＜2 时，由（1）可得当 x∈（0，2）， f（x）≥f（a） =a（a-2lna）-a2+2a =a2+2a（1-lna）＞0， 故 f（x）在（0，2）无零点，又因为 f（x）在（2，+∞）单调递减， ∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件； 当 a=2 时，f（x）在（0，+∞）单调递减， ∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件； 当 a＞2 时，由（1）可得当 x∈（0，a）， f（x）≥f（2）=a（2-2ln2）+2＞0， 故 f（x）在（0，a）上无零点， 又因为 f（x）在（a，+∞）单调递减， ∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件； ∴满足条件 a 的取值范围＜a＜0. 【解析】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算 能力，属于较难题. （1）求函数的导数，分类讨论 a 的范围，可得 f（x）的单调性； （2）由（1）可得，要使 f（x）有两个零点，则 f（2）＞0，即 f（2）=a（2-2ln2）+2＞ 0，所以＜a＜0，证明 f（x）有两个零点，利用函数的单调性和讨论 a 的范围可求 a 的 取值范围．