2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲（讲）（原卷版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲（讲）（原卷版）

专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲 ‎1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．‎ ‎2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅰ卷文】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：‎ ‎(1)；(2)．‎ ‎4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．‎ ‎(1)当时，求及l的极坐标方程；‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ ‎5. 【2018年理数全国卷II】设函数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围．‎ 一、考向分析： ‎ 坐标系与参数方程 坐标系 参数方程 直角坐标系 圆的参数方程 椭圆的参 数方程 极坐标系 直线的参 数方程 ‎ ‎ 不等式选讲 绝对值不等式 不等式证明的基本方法 绝对值不等 式的解法 比较法 综合法 分析法 绝对值三 角不等式 柯西不 等式 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 极坐标与 参数方程 ‎(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．‎ ‎(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．‎ ‎(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．‎ ‎(5)已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)。‎ a.若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝。‎ b．若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝。‎ c．若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0。‎ 提醒：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何含义。‎ ‎1.绝对值不等式的求解方法 ‎(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,‎ ‎|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可.‎ 不等式证明 的基本方法 ‎(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. ‎ a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；‎ b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；‎ c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；‎ d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.‎ ‎2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:‎ ‎(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;‎ ‎(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值范围. 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ ‎(3)应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a有解⇔f(x)max>a;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ ‎4.利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：‎ ‎(1)a2≥0；(2)|a|≥0；‎ ‎(3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥2等；‎ ‎(4)≥(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，‎ ＋≤－2(ab<0)等．‎ ‎5.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作 为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．‎ ‎6、证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法：‎ ‎(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ ‎(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ ‎(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．‎ ‎7、当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．‎ 考查绝对值不等式的证明：‎ ‎【例】已知，，，证明：(1)；(2)．‎ ‎【例】已知，，，为实数，且，，证明：．‎ ‎【例】设均为正数，且，证明：(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ 考查绝对值不等式的解法：‎ ‎【例】设，解不等式．‎ 考查不等式恒成立问题：‎ ‎【例】已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|。‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集。‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围。‎ ‎【例】已知函数. ‎ ‎(1)解关于的不等式.‎ ‎(2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.‎ 考查柯西不等式：‎ ‎【例】已知x，y，z均为实数，若x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤3。‎ ‎【例】已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8。‎ ‎【例】已知|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立，求实数k的最大值。‎ 考查最值问题：‎ ‎【例】设函数．‎ ‎(1)画出的图像；(2)当时，，求的最小值．‎ ‎【例】若，，为实数，且，求的最小值．‎ 考查参数范围问题：‎ ‎【例】已知函数，．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【例】已知函数．‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ 考查极坐标方程：‎ ‎【例】【四川省绵阳市2020届高三诊断】在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是(θ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线θ＝与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ)＝10，求t的值.‎ ‎【例】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的极坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值.‎ 考查参数方程：‎ ‎【例】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎(1)若a=−1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ 考查参数方程与极坐标互化：‎ ‎【例】【河南省开封市2020届高三模拟考试】在直角坐标系中，直线的参数方程是(t为参数)，曲线的参数方程是(为参数)，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线(其中)与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．‎ ‎【例】将圆上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线，以坐标原点为极点， 轴的非负轴分别交于半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为： ，且直线在直角坐标系中与轴分别交于两点.‎ ‎(1)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎(2)问在曲线上是否存在点，使得的面积，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【例】已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，(为参数)，以坐标原点为 ‎ 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎ (Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ (Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．‎ 绝对值不等式的解法 在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨 论不全面的问题。若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏。‎ ‎【例】解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6。‎ ‎【例】已知函数，其中实数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集为，求的值．‎ 点评：解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁。若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。‎ ‎ ‎